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Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

本文通过将输入到状态安全性（ISSf）概念推广至最优衰减控制障碍函数，并将其应用于严格反馈系统和双相对阶系统，为确保受非匹配不确定性影响的非线性系统的输入到状态安全性提出了一种构造性框架。

原作者： Max H. Cohen, Pio Ong, Aaron D. Ames

发布于 2026-02-04

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原作者： Max H. Cohen, Pio Ong, Aaron D. Ames

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下你正在驾驶一辆汽车，这辆车需要保持在特定的车道内（“安全区域”）以避免发生碰撞。现在，想象有两个问题：

路面湿滑： 有不可预测的阵风或颠簸（扰动）在推挤汽车。
转向延迟： 你不能仅仅通过转动方向盘就瞬间修正汽车的位置。相反，转动方向盘首先会改变汽车的角度，然后角度的变化才会改变汽车的位置。这被称为“不匹配”问题，因为你的控制输入（转向）并不能直接作用于问题本身（位置）。

这篇论文提出了一种新的“智能驾驶系统”（一种控制算法），它能保证即使在路面湿滑且转向延迟的情况下，汽车也能保持安全。

以下是他们实现这一目标的拆解，使用了简单的类比：

1. 问题所在：“不匹配”的扰动

在许多安全系统中，如果一阵风把车推离原位，转向轮可以立即向反方向施力以抵消影响。这是一个“匹配”问题。
然而，在无人机或机器人等复杂机器中，风可能会推挤无人机的“机身”，但电机只能控制“倾角”。电机必须先让无人机倾斜，然后才能带动机身移动。扰动作用于机身，但控制仅作用于倾角。这就是一个**“不匹配的不确定性”**。这就像试图通过控制地板的移动来阻止一个滚动的球；你必须以特定的方式移动地板，最终才能让球停下来。

2. 解决方案：带有柔性弹簧的“安全网”

作者使用了一种名为**控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）**的数学工具。你可以把它想象成围绕着安全区域的一层隐形的、具有弹性的安全网。

标准安全网： 如果你触碰了它，它会猛地把你拽回来。
新型“最优衰减”安全网： 作者改进了这种网。他们意识到，如果你在安全区域内部，你并不需要担心网的拉力。只有当你触及边缘或处于外部时，才需要担心。他们添加了一个“缩放因子”（一个他们称为 $\omega$ 的变量），其作用就像一个智能弹簧。如果风力很强，弹簧会变得更硬或产生不同的伸缩，以确保你不会被推到安全区域之外。

3. 方法：“反步法”（阶梯类比）

为了处理“转向延迟”问题（即控制无法直接触达安全目标），他们使用了名为**“反步法”（Backstepping）**的技术。
想象你正在尝试爬梯子以到达一个安全的平台（目标）。

第一步： 你不能直接跳到顶端。你必须先到达第一级横杆。作者设计了一个“虚拟控制器”，其作用是让第一级横杆看起来就像是目标本身。他们确保系统在第一步时保持安全。
第二步： 一旦第一步变得安全，他们就把这第一步视为新的“地面”，并设计一个控制器来驱动系统的下一部分去匹配这第一步。
结果： 通过构建这样一个一步步递进的安全“阶梯”，他们确保了即使控制输入距离安全目标较远，整个系统依然能保持安全。

4. 两种类型的“阶梯”

论文展示了如何为两种特定类型的机器构建这种阶梯：

严格反馈系统（Strict-Feedback Systems）： 像是一个严格的指挥链。第一部分控制第二部分，第二部分控制第三部分。（例如：倒立摆或平衡机器人）。
双相对阶系统（Dual-Relative-Degree Systems）： 像是一架无人机，上层部分（位置）由下层部分（角度）控制，但下层部分控制上层部分的能力取决于下层部分当前的状态。（例如：四旋翼无人机）。

5. 仿真结果显示了什么

作者在两个数字模型上测试了他们的理论：

平衡单摆： 他们模拟了一个在随机风力干扰下试图保持直立的木棒。他们展示了使用这种新型“智能弹簧”（最优衰减 CBF），即使在强风下，木棒也能保持直立，而旧的方法则会导致木棒倒下。
无人机： 他们模拟了一架在靠近墙壁飞行并受到阵风冲击的无人机。无人机的计算机使用他们的算法来完美地调整自身的倾斜角度，从而抵消风力的推挤，防止撞墙。

总结

这篇论文介绍了一种新的为机器人和机器编程以保持安全的方法。它将柔性安全网（最优衰减 CBF）与循序渐进的构建方法（反步法）结合在一起。这使得复杂的机器即使在以下情况下也能保持安全：

它们正受到不可预测的力量（风、摩擦力）的推挤。
它们的控制手段无法直接解决问题（必须通过中间步骤来实现）。

其结果是一个不仅是“希望”保持安全，而且在数学上保证即使面对“不匹配”的麻烦，也能始终保持在安全边界内的系统。

技术摘要：输入-状态安全反步法 (Input-to-State Safe Backstepping)

问题陈述
确保在存在非匹配扰动（unmatched disturbances）的非线性控制系统中的安全性仍然是一个重大挑战。非匹配不确定性是指那些无法通过控制输入直接抵消的不确定性，因为它们通过与控制权不同的通道进入系统动力学。虽然控制障碍函数（Control Barrier Functions, CBFs）已在标称设置下被证明在安全性关键控制中非常有效，且输入-状态安全（Input-to-State Safe, ISSf）CBF 已被开发用于处理匹配扰动，但为具有非匹配不确定性的系统构建 ISSf-CBF 却十分困难。当控制权在安全边界处消失时，传统的 ISSf-CBF 验证条件会变得过于严苛，对于扰动进入动力学通道与控制输入不同的系统，这些条件往往无法成立。

方法论
本文提出了一个将输入-状态安全（ISSf）理论与 CBF 反步法（backstepping）相结合的构造性框架，以应对非匹配不确定性。该方法分三个主要阶段进行：

通过最优衰减 CBF (OD-CBFs) 实现 ISSf 的泛化：
作者首先通过引入“最优衰减 ISSf-CBF (OD-ISSf-CBF)”的概念来泛化 ISSf 框架。这种方法通过以下两种方式放宽了标准的验证条件：
- 最优衰减变量： 它在类- $\mathcal{K}$ 函数 $\alpha$ 上引入了一个缩放因子 $\omega$ （其下界为 $\theta_d$ ）。这作为一个额外的决策变量，为满足障碍条件提供了灵活性。
- 广义扰动模型： 该框架不再假设扰动通过控制通道（匹配）进入，而是利用扰动输入矩阵 $w(x)$ 。鲁棒性条件仅需在扰动在障碍函数梯度上的投影（ $L_{wh}$ ）方向上进行验证，而非针对全梯度进行验证。
- 验证放宽： 一个关键的理论结果（引理 3）表明，对于 OD-ISSf-CBF，条件只需在安全集的边界和外部（ $h(x) \leq 0$ ）进行验证，而无需在整个定义域内验证。如果控制权在安全集外部非零，则该条件会自动满足。
针对非匹配不确定性的反步合成：
为了处理安全函数 $h$ 不具备直接控制权的系统，本文采用反步程序为两类特定类型的系统构建 ISSf-CBFs：
- 严格反馈系统 (Strict-Feedback Systems)： 对于严格反馈形式的系统，该方法将高阶状态视为“虚拟”控制输入。首先为顶层子系统设计一个平滑控制器，以满足 OD-ISSf-CBF 条件。随后，通过惩罚实际状态与该虚拟控制器的偏差，构造一个复合障碍函数。定理 2 证明，如果下一层的控制增益矩阵是全行秩的，则该复合函数是整个系统的有效 OD-ISSf-CBF。
- 双相对阶 (DRD) 系统： 对于类似于微分平坦系统（如四旋翼无人机）的系统，即顶层动力学通过函数 $\psi(\eta)$ 取决于底层状态 $\eta$ ，该方法将乘积 $\psi(\eta)u_z$ 视为虚拟输入。首先为顶层设计一个虚拟控制器，然后构造一个期望的底层状态 $\eta_d$ ，使控制方向与该虚拟输入对齐。研究表明，只要满足系统矩阵的特定秩条件，结合顶层安全性与 $\eta$ 偏离 $\eta_d$ 的复合障碍函数即为 OD-ISSf-CBF（定理 3）。
控制器实现：
该框架产生了一个由二次规划 (QP) 推导出的反馈控制器。该 QP 通过联合优化控制输入 $u$ 和缩放因子 $\omega$ ，在满足放宽后的 OD-ISSf-CBF 条件的同时，最小化与标称控制器的偏差。生成的控制器是局部 Lipschitz 连续的，并保证了扩张安全集 $S_\delta$ 的前向不变性，其中扩张大小取决于扰动量以及所选参数 $\varepsilon$ 和 $\theta_d$ 。

核心贡献
本文声称的主要贡献包括：

ISSf 的泛化： 一个利用 OD-CBF 和广义扰动输入模型的新框架，通过放宽验证至边界/外部，提供了更高的灵活性来补偿扰动。
构造性反步程序： 一种为具有非匹配扰动的系统合成 ISSf-CBFs 的系统化方法。这包括对严格反馈系统和双相对阶系统的完整技术处理，将反步法从稳定性控制扩展到了安全性关键控制。
鲁棒安全性保证： 理论证明，所合成的控制器即使在存在非匹配不确定性的情况下，也能确保系统保持在安全集的有界邻域内（ISSf），并且在扰动界限足够小时，能够保持严格安全性。

结果与仿真
理论结果通过在两个基准系统上的数值仿真得到了验证：

倒立摆： 一个受非匹配扰动影响的严格反馈系统。仿真表明，所提出的控制器成功地将摆杆维持在安全角度范围内。结果展示了由参数 $\varepsilon$ 控制的权衡关系：较小的 $\varepsilon$ 值提供更强的鲁棒性，使轨迹保持在安全集内；而较大的 $\varepsilon$ 值则允许轨迹离开集合，但仍保持在有界邻域内，这与 ISSf 理论一致。
平面四旋翼无人机： 一个受风力阵风（非匹配扰动）影响的双相对阶系统。仿真显示，无人机成功地向墙壁约束导航。当无人机接近安全边界时，控制器会调整姿态（ $\eta$ ），使推力矢量与扰动方向对齐，从而有效地抵消非匹配不确定性。结果证实，适当选择 $\varepsilon$ 可以确保安全性，而较大的值会导致安全性违规。

意义
本文将这项工作定位为解决安全性关键控制中一个持久性缺口的构造性方案：即如何合成具有非匹配不确定性的 CBF。通过利用反步法处理严格反馈和 DRD 系统的结构特性，作者实现了为复杂的非线性系统（如在不确定环境中运行的四旋翼或机械臂）系统化地构建鲁棒安全性滤波器。这项工作弥合了 ISSf 的理论鲁棒性与非匹配动力学带来的实际合成挑战之间的鸿沟，为在复杂机器人平台上部署安全性关键控制器提供了路径。