⚡ electrical engineering

Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

Cet article propose un cadre constructif pour assurer la sécurité de l'entrée vers l'état (ISSf) dans les systèmes non linéaires soumis à des incertitudes non appariées en généralisant le concept d'ISSf avec des fonctions de barrière de décadence optimale et en l'appliquant aux systèmes à rétroaction stricte et à double degré relatif.

Auteurs originaux : Max H. Cohen, Pio Ong, Aaron D. Ames

Publié 2026-02-04

📖 5 min de lecture🧠 Analyse approfondie

CC BY 4.0

Auteurs originaux : Max H. Cohen, Pio Ong, Aaron D. Ames

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous conduisez une voiture qui doit rester dans une voie spécifique (la « zone de sécurité ») pour éviter un accident. Maintenant, imaginez deux problèmes :

La route est glissante : Il y a des rafales de vent imprévisibles ou des bosses (perturbations) qui poussent la voiture.
La direction est retardée : Vous ne pouvez pas simplement tourner le volant pour corriger instantanément la position de la voiture. Au lieu de cela, tourner le volant change d'abord l'angle de la voiture, puis l'angle change sa position. C'est ce qu'on appelle un problème « non apparié » (mismatched) car votre entrée de commande (la direction) n'atteint pas directement le problème (la position).

Cet article présente un nouveau « système de conduite intelligent » (un algorithme de contrôle) qui garantit que la voiture reste en sécurité, même lorsque la route est glissante et que la direction est retardée.

Voici une décomposition de la manière dont ils ont procédé, en utilisant des analogies simples :

1. Le Problème : La perturbation « non appariée »

Dans de nombreux systèmes de sécurité, si une rafale de vent pousse la voiture, le volant peut immédiatement pousser en sens inverse pour l'annuler. C'est un problème « apparié » (matched).
Cependant, dans des machines complexes comme des drones ou des robots, le vent peut pousser le corps du drone, mais les moteurs ne peuvent contrôler que l'inclinaison. Les moteurs doivent d'abord incliner le drone, ce qui déplace ensuite le corps. La perturbation frappe le corps, mais le contrôle ne touche que l'inclinaison. C'est une « incertitude non appariée » (unmatched uncertainty). C'est comme essayer d'arrêter une balle qui roule en contrôlant seulement le sol sur lequel elle roule ; vous devez déplacer le sol d'une certaine manière pour finir par arrêter la balle.

2. La Solution : Un « filet de sécurité » avec un ressort flexible

Les auteurs utilisent un outil mathématique appelé Fonction de Barrière de Contrôle (CBF - Control Barrier Function). Considérez cela comme un filet de sécurité élastique et invisible entourant la zone de sécurité.

Filet de sécurité standard : Si vous touchez le filet, il vous tire brusquement vers l'arrière.
Le nouveau filet à « Décroissance Optimale » : Les auteurs ont amélioré ce filet. Ils ont réalisé que si vous êtes à l'intérieur de la zone de sécurité, vous n'avez pas besoin de vous soucier du fait que le filet vous tire. Vous n'avez à vous en soucier que si vous touchez le bord ou si vous êtes à l'extérieur. Ils ont ajouté un « facteur d'échelle » (une variable qu'ils appellent $\omega$ ) qui agit comme un ressort intelligent. Si le vent est fort, le ressort devient plus rigide ou s'étire différemment pour garantir que vous ne soyez pas poussé hors de la zone de sécurité.

3. La Méthode : Le « Backstepping » (L'analogie de l'échelle)

Pour gérer le problème de la « direction retardée » (où le contrôle n'atteint pas directement l'objectif de sécurité), ils ont utilisé une technique appelée Backstepping.
Imaginez que vous essayez de grimper à une échelle pour atteindre une plateforme sécurisée (l'objectif).

Étape 1 : Vous ne pouvez pas sauter directement au sommet. Vous devez d'abord atteindre le premier barreau. Les auteurs conçoivent un « contrôleur virtuel » qui agit comme si le premier barreau était l'objectif. Ils s'assurent que le système reste sûr à cette première étape.
Étape 2 : Une fois que la première étape est sûre, ils traitent cette première étape comme le nouveau « sol » et conçoivent un contrôleur pour déplacer la partie suivante du système afin qu'elle corresponde à la première étape.
Le Résultat : En construisant cette échelle de sécurité, étape par étape, ils garantissent que même si l'entrée de commande est éloignée de l'objectif de sécurité, l'ensemble du système reste sûr.

4. Deux types de « Échelles »

L'article montre comment construire cette échelle pour deux types spécifiques de machines :

Systèmes à rétroaction stricte (Strict-Feedback Systems) : Comme une chaîne de commandement stricte. La première partie contrôle la seconde, qui contrôle la troisième. (Exemple : un pendule inversé ou un robot équilibriste).
Systèmes à double degré relatif (Dual-Relative-Degree Systems) : Comme un drone où la partie supérieure (position) est contrôlée par la partie inférieure (angle), mais la capacité de la partie inférieure à contrôler la partie supérieure dépend de l'état actuel de la partie inférieure. (Exemple : un drone quadrotor).

5. Ce que les simulations ont montré

Les auteurs ont testé leur théorie sur deux modèles numériques :

Le Pendule d'Équilibre : Ils ont simulé une tige essayant de tenir debout verticalement tout en étant poussée par un vent aléatoire. Ils ont montré qu'avec leur nouveau « ressort intelligent » (la CBF à décroissance optimale), la tige restait droite même lorsque le vent était fort, alors que les anciennes méthodes auraient laissé la tige tomber.
Le Drone : Ils ont simulé un drone volant près d'un mur tout en étant frappé par des rafales de vent. L'ordinateur du drone a utilisé leur algorithme pour s'incliner parfaitement afin de contrer le vent, l'empêchant ainsi de heurter le mur.

Résumé

L'article présente une nouvelle façon de programmer les robots et les machines pour qu'ils restent en sécurité. Il combine un filet de sécurité flexible (CBF à décroissance optimale) avec une méthode de construction étape par étape (Backstepping). Cela permet à des machines complexes de rester en sécurité même lorsqu'elles sont confrontées à :

Des forces imprévisibles (vent, friction).
Des commandes qui ne corrigent pas directement le problème (elles doivent passer par des étapes intermédiaires).

Le résultat est un système qui ne se contente pas d'espérer rester en sécurité, mais qui garantit mathématiquement qu'il restera à l'intérieur d'une limite sûre, même face à des problèmes « non appariés ».

Résumé Technique : Backstepping de Sécurité de l'Entrée vers l'État (Input-to-State Safe)

Énoncé du Problème
Garantir la sécurité des systèmes de commande non linéaires opérant sous des perturbations non appariées (unmatched) demeure un défi important. Les incertitudes non appariées sont celles qui ne peuvent pas être directement annulées par l'entrée de commande car elles pénètrent dans la dynamique du système par des canaux distincts de l'autorité de commande. Bien que les Fonctions de Barrière de Contrôle (CBF) aient prouvé leur efficacité pour le contrôle critique de la sécurité dans des contextes nominaux, et que des ISSf-CBF (Input-to-State Safe) aient été développées pour gérer les perturbations appariées, la construction d'ISSf-CBF pour des systèmes présentant des incertitudes non appariées est difficile. Les conditions de vérification traditionnelles pour les ISSf-CBF deviennent excessivement contraignantes lorsque l'autorité de commande s'amenuise à la frontière de sécurité, échouant souvent pour des systèmes où les perturbations entrent par des dynamiques différentes de l'entrée de commande.

Méthodologie
Le papier propose un cadre constructif qui unit la théorie de la sécurité de l'entrée vers l'état (ISSf) avec le backstepping de CBF pour traiter les incertitudes non appariées. La méthodologie procède en trois étapes principales :

Généralisation de l'ISSf via les CBF à Décroissance Optimale (OD-CBF) :
Les auteurs généralisent d'abord le cadre ISSf en introduisant la notion de CBF-ISSf à décroissance optimale (OD-ISSf-CBF). Cette approche relaxe les conditions de vérification standards de deux manières :

Variable de Décroissance Optimale : Elle introduit un facteur d'échelle $\omega$ (borné inférieurement par $\theta_d$ ) sur la fonction de classe- $\mathcal{K}$ $\alpha$ . Cela agit comme une variable de décision supplémentaire, offrant de la flexibilité pour satisfaire les conditions de barrière.
Modèle de Perturbation Généralisé : Au lieu de supposer que les perturbations entrent par le canal de commande (appariées), le cadre utilise une matrice d'entrée de perturbation $w(x)$ . La condition de robustesse est vérifiée uniquement le long de la projection de la perturbation sur le gradient de la fonction de barrière ( $L_{wh}$ ), plutôt que sur le gradient complet.
Relaxation de la Vérification : Un résultat théorique clé (Lemme 3) montre que pour les OD-ISSf-CBF, la condition n'a besoin d'être vérifiée que sur la frontière et l'extérieur de l'ensemble sûr ( $h(x) \leq 0$ ), plutôt que sur tout le domaine. Si l'autorité de commande est non nulle à l'extérieur de l'ensemble sûr, la condition est automatiquement satisfaite.

Synthèse par Backstepping pour les Incertitudes Non Appariées :
Pour gérer les systèmes où la fonction de sécurité $h$ n'a pas d'autorité de commande directe, le papier emploie une procédure de backstepping pour construire des ISSf-CBFs pour deux classes spécifiques de systèmes :

Systèmes à Forme de Rétroaction Stricte (Strict-Feedback Systems) : Pour les systèmes sous forme de rétroaction stricte, la méthode traite les états d'ordre supérieur comme des entrées de commande « virtuelles ». Un contrôleur lisse est d'abord conçu pour le sous-système de couche supérieure afin de satisfaire la condition OD-ISSf-CBF. Une fonction de barrière composite est ensuite construite en pénalisant l'écart de l'état réel par rapport à ce contrôleur virtuel. Le Théorème 2 établit que si la matrice de gain de commande de la couche suivante est de rang plein, la fonction composite est une OD-ISSf-CBF valide pour le système complet.
Systèmes à Double Degré Relatif (DRD) : Pour les systèmes ressemblant à des systèmes à platité différentielle (ex: quadrotors) où la dynamique de la couche supérieure dépend de l'état de la couche inférieure via une fonction $\psi(\eta)$ , la méthode considère le produit $\psi(\eta)u_z$ comme une entrée virtuelle. Un contrôleur virtuel est conçu pour la couche supérieure, et un état inférieur désiré $\eta_d$ est construit pour aligner les directions de commande avec cette entrée virtuelle. Une fonction de barrière composite combinant la sécurité de la couche supérieure et l'écart de $\eta$ par rapport à $\eta_d$ est démontrée comme étant une OD-ISSf-CBF (Théorème 3), à condition que des conditions de rang spécifiques sur les matrices du système soient remplies.

Implémentation du Contrôleur :
Le cadre produit un contrôleur de rétroaction dérivé d'un Programme Quadratique (QP). Ce QP optimise conjointement l'entrée de commande $u$ et le facteur d'échelle $\omega$ pour minimiser l'écart par rapport à un contrôleur nominal tout en satisfaisant la condition relaxée d'OD-ISSf-CBF. Le contrôleur résultant est localement lipschitzien et garantit l'invariance vers l'avant d'un ensemble sûr gonflé $S_\delta$ , où la taille du gonflement dépend de la magnitude de la perturbation et des paramètres choisis $\varepsilon$ et $\theta_d$ .

Contributions Clés
Le papier revendique les contributions primaires suivantes :

Généralisation de l'ISSf : Un nouveau cadre utilisant des OD-CBF et un modèle d'entrée de perturbation généralisé qui offre une plus grande flexibilité pour compenser les perturbations, notamment en relaxant la vérification à la frontière/extérieur de l'ensemble sûr.
Procédure de Backstepping Constructive : Une méthode systématique pour synthétiser des ISSf-CBF pour des systèmes avec des perturbations non appariées. Cela inclut des traitements techniques complets pour les systèmes à rétroaction stricte et les systèmes à double degré relatif, étendant l'applicabilité du backstepping de la stabilisation à la commande critique de la sécurité.
Garanties de Sécurité Robustes : Des preuves théoriques démontrant que les contrôleurs synthétisés garantissent que le système reste dans un voisinage borné de l'ensemble sûr (ISSf), même en présence d'incertitudes non appariées, avec la capacité de maintenir une sécurité stricte si les bornes de perturbation sont suffisamment petites.

Résultats et Simulations
Les résultats théoriques sont validés par des simulations numériques sur deux systèmes de référence :

Pendule Inversé : Un système à rétroaction stricte soumis à des perturbations non appariées. Les simulations démontrent que le contrôleur proposé maintient avec succès le pendule dans une plage angulaire sûre. Les résultats illustrent le compromis contrôlé par le paramètre $\varepsilon$ : des valeurs plus petites de $\varepsilon$ offrent une plus grande robustesse, maintenant la trajectoire à l'intérieur de l'ensemble sûr, tandis que des valeurs plus grandes permettent à la trajectoire de sortir de l'ensemble mais de rester dans un voisinage borné, conformément à la théorie ISSf.
Quadrotor Plan : Un système à double degré relatif soumis à des rafales de vent (perturbations non appariées). La simulation montre le drone naviguant avec succès vers une contrainte de mur. À mesure que le drone approche de la frontière de sécurité, le contrôleur ajuste l'orientation ( $\eta$ ) pour aligner le vecteur de poussée contre la perturbation, contrecarrant efficacement l'incertitude non appariée. Les résultats confirment qu'une sélection appropriée de $\varepsilon$ assure la sécurité, tandis que des valeurs plus élevées mènent à des violations de sécurité.

Signification
Ce travail se positionne comme une solution constructive à une lacune persistante dans le contrôle critique de la sécurité : la synthèse de CBF pour des systèmes avec des incertitudes non appariées. En exploitant les propriétés structurelles des systèmes à rétroaction stricte et DRD via le backstepping, les auteurs permettent la construction systématique de filtres de sécurité robustes pour des classes de systèmes non linéaires pratiquement pertinentes. Ce travail comble le fossé entre la robustesse théorique de l'ISSf et les défis de synthèse pratique posés par les dynamiques non appariées, offrant une voie pour déployer des contrôleurs critiques de la sécurité sur des plateformes robotiques complexes comme les quadrotors et les manipulateurs opérant dans des environnements incertains.