Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

기술 요약: 비선방향 시스템을 위한 데이터 기반 불변 집합 및 커맨드 거버너에 대한 응용

문제 정의
자율 주행 차량이나 산업용 로봇과 같은 안전 필수 사이버 물리 시스템은 엄격한 상태 제약 조건 내에서 작동해야 합니다. 기존의 제어기(예: PID 또는 LQR)는 안정성과 참조 추종 성능은 잘 처리할 수 있지만, 시스템 역학이 모델링되지 않았거나 복잡하거나 불확실한 경우 제약 조건 만족을 보장하지 못할 수 있습니다. 이러한 제어기를 모델 예측 제어(MPC)로 교체하는 것은 튜닝된 레거시 제어기의 상실과 정확한 시스템 모델 요구 사항 때문에 바람직하지 않은 경우가 많습니다. 커맨드 거버너(Command Governor, CG)는 내부 제어기를 재설계하지 않고도 제약 조건을 충족하도록 참조 명령을 조정하는 외곽 루프 제어기로서 대안을 제공합니다. 그러나 모델링되지 않은 비선형 시스템을 위한 CG를 합성하는 것은 도전적인 과제입니다. 전통적인 방법은 제어 가능 불변(Controlled Invariant, CI) 집합을 계산하는 데 의존하는데, 이는 종종 다루기 힘든 비볼록 최적화 문제를 해결해야 하거나 알려진 시스템 모델에 의존해야 합니다. 또한, 직접적으로 불변 집합을 학습하려는 순수 데이터 기반 접근 방식은 유한한 데이터와 플랜트의 불확실성으로 인해 "차원의 저주"를 겪거나 불변성에 대한 공식적인 보장을 결여하기 쉽습니다.

방법론
본 논문은 모델링되지 않은 비선형 시스템을 위한 양의 불변(Positive Invariant, PI) 집합을 직접 데이터 기반으로 합성하는 방법을 제안하며, 이를 집합하여 커맨드 거버너에 사용할 CI 집합을 형성합니다. 방법론은 다음과 같습니다.

1. PI 집합을 통한 문제 재구성: 복잡한 제어 시스템에 대한 CI 집합을 직접 계산하는 대신, 저자들은 문제를 분해합니다. 이들은 일련의 상수 명령 $\bar{r}$을 가정합니다. 각 상수 명령에 대해 시스템은 자율 시스템이 됩니다. 저자들은 각 자율 역학에 대한 PI 집합 $O(\bar{r})$을 계산합니다. 이러한 PI 집합들의 합집합은 원래의 제어 시스템에 대한 CI 집합을 형성합니다. 이는 CG 합성을 현재 상태가 해당 PI 집합 내에 있도록 하는 가장 가까운 상수 명령 $\bar{r}$을 선택하는 정수 계획법(Integer Program)으로 축소합니다.

2. 기저 함수를 이용한 기능적 합성: PI 집합 $O(\bar{r})$을 계산하기 위해, 저자들은 이를 리아푸노프 유사 함수(Lyapunov-like function) $V(x; \bar{r}) \leq 1$의 하위 레벨 집합(sub-level set)으로 표현합니다. 이 함수는 사전 선택된 기저 함수 $\phi(x)$(예: 얇은 판 스플라인 또는 신경망 특징)와 양의 정부호 행렬 $P$의 조합을 사용하여 매개변수화됩니다. 이 함수는 집합이 제약 집합 내에 포함되고, 시스템 궤적을 따라 함수 값이 감소하거나(또는 유계 상태를 유지하도록) 보장하는 조건을 만족하도록 구성됩니다.

3. 데이터 기반 준정부호 계획법(SDP):

   • 평형 근사: 실제 평형점 $x_\infty(\bar{r})$은 알 수 없으므로, 상수 명령에 의해 생성된 궤적들의 앙상블 평균을 사용하여 이를 근사합니다.
   • 립시츠 성질을 통한 강건성: 유한한 데이터와 모델의 부재로 인한 불확실성을 처리하기 위해, 저자들은 시스템 역학($L_f$)과 기저 함수($L_\phi$)의 립시츠 연속성을 활용합니다. 이들은 데이터 밀도(제약 집합과 데이터 사이의 Hausdorff 거리)와 립시츠 상수를 기반으로 한 "타이트닝(tightening)" 항 $\epsilon_k$를 도출합니다.
   • 최적화: 합성 문제는 샘플링된 데이터 포인트 상에서의 불변성을 보장하는 제약 조건(강건성 항 $\epsilon_k$에 의해 조정됨)을 준수하면서, 리아푸노프 함수의 적분을 최소화함으로써 불변 집합의 부피를 최소화하는 준정부호 계획법(SDP)으로 정식화됩니다.

4. 계산적 용이성: 고차원 시스템에 대해 SDP가 계산 비용이 많이 든다는 점을 인식하여, 저자들은 완화 기법을 제안합니다. 해 행렬 $P$를 고정된 양의 정부호 행렬들의 선형 결합으로 근사함으로써, SDP를 선형 계획법(LP)으로 변환하여 계산 복잡도를 크게 줄이는 동시에 증명 가능한 불변성 보장을 유지합니다.

주요 결과
논문은 두 가지 예제를 통해 접근 방식을 검증합니다:

1. 예시적 선형 예제: 저감쇠 역학(under-damped dynamics)과 다면체 제약 조건을 가진 선형 시불변(LTI) 시스템이 사용되었습니다. 데이터 기반 CG는 표준 모델 기반 방법으로 계산된 진정한 최대 허용 집합(maximal admissible set)과 비교되었습니다. 결과는 데이터 기반 CG가 시스템 모델에 접근할 수 없음에도 불구하고 제약 조건을 성공적으로 강제하고 최적의 모델 기반 CG에 근접한 성능을 달성했음을 보여주었습니다.
2. 자율 차선 유지: 비선형 키네매틱 바이시클 모델이 자율 주행 차량을 시뮬레이션하는 데 사용되었습니다. 내부 제어기는 명목 속도에 대해 설계된 선형 이차 조절기(LQR)입니다. 데이터 기반 CG는 차량 속도가 20 m/s에서 27 m/s로 증가하는 추월 기동 중에 테스트되었습니다. 결과는 CG가 없는 경우 또는 샘플 기반 접근 방식을 사용하는 CG가 실패했던 시나리오에서, 데이터 기반 CG가 차량이 도로를 벗어나는 것(제약 위반)을 방지했음을 보여주었습니다.

의의 및 주장
본 논문은 모델 식별 단계를 거치지 않고 모델링되지 않은 비선형 시스템을 위한 불변 집합을 합성하는 새로운 직접 데이터 기반 기술을 제시한다고 주장합니다. 주요 기여는 다음과 같습니다:

• 직접 학습: 불변 집합은 파라미터 모델 없이 데이터 궤적으로부터 직접 학습됩니다.
• 강건성 보장: 립시츠 성질과 데이터 밀도 지표를 활용함으로써, 학습된 집합이 데이터 기반 프레임워크의 내재적 불확실성에 대해 강건하다는 공식적인 보장을 제공합니다.
• 확장성: SDP를 LP로 완화함으로써 차원의 저주 문제를 해결하여, 고차원 시스템에서도 이 접근 방식이 계산적으로 실행 가능하도록 만듭니다.
• 실용적 유용성: 방법론이 선형 및 비선형 시나리오 모두에서 효과적임을 입증하였으며, 특히 모델 불확실성과 제약 조건 만족이 매우 중요한 자율 주행과 같은 안전 필수 응용 분야에서의 유용성을 보여주었습니다.

저자들은 이 접근 방식이 정확한 최대 집합보다는 "부분적 최대(sub-maximal)" 불변 집합을 산출한다는 점을 인정하며 겸허한 어조를 유지하지만, 불변성과 제약 적합성의 보장이 일차적인 목표임을 강조합니다. 또한 측정 노이즈와 외부 외란은 현재 고려되지 않았으며 향후 연구 과제임을 명시합니다.