Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

Technische Samenvatting: Input-to-State Safe Backstepping

Probleemstelling
Het waarborgen van veiligheid in nietlineaire controlesystemen die opereren onder ongepaarde verstoringen (unmatched disturbances) blijft een aanzienlijke uitdaging. Ongepaarde onzekerheden zijn onzekerheden die niet direct kunnen worden gecompenseerd door de besturingsinput, omdat ze de systeemdynamica binnenkomen via kanalen die verschillend zijn van de besturingsautoriteit. Hoewel Control Barrier Functions (CBF's) effectief zijn gebleken voor veiligheidskritische regeling in nominale settings, en Input-to-State Safe (ISSf) CBF's zijn ontwikkeld om gepaarde verstoringen aan te pakken, is het construeren van ISSf-CBF's voor systemen met ongepaarde onzekerheden moeilijk. Traditionele verificatievoorwaarden voor ISSf-CBF's worden overmatig streng wanneer de besturingsautoriteit verdwijnt bij de veiligheidsgrens, wat vaak niet standhoudt voor systemen waarbij verstoringen via andere dynamica binnenkomen dan de besturingsinput.

Methodologie
Het artikel stelt een constructief kader voor dat de Input-to-State Safety (ISSf) theorie verenigt met CBF backstepping om ongepaarde onzekerheden aan te pakken. De methodologie verloopt in drie hoofdfasen:

1. Generalisatie van ISSf via Optimal Decay CBF's (OD-CBF's):
   De auteurs generaliseren eerst het ISSf-raamwerk door de introductie van het begrip Optimal Decay ISSf-CBF (OD-ISSf-CBF). Deze aanpak versoepelt de standaard verificatievoorwaarden op twee manieren:

   • Optimale Decay Variabele: Het introduceert een schaleringsfactor $\omega$ (ondergrenze $\theta_d$) op de klasse-$\mathcal{K}$ functie $\alpha$. Dit fungeert als een extra beslissingsvariabele, wat flexibiliteit biedt bij het voldoen aan de barrièrevoorwaarden.
   • Gegeneraliseerd Verstoringsmodel: In plaats van aan te nemen dat verstoringen via het besturingskanaal binnenkomen (gepaard), maakt het raamwerk gebruik van een verstorings-inputmatrix $w(x)$. De robuustheidsconditie wordt alleen geverifieerd langs de projectie van de verstoring op de gradiënt van de barrièrefunctie ($L_{wh}$), in plaats van de volledie gradiënt.
   • Verificatie Versoepeling: Een cruciaal theoretisch resultaat (Lemma 3) toont aan dat voor OD-ISSf-CBF's de conditie alleen hoeft te worden geverifieerd op de grens en buiten het veilige gebied ($h(x) \leq 0$), in plaats van in het gehele domein. Als de besturingsautoriteit buiten het veilige gebied niet nul is, wordt de conditie automatisch voldaan.

2. Backstepping Synthese voor Ongepaarde Onzekerheden:
   Om systemen te behandelen waarbij de veiligheidsfunctie $h$ geen directe besturingsautoriteit heeft, gebruikt het artikel een backstepping-procedure om ISSf-CBF's te construeren voor twee specifieke klassen van systemen:

   • Strict-Feedback Systemen: Voor systemen in strict-feedback vorm behandelt de methode hogere-orde toestanden als "virtuele" besturingsinputs. Eerst wordt een gladde controller ontworpen voor het bovenste laag-subsysteem om aan de OD-ISSf-CBF conditie te voldoen. Vervolgens wordt een composiet barrièrefunctie geconstrueerd door de afwijking van de werkelijke toestand van deze virtuele controller te bestraffen. Stelling 2 stelt vast dat als de besturingsgain-matrix van de volgende laag een volledige rij-rang heeft, de composietfunctie een geldige OD-ISSf-CBF is voor het volledige systeem.
   • Dual-Relative-Degree (DRD) Systemen: Voor systemen die lijken op differentieel vlakke systemen (bijv. quadrotors) waarbij de bovenste laag-dynamica afhangt van de onderste laag-toestand via een functie $\psi(\eta)$, beschouwt de methode het product $\psi(\eta)u_z$ als een virtuele input. Een virtuele controller wordt ontworpen voor de bovenste laag, en een gewenste onderste laag-toestand $\eta_d$ wordt geconstrueerd om de besturingsrichtingen uit te lijnen met deze virtuele input. Een composiet barrièrefunctie die de bovenste laag-veiligheid combineert met de afwijking van $\eta$ van $\eta_d$ wordt getoond als een OD-ISSf-CBF (Stelling 3), mits aan specifieği rangvoorwaarden van de systeemmatrices wordt voldaan.

3. Controller Implementatie:
   Het raamwerk levert een feedbackcontroller die wordt afgeleid van een Kwadratisch Programmeringsprobleem (QP). Deze QP optimaliseert gezamenlijk de besturingsinput $u$ en de schaleringsfactor $\omega$ om de afwijking van een nominale controller te minimaliseren, terwijl aan de versoepelde OD-ISSf-CBF conditie wordt voldaan. De resulterende controller is lokaal Lipschitz-continu en garandeert de voorwaartse invariantie van een opgeblazen veiligheidsverzameling $S_\delta$, waarbij de omvang van de inflatie afhangt van de grootte van de verstoring en de gekozen parameters $\varepsilon$ en $\theta_d$.

Belangrijkste Bijdragen
Het artikel claimt de volgende primaire bijdragen:

• Generalisatie van ISSf: Een nieuw raamwerk dat gebruikmaakt van OD-CBF's en een gegeneraliseerd verstorings-inputmodel, wat meer flexibiliteit biedt bij het compenseren van verstoringen, met name door de verificatie te versoepelen tot de grens/het exterieur van het veilige gebied.
• Constructieve Backstepping Procedure: Een systematische methode voor de synthese van ISSf-CBF's voor systemen met ongepaarde verstoringen. Dit omvat volledige technische behandelingen voor strict-feedback systemen en dual-relative-degree systemen, waarmee de toepasbaarheid van backstepping wordt uitgebreid van stabilisatie naar veiligheidskritische regeling.
• Robuuste Veiligheidsgaranties: Theoretische bewijzen die aantonen dat de gesynthetiseerde controllers ervoor zorgen dat het systeem binnen een begrensde buurt van de veilige verzameling blijft (ISSf), zelfs in aanwezigheid van ongepaarde onzekerheden, met de mogelijkheid om strikte veiligheid te handhaven als de verstoringsgrenzen voldoende klein zijn.

Resultaten en Simulaties
De theoretische resultaten worden gevalideerd door numerieke simulaties op twee benchmark-systemen:

• Inverted Pendulum (Invers Pendel): Een strict-feedback systeem onderhevig aan ongepaarde verstoringen. Simulaties tonen aan dat de voorgestelde controller er succesvol in slaagt de pendel binnen een veilig hoekbereik te houden. De resultaten illustreren de trade-off die wordt gestuurd door de parameter $\varepsilon$: kleinere waarden van $\varepsilon$ bieden grotere robuustheid, waardoor de traject binnen de veilige verzameling blijft, terwijl grotere waarden toestaan dat het traject de verzameling verlaat maar binnen een begrensde buurt blijft, consistent met de ISSf theorie.
• Planar Quadrotor (Planaire Quadrotor): Een dual-relative-degree systeem onderhevig aan windstoten (ongepaarde verstoringen). De simulatie laat zien dat de drone succesvol navigeert naar een muur-restrictie. Terwijl de drone de veiligheidsgrens nadert, past de controller de oriëntatie ($\eta$) aan om de stuwkrachtvector tegen de verstoring uit te lijnen, waardoor de ongepaarde onzekerheid effectief wordt tegengewerkt. De resultaten bevestigen dat een passende selectie van $\varepsilon$ veiligheid garandeert, terwijl grotere waarden leiden tot schendingen van de veiligheid.

Betekenis
Dit artikel positioneert dit werk als een constructieve oplossing voor een hardnekkig gat in de veiligheidskritische regeling: de synthese van CBF's voor systemen met ongepaarde onzekerheden. Door gebruik te maken van de structurele eigenschappen van strict-feedback en DRD systemen via backstepping, stelt de auteur de systematische constructie van robuuste veiligheidsfilters mogelijk voor praktisch relevante klassen van nietlineaire systemen. Het werk overbrugt de kloof tussen de theoretische robuustheid van ISSf en de praktische synthese-uitdagingen die worden veroorzaakt door ongepaarde dynamica, en biedt een pad naar de inzet van veiligheidskritische controllers op complexe robotplatforms zoals quadrotors en manipulatoren die opereren in onzekere omgevingen.