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Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

यह शोध पत्र एक नवीन डेटा-संचालित ढांचे का प्रस्ताव करता है जो अनमॉडल (unmodeled) गैररेखीय प्रणालियों के लिए सम-ऑफ-स्क्वायर्स (sum-of-squares) लयापुनोव-जैसे फलनों और रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करके धनात्मक अपरिवर्तनीय समुच्चयों (positive invariant sets) को संश्लेषित करता है, जिससे रोबस्ट कमांड गवर्नरों के डिजाइन को सक्षम बनाया जा सके जो प्लांट अनिश्चितता के बावजूद बाधाओं को लागू करते हैं।

मूल लेखक: Ali Kashani, Claus Danielson

प्रकाशित 2026-06-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ali Kashani, Claus Danielson

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी कार चला रहे हैं जिसमें एक बहुत ही कुशल, लेकिन थोड़ी "अंधी" ऑटोपायलट प्रणाली है। यह ऑटोपायलट कार को स्थिर रखने और एक सामान्य पथ का पालन करने का ज्ञान रखता है, लेकिन इसे सड़क के विशिष्ट नियमों (जैसे लेन की रेखाओं के भीतर रहना) या हर संभव मोड़ पर कार कैसे प्रतिक्रिया देगी, इसकी सटीक भौतिकी (physics) का ज्ञान नहीं है। आप एक "सेफ्टी गार्जियन" (सुरक्षा रक्षक) जोड़ना चाहते हैं जो ऑटोपायलट की निगरानी करे और उसके आदेशों को धीरे से थोड़ा बदल दे ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कार कभी दुर्घटनाग्रस्त न हो या सड़क से बाहर न जाए, बिना ऑटोपायलट को बंद किए या उसे फिर से शुरू किए।

यह शोध पत्र इस बारे में है कि जटिल, अप्रत्याशित प्रणालियों (जैसे रोबोट या सेल्फ-ड्राइविंग कार) के लिए इस सुरक्षा रक्षक को डेटा का उपयोग करके कैसे बनाया जाए, न कि जटिल गणितीय मॉडल का उपयोग करके।

यहाँ उनके दृष्टिकोण का रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "ब्लैक बॉक्स" और "सेफ्टी नेट"

कई वास्तविक दुनिया की मशीनों में, हमारे पास इस बात का कोई सटीक गणितीय सूत्र नहीं होता कि वे कैसे चलती हैं। हमारे पास एक कंट्रोलर हो सकता है जो अच्छा काम करता है, लेकिन हमें यह नहीं पता कि वह क्यों काम करता है या क्या वह किसी नई स्थिति में नियम तोड़ देगा।

लक्ष्य: एक "कमांड गवर्नर" (CG) बनाना। इसे एक सह-चालक (co-pilot) के रूप में सोचें जो मुख्य ड्राइवर के बगल में बैठा है। मुख्य ड्राइवर कोशिश करता है कि वह जहाँ जाना चाहता है वहाँ जाए, लेकिन सह-चालक जाँच करता है: "यदि आप वहाँ जाते हैं, तो क्या हम दीवार से टकरा जाएंगे?" यदि हाँ, तो सह-चालक स्टीयरिंग व्हील को थोड़ा समायोजित करता है ताकि हम सुरक्षित रहें, और फिर मुख्य ड्राइवर को नियंत्रण वापस दे देता है।
चुनौती: आमतौर पर, इस सह-चालक को बनाने के लिए आपको इलाके के एक सटीक मानचित्र (गणितीय मॉडल) की आवश्यकता होती है। यदि आपके पास मानचित्र नहीं है, या यदि मानचित्र गलत है, तो सह-चालक गलत अनुमान लगा सकता है।

2. समाधान: "सुरक्षित ड्राइविंग" से सीखना

एक सटीक मानचित्र लिखने के बजाय, लेखक कहते हैं: "आइए बस देखते हैं कि विभिन्न, स्थिर स्टीयरिंग कोणों के साथ कार चलाने पर क्या होता है।"

डेटा: वे सिस्टम को एक निश्चित कमांड (जैसे, "थोड़ा बाएँ मुड़ें") के साथ चलाते हैं और उसके पथ को रिकॉर्ड करते हैं। वे ऐसा कई अलग-अलग कमांड के लिए करते हैं।
"सुरक्षित क्षेत्र" (इनवेरिएंट सेट): प्रत्येक विशिष्ट कमांड के लिए, वे डेटा को देखकर एक "सेफ बबल" (सुरक्षित बुलबुला) पाते हैं। यदि कार इस बुलबुले के अंदर है और आप उस विशिष्ट कमांड का उपयोग करते हैं, तो कार हमेशा उस बुलबुले के भीतर ही रहेगी। यह एक सुरक्षा घेरे की तरह है जो कार को सुरक्षित रखता है।
जादुई ट्रिक: वे इन सभी व्यक्तिगत "सेफ बबल्स" (प्रत्येक कमांड के लिए एक) को एक विशाल, लचीले "एडमिसेबल सेट" (स्वीकार्य सेट) में मिला देते हैं। यह सेट सह-चालक को बताता है: "जब तक कार इस बड़े आकार के भीतर है, और आप इस सूची से एक कमांड चुनते हैं, हम सुरक्षित हैं।"

3. गणित: एक पहेली को सरल चेकलिस्ट में बदलना

आमतौर पर, जटिल, नॉन-लीनियर सिस्टम के लिए इन "सेफ बबल्स" का पता लगाना एक 1,000-टुकड़ों वाली पहेली को हल करने जैसा है जहाँ टुकड़े अपना आकार बदलते रहते हैं। इसके लिए भारी, धीमी कंप्यूटर गणनाओं (जिसे सेमी-डेफिनेट प्रोग्रामिंग कहा जाता है) की आवश्यकता होती है।

नवाचार: लेखकों ने इसे सरल बनाने का एक तरीका खोजा है। उन्होंने "लिफ्टिंग" (कल्पना करें कि एक 2D छाया को बेहतर आकार देखने के लिए 3D में खींच दिया जाता है) नामक तकनीक का उपयोग किया और फिर इस कठिन पहेली को एक सरल चेकलिस्ट (लीनियर प्रोग्रामिंग) में बदल दिया।
यह क्यों मायने रखता है: यह गणना को इतना तेज़ बनाता है कि इसे ऑफलाइन (कार शुरू होने से पहले ही) किया जा सके, ताकि सुरक्षा प्रणाली तुरंत काम करने के लिए तैयार रहे।

4. अनिश्चितता को संभालना: "फजी" सुरक्षा मार्जिन

चूंकि वे डेटा से सीख रहे हैं, इसलिए वहां अंतराल हो सकते हैं। हो सकता कि उन्होंने कार को 100 बार चलाया हो, लेकिन सड़क में एक ऐसा स्थान हो जहाँ उन्होंने कभी गाड़ी नहीं चलाई। यदि कार वहां अजीब व्यवहार करती है तो क्या होगा?

समाधान: वे एक "लिप्सचिट्ज़" (Lipschitz) गुण का उपयोग करते हैं (एक फैंसी तरीका यह कहने का कि "कार टेलीपोर्ट नहीं कर सकती या अपनी गति तुरंत नहीं बदल सकती")। वे अपने डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी के आधार पर एक सुरक्षा मार्जिन की गणना करते हैं। यदि डेटा घना (बहुत सारे बिंदु) है, तो सुरक्षा मार्जिन छोटा है। यदि डेटा विरल (कम बिंदु) है, तो वे अतिरिक्त सावधानी के लिए "सेफ बबल" को सिकोड़ देते हैं। यह सुनिश्चित करता है कि भले ही गणित एकदम सटीक न हो, फिर भी सिस्टम रोबस्ट (मजबूत) है और गलती से नियम नहीं तोड़ेगा।

5. वास्तविक दुनिया के परीक्षण

उन्होंने इस विचार का दो तरीकों से परीक्षण किया:

एक साधारण स्प्रिंग: उन्होंने एक मानक भौतिकी प्रणाली का उपयोग किया जहाँ हम उत्तर जानते थे। उन्होंने अपने डेटा-संचालित "सेफ बबल" की तुलना सटीक गणितीय उत्तर से की। यह लगभग समान था, जिससे सिद्ध हुआ कि उनकी विधि काम करती है।
एक सेल्फ-ड्राइविंग कार: उन्होंने एक सिम्युलेटेड कार का परीक्षण किया जो अपनी लेन में रहने की कोशिश कर रही थी। कार के पास एक आंतरिक कंट्रोलर (ड्राइवर) था जो अच्छा था लेकिन पूर्ण नहीं था।
- गार्जियन के बिना: कार अपनी लेन से बाहर निकल गई।
- उनके डेटा-संचालित गार्जियन के साथ: कार अपनी लेन में बिल्कुल सही रही, भले ही गति बदल गई हो या सड़क कठिन हो गई हो। इसने बिल्कुल वैसा ही प्रदर्शन किया जैसा कि यदि उन्होंने सटीक गणितीय मॉडल का उपयोग किया होता, लेकिन बिना किसी मॉडल की आवश्यकता के।

सारांश

यह शोध पत्र कहता है: "यह समझने की कोशिश न करें कि एक रोबोट कैसे चलता है उसका एक आदर्श पाठ्यपुस्तक विवरण लिखें। इसके बजाय, इसे चलते हुए देखें, विभिन्न कमांड के लिए डेटा का उपयोग करके 'सेफ ज़ोन' खोजें, और एक सुरक्षा गार्ड बनाएं जो रोबोट को उन ज़ोन के भीतर रखता है। हमने इसे करने का एक तेज़, विश्वसनीय तरीका खोजा है, भले ही रोबोट अप्रत्याशित हो।"

यह इंजीनियरों को मौजूदा, जटिल प्रणालियों को पूरी तरह से फिर से बनाए बिना या उनकी भौतिकी के हर छोटे विवरण को समझे बिना उनमें सुरक्षा सुविधाएँ जोड़ने की अनुमति देता है।

तकनीकी सारांश: नॉनलीनियर सिस्टम के लिए डेटा-ड्रिवन इनवेरिएंट सेट और कमांड गवर्नर में इसका अनुप्रयोग

समस्या विवरण
सुरक्षा-महत्वपूर्ण साइबर-फिजिकल सिस्टम, जैसे कि स्वायत्त वाहन (autonomous vehicles) और औद्योगिक रोबोट, को सख्त स्टेट कंस्ट्रेंट्स (state constraints) के भीतर काम करना चाहिए। जबकि मौजूदा कंट्रोलर्स (जैसे PID या LQR) स्थिरता और रेफरेंस ट्रैकिंग को संभाल सकते हैं, वे बाधाओं की संतुष्टि (constraint satisfaction) की गारंटी नहीं दे सकते, विशेष रूप से तब जब सिस्टम डायनेमिक्स अनमॉडल (unmodeled), जटिल या अनिश्चित हों। इन कंट्रोलर्स को मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (MPC) से बदलना अक्सर वांछनीय नहीं होता है क्योंकि इससे ट्यून किए गए लेगेसी कंट्रोलर्स का नुकसान होता है और एक सटीक सिस्टम मॉडल की आवश्यकता होती है। कमांड गवर्नर्स (CGs) एक विकल्प प्रदान करते हैं जो एक आउटर-लूप कंट्रोलर के रूप में कार्य करता है, जो रेफरेंस कमांड को इस तरह समायोजित करता है कि बाधाएं पूरी हों, बिना इनर कंट्रोलर को फिर से डिजाइन किए। हालांकि, अनमॉडल नॉनलीनियर सिस्टम के लिए CG को सिंथेसाइज करना चुनौतीपूर्ण है। पारंपरिक तरीके नियंत्रित इनवेरिएंट (CI) सेट्स की गणना पर निर्भर करते हैं, जो अक्सर कठिन नॉन-कॉन्वेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता रखते हैं या एक ज्ञात सिस्टम मॉडल पर निर्भर होते हैं। इसके अलावा, विशुद्ध रूप से डेटा-ड्रिवन दृष्टिकोण जो सीधे इनवेरिएंट सेट्स को सीखने का प्रयास करते हैं, अक्सर "डायमेंशनलिटी के अभिशाप" (curse of dimensionality) से जूझते हैं और सीमित डेटा एवं प्लांट अनिश्चितता के कारण इनवेरिएंस के औपचारिक प्रमाणों (formal guarantees) का अभाव रखते हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र अनमॉडल नॉनलीनियर सिस्टम के लिए पॉजिटिव इनवेरिएंट (PI) सेट्स को सीधे डेटा-ड्रिवन तरीके से सिंथेसाइज करने का प्रस्ताव देता है, जिन्हें बाद में एक कमांड गवर्नर के उपयोग के लिए CI सेट बनाने के लिए एकत्रित किया जाता है। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

PI सेट्स के माध्यम से समस्या का पुनर्गठन: सीधे एक जटिल CI सेट की गणना करने के बजाय, लेखक समस्या को विभाजित करते हैं। वे स्थिर कमांड्स $\bar{r}$ के एक सेट को मानते हैं। प्रत्येक स्थिर कमांड के लिए, सिस्टम एक ऑटोनॉमस सिस्टम बन जाता है। लेखक प्रत्येक ऑटोनॉमस डायनेमिक्स के लिए एक PI सेट $O(\bar{r})$ की गणना करते हैं। इन PI सेट्स का यूनियन मूल नियंत्रित सिस्टम के लिए एक CI सेट बनाता है। यह CG सिंथेसिस को एक इंटीजर प्रोग्राम में बदल देता है जो निकटतम स्थिर कमांड $\bar{r}$ का चयन करता है ताकि वर्तमान स्टेट संबंधित PI सेट के भीतर हो।
बेसिस फंक्शन्स के साथ फंक्शनल सिंथेसिस: PI सेट्स $O(\bar{r})$ की गणना करने के लिए, लेखक उन्हें एक लिपटोव-जैसे फंक्शन $V(x; \bar{r}) \leq 1$ के सब-लेवल सेट्स के रूप में प्रस्तुत करते हैं। वे इस फंक्शन को पूर्व-चयनित बेसिस फंक्शन्स $\phi(x)$ (जैसे थिन-प्लेट स्प्लाइन्स या न्यूरल नेटवर्क फीचर्स) और एक पॉजिटिव डेफिनिट मैट्रिक्स $P$ के संयोजन का उपयोग करके पैरामीटराइज करते हैं। फंक्शन को ऐसी शर्तों को पूरा करने के लिए निर्मित किया गया है जो यह सुनिश्चित करती हैं कि सेट कंस्ट्रेंट सेट के भीतर हो और फंक्शन सिस्टम के प्रक्षेपवक्र (trajectories) के साथ घटता है (या सीमित रहता है)।
डेटा-ड्रिवन सेमीडेफिनिट प्रोग्रामिंग (SDP):
- इक्विलिब्रियम एप्रोक्सिमेशन: चूंकि वास्तविक इक्विलिब्रियम $x_\infty(\bar{r})$ अज्ञात है, इसलिए इसे स्थिर कमांड्स द्वारा उत्पन्न ट्रेजेक्टरीज के एन्सेम्बल एवरेज का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।
- लिप्सचिट्ज़ गुणों के माध्यम से मजबूती (Robustness): डेटा की अनिश्चितता और मॉडल की कमी से निपटने के लिए, लेखक सिस्टम डायनेमिक्स ( $L_f$ ) और बेसिस फंक्शन्स ( $L_\phi$ ) की लिप्सचिट्ज़ निरंतरता का लाभ उठाते हैं। वे डेटा घनत्व (कंस्ट्रेंट सेट और डेटा के बीच हाउसरडॉर्फ डिस्टेंस) और लिप्सचिट्ज़ स्थिरांकों के आधार पर एक "टाइटनिंग" टर्म $\epsilon_k$ निकालते हैं।
- ऑप्टिमाइज़ेशन: सिंथेसिस समस्या को एक सेमीडेफिनिट प्रोग्राम (SDP) के रूप में तैयार किया गया है जो इनवेरिएंट सेट के वॉल्यूम को कम करता है (लिपटोव फंक्शन के इंटीग्रल को कम करके), जबकि उन बाधाओं को भी पूरा करता है जो सैम्पल किए गए डेटा पॉइंट्स पर इनवेरिएंस सुनिश्चित करती हैं, जिसे मजबूती टर्म $\epsilon_k$ द्वारा समायोजित किया गया है।
कंप्यूटेशनल व्यवहार्यता: यह पहचानते हुए कि उच्च-आयामी (high-dimensional) सिस्टम के लिए SDP गणनात्मक रूप से महंगे होते हैं, लेखक एक रिलैक्सेशन तकनीक का प्रस्ताव करते हैं। वे समाधान मैट्रिक्स $P$ को फिक्स्ड पॉजिटिव डेफिनिट मैट्रिसेस के लीनियर कॉम्बिनेशन के रूप में अनुमानित करते हैं। यह SDP को एक लीनियर प्रोग्राम (LP) में बदल देता है, जिससे प्रवेय (provable) इनवेरिएंस गारंटी बनाए रखते हुए कंप्यूटेशनल जटिलता काफी कम हो जाती है।

मुख्य परिणाम
शोध पत्र दो उदाहरणों के माध्यम से दृष्टिकोण को मान्य करता है:

इलस्ट्रेटिव लीनियर उदाहरण: एक लीनियर टाइम-इनवेरिएंट (LTI) सिस्टम जिसका उपयोग अंडर-डैम्प्ड डायनेमिक्स और पोलिटोपिक कंस्ट्रेंट्स के लिए किया गया था। डेटा-ड्रिवन CG की तुलना एक ऐसे CG से की गई जिसे वास्तविक मैक्सिमल एडमिसेबल सेट (मानक मॉडल-आधारित तरीकों द्वारा गणना किया गया) का उपयोग करके सिंथेसाइज किया गया था। परिणामों ने प्रदर्शित किया कि डेटा-ड्रिवन CG ने बाधाओं को सफलतापूर्वक लागू किया और प्रदर्शन के मामले में अनुकूलतम मॉडल-आधारित CG के करीब परिणाम दिए, बावजूद इसके कि उसके पास सिस्टम मॉडल तक पहुंच नहीं थी।
ऑटोनॉमस लेन-कीपिंग: एक नॉनलीनियर किनेमैटिक बाइसिकल मॉडल का उपयोग किया गया था जिसे एक स्वायत्त वाहन के लिए बनाया गया था। इनर कंट्रोलर एक लीनियर क्वाड्रेटिक रेगुलर (LQR) था जिसे एक नाममात्र गति के लिए डिजाइन किया गया था। डेटा-ड्रिवन CG का परीक्षण ओवरटेकिंग मैन्युवर्स के दौरान किया गया जहाँ वाहन की गति 20 m/s से बढ़कर 27 m/s हो गई। परिणामों ने दिखाया कि डेटा-ड्रिवन CG ने वाहन को सड़क से बाहर जाने (कंस्ट्रेंट्स का उल्लंघन करने) से रोका, जहाँ बिना CG वाले सिस्टम, या सैंपल-आधारित दृष्टिकोण वाले CG वाले सिस्टम विफल रहे थे।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह अनमॉडल नॉनलीनियर सिस्टम के लिए इनवेरिएंट सेट्स को सिंथेसाइज करने के लिए एक नवीन प्रत्यक्ष डेटा-ड्रिवन तकनीक प्रस्तुत करता है, जिसमें किसी मध्यवर्ती सिस्टम आइडेंटिफिकेशन स्टेप की आवश्यकता नहीं है। मुख्य योगदान हैं:

डायरेक्ट लर्निंग: इनवेरिएंट सेट्स को सीधे डेटा ट्रेजेक्टरीज से सीखा जाता है, जिससे पैरामेट्रिक मॉडल की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
मजबूती के गारंटी (Robustness Guarantees): लिप्सचिट्ज़ गुणों और डेटा घनत्व मेट्रिक्स का उपयोग करके, यह विधि गारंटी देती है कि सीखे गए सेट्स डेटा-ड्रिवन फ्रेमवर्क की अंतर्निहित अनिश्चितता के प्रति मजबूत हैं।
स्केलेबिलिटी: SDP को LP में रिलैक्स करने से "डायमेंशनलिटी का अभिशाप" दूर होता है, जिससे यह दृष्टिकोण उच्च-आयामी सिस्टम के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य हो जाता है।
व्यावहारिक उपयोगिता: यह दिखाया गया है कि यह विधि लीनियर और नॉनलीनियर दोनों परिदृश्यों में प्रभावी है, विशेष रूप से स्वायत्त ड्राइविंग जैसे सुरक्षा-महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में जहाँ मॉडल अनिश्चितता और कंस्ट्रेंट संतुष्टि सर्वोपरि है।

लेखक एक विनम्र लहजा बनाए रखते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि यह दृष्टिकोण सटीक मैक्सिमल सेट के बजाय एक "सब-मैक्सिमल" इनवेरिएंट सेट प्रदान करता है, लेकिन वे जोर देते हैं कि इनवेरिएंस और कंस्ट्रेंट एडमिसेबिलिटी की गारंटी ही प्राथमिक उद्देश्य है। वे उल्लेख करते हैं कि मेजरमेंट नॉइज़ और बाहरी व्यवधानों (external disturbances) पर वर्तमान में विचार नहीं किया गया है, जो भविष्य के शोध के विषय हैं।