Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

Resumo Técnico: Conjunto Invariante Baseado em Dados para Sistemas Não Lineares com Aplicação a Governadores de Comando

Definição do Problema
Sistemas ciberfísicos críticos para a segurança, como veículos autônomos e robôs industriais, devem operar dentro de restrições estritas de estado. Embora os controladores existentes (ex: PID ou LQR) frequentemente lidem com estabilidade e rastreamento de referência, eles podem não garantir a satisfação de restrições, particularmente quando a dinâmica do sistema é não modelada, complexa ou incerta. Substituir esses controladores por Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC) é muitas vezes indesejável devido à perda de controladores legados ajustados e à exigência de um modelo de sistema preciso. Os Governadores de Comando (CGs) oferecem uma alternativa como um controlador de malha externa que ajusta o comando de referência para garantir que as restrições sejam atendidas sem redesenhar o controlador interno. No entanto, sintetizar um CG para sistemas não lineares não modelados é um desafio. Métodos tradicionais dependem do cálculo de conjuntos Controlados Invariantes (CI), que frequentemente exigem a resolução de problemas de otimização não convexos intratáveis ou dependem de um modelo de sistema conhecido. Além disso, abordagens puramente baseadas em dados que tentam aprender conjuntos invariantes diretamente frequentemente lutam contra a "maldição da dimensionalidade" e carecem de garantias formais de invariância devido a dados finitos e incerteza do sistema.

Metodologia
O artigo propõe uma abordagem direta baseada em dados para sintetizar conjuntos Positivos Invariantes (PI) para sistemas não lineares não modelados, que são então agregados para formar um conjunto CI para uso em um Governador de Comando. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Reformulação do Problema via Conjuntos PI: Em vez de calcular diretamente um conjunto CI complexo para o sistema controlado, os autores decompõem o problema. Eles assumem um conjunto de comandos constantes $\bar{r}$. Para cada comando constante, o sistema torna-se um sistema autônomo. Os autores calculam um conjunto PI $O(\bar{r})$ para cada dinâmica autônoma. A união desses conjuntos PI forma um conjunto CI para o sistema controlado original. Isso reduz a síntese do CG a um programa inteiro que seleciona o comando constante $\bar{r}$ mais próximo tal que o estado atual esteja dentro do respectivo conjunto PI.

2. Síntese Funcional com Funções de Base: Para calcular os conjuntos PI $O(\bar{r})$, os autores os representam como conjuntos de nível subjacente de uma função do tipo Lyapunov $V(x; \bar{r}) \leq 1$. Eles parametrizam essa função usando uma combinação de funções de base $\phi(x)$ pré-selecionadas (ex: splines de placa fina ou características de redes neurais) e uma matriz positiva definida $P$. A função é construída para satisfazer condições que garantem que o conjunto esteja contido dentro do conjunto de restrições e que a função diminua (ou permaneça limitada) ao longo das trajetórias do sistema.

3. Programação Semidefinida (SDP) Baseada em Dados:

   • Aproximação de Equilíbrio: Como o equilíbrio verdadeiro $x_\infty(\bar{r})$ é desconhecido, ele é aproximado usando a média do conjunto das trajetórias geradas por comandos constantes.
   • Robustez via Propriedades de Lipschitz: Para lidar com a incerteza decorrente de dados finitos e da falta de um modelo, os autores utilizam as propriedades de continuidade de Lipschitz da dinâmica do sistema ($L_f$) e das funções de base ($L_\phi$). Eles derivam um termo de "estreitamento" $\epsilon_k$ baseado na densidade de dados (distância de Hausdorff entre o conjunto de restrições e os dados) e nas constantes de Lipschitz.
   • Otimização: O problema de síntese é formulado como um Programa Semidefinido (SDP) que minimiza o volume do conjunto invariante (minimizando um integral da função de Lyapunov) sujeito a restrições que garantem a invariância nos pontos de dados amostrados, ajustados pelo termo de robustez $\epsilon_k$.

4. Tratabilidade Computacional: Reconhecendo que os SDPs são computacionalmente caros para sistemas de alta dimensão, os autores propõem uma técnica de relaxação. Eles aproximam a matriz solução $P$ como uma combinação linear de matrizes positivas definidas fixas. Isso transforma o SDP em um Programa Linear (LP), reduzindo significativamente a complexidade computacional enquanto mantém garantias de invariância comprováveis.

Principais Resultados
O artigo valida a abordagem através de dois exemplos:

1. Exemplo Linear Ilustrativo: Um sistema linear invariante no tempo (LTI) com dinâmica subamortecida e restrições politópicas foi utilizado. O CG baseado em dados foi comparado com um CG sintetizado usando o verdadeiro conjunto admissível máximo (calculado via métodos padrão baseados em modelo). Os resultados demonstraram que o CG baseado em dados aplicou as restrições com sucesso e alcançou um desempenho próximo ao do CG ótimo baseado em modelo, apesar de não ter acesso ao modelo do sistema.
2. Manutenção de Faixa Autônoma: Um modelo de bicicleta cinemático não linear foi usado para simular um veículo autônomo. O controlador interno era um Regulador Quadrático Linear (LQR) projetado para uma velocidade nominal. O CG baseado em dados foi testado durante manobras de ultrapassagem onde a velocidade do veículo aumentou de 20 m/s para 27 m/s. Os resultados mostraram que o CG baseado em dados evitou que o veículo saísse da estrada (violando restrições) em cenários onde o sistema sem um CG, ou um CG usando uma abordagem baseada em amostragem, falhou.

Significância e Alegações
O artigo afirma apresentar uma nova técnica direta baseada em dados para sintetizar conjuntos invariantes para sistemas não lineares não modelados sem requerer uma etapa intermediária de identificação de sistema. As principais contribuições incluem:

• Aprendizado Direto: Os conjuntos invariantes são aprendidos diretamente de trajetórias de dados, contornando a necessidade de um modelo paramétrico.
• Garantias de Robustez: Ao utilizar propriedades de Lipschitz e métricas de densidade de dados, o método fornece garantias formais de que os conjuntos aprendidos são robustos à incerteza inerente da estrutura baseada em dados.
• Escalabilidade: A relaxação do SDP para um LP aborda a maldição da dimensionalidade, tornando a abordagem computacionalmente viável para sistemas de maior dimensão.
• Utilidade Prática: O método demonstra ser eficaz tanto em cenários lineares quanto não lineares, mostrando especificamente utilidade em aplicações críticas de segurança, como direção autônoma, onde a incerteza do modelo e a satisfação de restrições são primordiais.

Os autores mantêm um tom modesto, reconhecendo que a abordagem produz um conjunto invariante "sub-máximo" em vez do conjunto máximo exato, mas enfatizam que a garantia de invariância e admissibilidade de restrição é o objetivo primário. Eles observam que ruído de medição e distúrbios externos não são considerados atualmente, sendo temas para trabalhos futuros.