Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

Résumé Technique : Ensemble Invariant Piloté par les Données pour Systèmes Non Linéaires avec Application aux Gouverneurs de Commande

Énoncé du Problème
Les systèmes cyber-physiques critiques pour la sécurité, tels que les véhicules autonomes et les robots industriels, doivent fonctionner dans des contraintes d'état strictes. Bien que les contrôleurs existants (par exemple, PID ou LQR) gèrent souvent la stabilité et le suivi de référence, ils peuvent ne pas garantir la satisfaction des contraintes, particulièrement lorsque la dynamique du système est non modélisée, complexe ou incertaine. Remplacer ces contrôleurs par une commande prédictive (MPC) est souvent indésirable en raison de la perte des contrôleurs hérités déjà réglés et de l'exigence d'un modèle de système précis. Les gouverneurs de commande (CG) offrent une alternative en tant que contrôleur de boucle externe qui ajuste la commande de référence pour garantir que les contraintes sont respectées sans redéfinir le contrôleur interne. Cependant, la synthèse d'un CG pour des systèmes non linéaires non modélisés est complexe. Les méthodes traditionnelles reposent sur le calcul d'ensembles invariants contrôlés (CI), qui nécessitent souvent de résoudre des problèmes d'optimisation non convexes intraitables ou dépendent d'un modèle de système connu. De plus, les approches purement pilotées par les données qui tentent d'apprendre directement les ensembles invariants peinent souvent face à la « malédiction de la dimensionnalité » et manquent de garanties formelles d'invariance en raison de la finitude des données et de l'incertitude de la plante.

Méthodologie
L'article propose une approche directe pilotée par les données pour synthétiser des ensembles invariants positifs (PI) pour des systèmes non linéaires non modélés, qui sont ensuite agrégés pour former un ensemble CI destiné à un gouverneur de commande. La méthodologie procède comme suit :

1. Reformulation du Problème via les Ensembles PI : Au lieu de calculer directement un ensemble CI complexe pour le système contrôlé, les auteurs décomposent le problème. Ils supposent un ensemble de commandes constantes $\bar{r}$. Pour chaque commande constante, le système devient un système autonome. Les auteurs calculent un ensemble PI $O(\bar{r})$ pour chaque dynamique autonome. L'union de ces ensembles PI forme un ensemble CI pour le système contrôlé original. Cela réduit la synthèse du CG à un programme entier qui sélectionne la commande constante $\bar{r}$ la plus proche telle que l'état actuel se trouve dans l'ensemble PI correspondant.

2. Synthèse Fonctionnelle avec Fonctions de Base : Pour calculer les ensembles PI $O(\bar{r})$, les auteurs les représentent comme des ensembles de sous-niveau d'une fonction de type Lyapunov $V(x; \bar{r}) \leq 1$. Ils paramètrent cette fonction en utilisant une combinaison de fonctions de base $\phi(x)$ pré-sélectionnées (par exemple, des splines de type thin-plate ou des caractéristiques de réseaux de neurones) et une matrice définie positive $P$. La fonction est construite pour satisfaire des conditions garantissant que l'ensemble est contenu dans l'ensemble de contraintes et que la fonction diminue (ou reste bornée) le long des trajectoires du système.

3. Programmation Semi-Définie (SDP) Pilotée par les Données :

   • Approximation de l'Équilibre : Puisque l'équilibre réel $x_\infty(\bar{r})$ est inconnu, il est approximé par la moyenne d'ensemble des états finaux des trajectoires générées par des commandes constantes.
   • Robustesse via les Propriétés de Lipschitz : Pour gérer l'incertitude découlant des données finies et de l'absence de modèle, les auteurs exploitent la continuité de Lipschitz de la dynamique du système ($L_f$) et des fonctions de base ($L_\phi$). Ils dérivent un terme de « resserrement » $\epsilon_k$ basé sur la densité des données (distance de Hausdorff entre l'ensemble de contraintes et les données) et les constantes de Lipschitz.
   • Optimisation : Le problème de synthèse est formulé comme un programme semi-défini (SDP) qui minimise le volume de l'ensemble invariant (en minimisant une intégrale de la fonction de Lyapunov) sous réserve de contraintes qui garantissent l'invariance sur les points de données échantillonnés, ajustés par le terme de robustesse $\epsilon_k$.

4. Tractabilité Computationnelle : Reconnaissant que les SDP sont coûteux en calcul pour les systèmes de haute dimension, les auteurs proposent une technique de relaxation. Ils approchent la solution de la matrice $P$ comme une combinaison linéaire de matrices définies positives fixes. Cela transforme le SDP en un programme linéaire (LP), réduisant considérablement la complexité computationnelle tout en maintenant des garanties d'invariance prouvables.

Résultats Clés
L'article valide l'approche à travers deux exemples :

1. Exemple Linéaire Illustratif : Un système linéaire invariant dans le temps (LTI) avec une dynamique sous-amortie et des contraintes polytopiques a été utilisé. Le CG piloté par les données a été comparé à un CG synthétisé à l'aide du véritable ensemble admissible maximal (calculé via des méthodes standard basées sur le modèle). Les résultats ont démontré que le CG piloté par les données imposait avec succès les contraintes et atteignait des performances proches du CG optimal basé sur le modèle, malgré l'absence d'accès au modèle du système.
2. Maintien de Voie Autonome : Un modèle de bicyclette cinématique non linéaire a été utilisé pour simuler un véhicule autonome. Le contrôleur interne était un régulateur LQR conçu pour une vitesse nominale. Le CG piloté par les données a été testé lors de manœuvres de dépassement où la vitesse du véhicule augmentait de 20 m/s à 27 m/s. Les résultats ont montré que le CG piloté par les données empêchait le véhicule de quitter la route (violation des contraintes) dans des scénarios où le système sans CG, ou un CG utilisant une approche basée sur l'échantillonnage, échouait.

Signification et Revendications
L'article affirme présenter une nouvelle technique directe pilotée par les données pour la synthèse d'ensembles invariants pour des systèmes non linéaires non modélisés, sans nécessiter d'étape intermédiaire d'identification de système. Les principales contributions incluent :

• Apprentissage Direct : Les ensembles invariants sont appris directement à partir des trajectoires de données, contournant le besoin d'un modèle paramétrique.
• Garanties de Robustesse : En utilisant les propriétés de Lipschitz et les métriques de densité de données, la méthode fournit des garanties formelles que les ensembles appris sont robustes à l'incertitude inhérente au cadre piloté par les données.
• Scalabilité : La relaxation du SDP vers un LP répond à la malédiction de la dimensionnalité, rendant l'approche calculablement réalisable pour des systèmes de dimension supérieure.
• Utilité Pratique : La méthode est démontrée comme étant efficace tant dans les scénarios linéaires que non linéaires, montrant spécifiquement son utilité dans des applications critiques pour la sécurité comme la conduite autonome, où l'incertitude du modèle et la satisfaction des contraintes sont primordiales.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, reconnaissant que l'approche produit un ensemble invariant « sous-maximal » plutôt que l'ensemble maximal exact, mais soulignent que la garantie d'invariance et d'admissibilité des contraintes est l'objectif principal. Ils notent que le bruit de mesure et les perturbations externes ne sont pas actuellement pris en compte et constituent des sujets pour des travaux futurs.