Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

技術要約：非線形システムのためのデータ駆動型不変集合：コマンド・ガバナーへの適用

問題提起
自動運転車や産業用ロボットなどの安全性が極めて重要なサイバーフィジカルシステムは、状態制約を厳格に遵守して動作しなければならない。既存のコントローラ（PIDやLQRなど）は、安定性や参照追従を扱うことが多いが、システムのダイナミクスが未モデル化であったり、複雑であったり、あるいは不確実であったりする場合、制約満足を保証できないことがある。これらのコントローラをモデル予測制御（MPC）に置き換えることは、調整済みのレガシーなコントローラの喪失や、正確なシステムモデルの必要性を考慮すると、必ずしも望ましいわけではない。コマンド・ガバナー（CG）は、内部コントローラの再設計を行うことなく、制約を満たすように参照コマンドを調整する外ループ・コントローラとして、代替案を提供する。しかし、未モデル化の非線形システムに対してCGを合成することは困難である。従来の手法は制御不変（CI）集合の計算に依存しているが、これらはしばしば、解くことが困難な非凸最適化問題に帰着するか、既知のシステムモデルに依存することになる。また、不変集合を直接学習しようとする純粋なデータ駆動型アプローチは、「次元の呪い」に苦しみやすく、有限のデータやプラントの不確実性ゆえに、不変性の形式的な保証を欠く傾向がある。

手法
本論文では、未モデル化の非線形システムに対して正不変（PI）集合を直接合成するデータ駆動型アプローチを提案し、それらを統合することでCGで使用するためのCI集合を形成する。手法のプロセスは以下の通りである：

1. PI集合による問題の再定式化： 制御されたシステムの複雑なCI集合を直接計算する代わりに、著者らは問題を分解する。一連の定数コマンド $\bar{r}$ を想定する。各定数コマンドに対して、システムは自律系となる。著者らは、各自律ダイナミクスに対するPI集合 $O(\bar{r})$ を計算する。これらのPI集合の和集合が、元の制御されたシステムのCI集合を形成する。これにより、CGの合成は、現在の状態が対応するPI集合内に存在することを満たす最も近い定数コマンド $\bar{r}$ を選択するという整数計画問題へと簡略化される。

2. 基底関数を用いた関数合成： PI集合 $O(\bar{r})$ を計算するために、著者らはそれらをリアプノフ様関数 $V(x; \bar{r}) \leq 1$ の劣レベル集合として表現する。この関数を、事前に選択された基底関数 $\phi(x)$（例：薄板スプラインやニューラルネットワークの特徴量）と正定値行列 $P$ の組み合わせを用いてパラメータ化する。この関数は、集合が制約集合内に含まれること、および関数がシステムの軌跡に沿って減少（または有界に維持）されることを保証する条件を満たすように構築される。

3. データ駆動型半正定値計画法（SDP）：

   • 平衡近似： 真の平衡点 $x_\infty(\bar{r})$ は未知であるため、定数コマンドによって生成された軌跡の最終状態のアンサンブル平均を用いて近似する。
   • リプシッツ特性によるロバスト性： 有限のデータおよびモデルの欠如から生じる不確実性を扱うために、著者らはシステムのダイナミクス（$L_f$）と基底関数（$L_\phi$）のリプシッツ連続性を活用する。彼らは、データ密度（制約集合とデータのハウスドルフ距離）とリプシッツ定数に基づいた「タイトニング（絞り込み）」項 $\epsilon_k$ を導出する。
   • 最適化： 合成問題は、不変性を確保するための制約（ロバストネス項 $\epsilon_k$ によって調整された、サンプリングされたデータ点における不変性）の下で、不変集合の体積（リアプノフ関数の積分を最小化すること）を最小化する半正定値計画法（SDP）として定式化される。

4. 計算の実行可能性： 高次元システムにおけるSDPの計算コストが高いことを認識し、著者らは緩和技術を提案する。解となる行列 $P$ を、固定された正定値行列の線形結合として近似する。これにより、SDPは線形計画法（LP）へと変換され、証明可能な不変性の保証を維持しつつ、計算複雑性を大幅に削減できる。

主な結果
本論文は、2つの例を通じてこのアプローチを検証している：

1. 例証的な線形例： 不足減衰ダイナミクスと多面体制約を持つ線形時不変（LTI）システムを用いた。データ駆動型CGを、標準的なモデルベース手法を用いて計算された真の最大許容集合（MAS）を用いて合成されたCGと比較した。結果は、データ駆動型CGが、システムモデルへのアクセスがないにもかかわらず、制約を正常に強制し、最適なモデルベースCGに近い性能を達成したことを示した。
2. 自律レーンキープ： 非線形キネマティック・バイシクルモデルを用いて、自動運転車のシミュレーションを行った。内部コントローラは、公称速度に対して設計された線形二次レギュレータ（LQR）である。データ駆動型CGは、車両速度が20 m/sから27 m/sに増加する追い越し操作中のテストに使用された。結果は、CGがない場合、あるいはサンプルベースのアプローチを用いたCGを使用した場合に失敗したシナリオにおいて、データ駆動型CGが車両の道路逸脱（制約違反）を防いだことを示した。

意義と主張
本論文は、中間的なシステム同定ステップを必要とせずに、未モデル化の非線形システムに対して不変集合を合成するための、新しい直接的なデータ駆動型手法を提示していると主張している。主な貢献は以下の通りである：

• 直接学習： 不変集合は、パラメータ化されたモデルを介さず、データ軌跡から直接学習される。
• ロバスト性の保証： リプシッツ特性とデータ密度指標を利用することで、学習された集合がデータ駆動型フレームワーク固有の不確実性に対してロバストであることを保証する形式的な保証を提供する。
• スケーラビリティ： SDPをLPへ緩和することで、次元の呪いに対処し、高次元システムに対してもこのアプローチを計算可能なものにしている。
• 実用性： 本手法が線形および非線形の両方のシナリオで有効であることを示しており、特にモデルの不確実性と制約充足が極めて重要な自動運転のような安全性が重要なアプリケーションにおける有用性を示している。

著者らは、このアプローチが厳密な最大集合ではなく「劣最大（sub-maximal）」な不変集合をもたらすことを認めつつも、不変性と制約適合性の保証が主要な目的であることを強調し、控えめなトーンを維持している。また、測定ノイズや外部外乱については現在は考慮しておらず、今後の課題であるとしている。