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Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

本文提出了一种新颖的数据驱动框架，该框架利用平方和李雅普诺夫类函数与线性规划，为未建模非线性系统合成正不变集，从而实现能够尽管存在植物不确定性仍能强制执行约束条件的鲁棒指令调节器的设计。

原作者： Ali Kashani, Claus Danielson

发布于 2026-06-16

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原作者： Ali Kashani, Claus Danielson

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在驾驶一辆拥有非常出色但略显“盲目”的自动驾驶系统的汽车。这个自动驾驶系统知道如何保持车辆稳定并遵循大致路径，但它并不了解道路的具体规则（比如保持在车道线内），也不了解车辆在每次转向时反应的精确物理特性。你想为它添加一个“安全守护者”，观察自动驾驶系统的指令，并轻轻地调整这些指令，以确保汽车永远不会撞车或驶离道路，同时又不会直接关闭自动驾驶并重新开始。

这篇论文介绍了一种构建这种安全守护者的新方法，用于应对复杂的、不可预测的系统（如机器人或无人驾驶汽车），其核心是利用数据而非复杂的数学模型。

以下是使用日常类比对他们方法的拆解：

1. 问题所在：“黑盒”与“安全网”

在许多现实世界的机器中，我们并没有一个完美的数学公式来精确描述它们的运动方式。我们可能有一个运行良好的控制器，但我们不知道它为什么有效，或者它是否会在新的情况下违反规则。

目标： 创建一个“指令调节器”（Command Governor, CG）。你可以把它想象成坐在主驾驶员身边的副驾驶。主驾驶员试图前往目的地，但副驾驶会检查：“如果你往那边开，我们会撞墙吗？”如果是，副驾驶会稍微调整方向盘以保持安全，然后让主驾驶员重新接管。
挑战： 通常，要构建这样一个副驾驶，你需要一张完美的地形图（数学模型）。如果你没有地图，或者地图是错误的，副驾驶可能会做出错误的判断。

2. 解决方案：从“安全驾驶”中学习

与其尝试编写完美的地图，作者说：“让我们只需观察当我们在不同的固定转向角度下驾驶时会发生什么。”

数据： 他们使用固定的指令（例如“轻微左转”）来驾驶系统并记录路径。他们针对许多不同的指令进行这种操作。
“安全区域”（不变集）： 对于每一个特定的指令，他们通过观察数据来寻找一个“安全气泡”。如果汽车处于这个气泡内，并且你使用那个特定的指令，汽车将永远保持在气泡内。这就像一个力场，让汽车保持安全。
神奇的技巧： 他们将所有这些独立的“安全气泡”（每个指令对应一个）组合成一个巨大的、灵活的“容许集”（Admissible Set）。这个集合告诉副驾驶：“只要汽车在这个大形状内，并且你选择了这个列表中的指令，我们就是安全的。”

3. 数学原理：将难题转化为简单的清单

通常，为复杂的非线性系统计算这些“安全气泡”就像是在尝试解一个零件不断变形的千片拼图。这需要极其沉重的、缓慢的计算机计算（称为半正定规划）。

创新点： 作者发现了一种简化方法。他们使用了一种叫做“提升”（Lifting）的技术（想象一下将一个 2D 影子拉伸成 3D 以看清其形状），然后将这个难题转化为了一个简单的清单（线性规划）。
为什么重要： 这使得计算速度足够快，可以在线下完成（在汽车启动之前），从而让安全系统能够瞬间就绪。

4. 处理不确定性：“模糊”的安全裕度

由于他们是利用数据进行学习，因此可能会存在空白。也许他们驾驶了 100 次，但路面上有一个他们从未驾驶过的区域。如果汽车在那里表现异常怎么办？

解决方法： 他们使用了一个“利普希茨”（Lipschitz）属性（一种高级说法，意指“汽车不能瞬间移动或改变速度”）。他们根据数据点之间的距离计算出一个安全裕度。如果数据密集（点很多），则安全裕度较小。如果数据稀疏，他们就会缩小“安全气泡”以保持格外谨慎。这确保了即使数学不是完美的，系统也是鲁棒的（稳健的），且不会意外违反规则。

5. 现实世界测试

他们通过两种方式测试了这个想法：

简单的弹簧系统： 他们使用了一个已知答案的标准物理系统。他们将他们的数据驱动“安全气泡”与完美的数学答案进行了对比。两者几乎完全一致，证明了他们的方法是有效的。
自动驾驶汽车： 他们模拟了一辆试图保持在车道内的汽车。这辆车有一个内部控制器（驾驶员），表现良好但并不完美。
- 没有守护者时： 汽车驶出了车道。
- 有了他们的数据驱动守护者后： 汽车完美地保持在车道内，即使在速度变化或道路变得复杂时也是如此。它的表现与使用完美数学模型时的效果几乎一样，但完全不需要那个数学模型。

总结

论文的观点是：“不要试图编写一本关于机器人如何运动的完美教科书式描述。相反，观察它的运动，利用数据找到不同指令下的‘安全区域’，并建立一个能让机器人保持在这些区域内的安全护栏。我们找到了一种即使面对不可预测的机器人也能快速、可靠地实现这一目标的方法。”

这使得工程师能够在不重构整个系统或无需了解其物理细节的情况下，为现有的复杂系统添加安全功能。

技术摘要：针对非线性系统的驱动数据驱动不变集及其在指令生成器中的应用

问题陈述
安全至上的网络物理系统（如自动驾驶汽车和工业机器人）必须在严格的状态约束内运行。虽然现有的控制器（如 PID 或 LQR）通常可以处理稳定性与参考跟踪问题，但它们可能无法保证约束满足，特别是在系统动力学具有未建模、复杂或不确定性特征时。将这些控制器替换为模型预测控制（MPC）往往是不理想的，因为这会导致丢失经过调优的遗留控制器，并对精确的系统模型提出要求。指令生成器（Command Governors, CGs）提供了一种替代方案，作为外环控制器通过调整参考指令来确保满足约束，而无需重新设计内环控制器。然而，为未建模的非线性系统合成指令生成器具有挑战性。传统方法依赖于计算受控不变（Controlled Invariant, CI）集，这通常需要解决难以处理的非凸优化问题，或者依赖于已知的系统模型。此外，纯数据驱动的方法试图直接学习不变集，但由于有限的数据和植物（plant）的不确定性，往往难以克服“维度灾难”并缺乏形式化的不变性保证。

方法论
本文提出了一种直接的数据驱动方法，用于为未建模的非线性系统合成正不变（Positive Invariant, PI）集，随后将其聚合以形成用于指令生成器的 CI 集。该方法流程如下：

通过 PI 集进行问题重构： 作者并未直接计算复杂的 CI 集，而是分解了该问题。他们假设一组常数指令 $\bar{r}$ 。对于每个常数指令，系统变为一个自治系统。作者为每组自治动力学计算一个 PI 集 $O(\bar{r})$ 。这些 PI 集的并集构成了原始受控系统的 CI 集。这使得指令生成器的合成简化为一个整数规划问题，即选择最接近的常数指令 $\bar{r}$ ，使得当前状态位于相应的 PI 集内。
基于基函数的函数合成： 为了计算 PI 集 $O(\bar{r})$ ，作者将其表示为李雅普诺夫类函数 $V(x; \bar{r}) \leq 1$ 的下水平集。他们使用预选基函数 $\phi(x)$ （例如薄板样条函数或神经网络特征）与一个正定矩阵 $P$ 的组合来参数化该函数。该函数的构建旨在满足确保集合包含在约束集内且函数沿系统轨迹递减（或保持有界）的条件。
数据驱动半正定规划（SDP）：
- 平衡点近似： 由于真实的平衡点 $x_\infty(\bar{r})$ 是未知的，作者利用由常数指令生成的轨迹的系综平均值来近似平衡点。
- 基于 Lipschitz 属性的鲁棒性： 为了处理由有限数据和缺乏模型带来的不确定性，作者利用了系统动力学（ $L_f$ ）和基函数（ $L_\phi$ ）的 Lipschitz 连续性。他们根据数据密度（约束集与数据的豪斯多夫距离）和 Lipschitz 常数推导出了一个“收紧”项 $\epsilon_k$ 。
- 优化： 合成问题被公式化为一个半正定规划（SDP），通过最小化李雅普诺夫函数的积分来最小化不变集的体积，同时受到约束条件的限制，以确保在经过鲁棒项 $\epsilon_k$ 调整后的采样数据点上满足不变性。
计算可行性： 考虑到 SDP 对于高维系统而言计算成本昂贵，作者提出了一种松弛技术。他们将解矩阵 $P$ 近似为固定正定矩阵的线性组合。这通过将 SDP 转化为线性规划（LP），在显著降低计算复杂度的同时，保持了可证明的不变性保证。

主要结果
论文通过两个示例验证了该方法：

说明性线性示例： 使用了一个具有欠阻尼动力学和多胞形约束的线性时不变（LTI）系统。将数据驱动的指令生成器与使用真实最大可接纳集（通过标准模型化方法计算）合成的指令生成器进行了对比。结果表明，尽管无法获取系统模型，数据驱动的指令生成器仍成功强制执行了约束，并达到了接近最优模型化指令生成器的性能。
自主车道保持： 使用了非线性运动学自行车模型来模拟自动驾驶车辆。内环控制器是一个为标称速度设计的线性二次调节器（LQR）。作者在车辆速度从 20 m/s 增加到 27 m/s 的超车场景中测试了数据驱动的指令生成器。结果显示，在没有指令生成器或使用基于采样方法的指令生成器会失败的场景中，数据驱动的指令生成器防止了车辆驶离道路（违反约束）。

意义与主张
本文声称提出了一种新型的直接数据驱动技术，用于为未建模的非线性系统合成不变集，而无需中间的系统辨识步骤。其核心贡献包括：

直接学习： 不变集直接从数据轨迹中学习，绕过了对参数化模型的依赖。
鲁棒性保证： 通过利用 Lipschitz 属性和数据密度度量，该方法提供的形式化保证使得学习到的集合对于数据驱动框架固有的不确定性具有鲁棒性。
可扩展性： 通过将 SDP 松弛为 LP，解决了维度灾难问题，使该方法对于更高维度的系统也具有计算可行性。
实际效用： 文中展示了该方法在包括线性与非线性场景在内的多种情况下的有效性，特别是在对模型不确定性和约束满足要求极高的安全关键应用（如自动驾驶）中的实用价值。

作者保持了谦逊的语气，承认该方法产生的是“次极大”不变集而非精确的最大集，但强调保证不变性和约束容许性是首要目标。他们指出，测量噪声和外部扰动目前尚未考虑，是未来的研究课题。

1. 问题所在：“黑盒”与“安全网”

2. 解决方案：从“安全驾驶”中学习

3. 数学原理：将难题转化为简单的清单

4. 处理不确定性：“模糊”的安全裕度

5. 现实世界测试

总结

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