Data-driven invariant set for nonlinear systems with application to command governors

Sintesi Tecnica: Insieme Invariante Basato sui Dati per Sistemi Non Lineari con Applicazione ai Governatori di Comando

Definizione del Problema
I sistemi cibernetico-fisici critici per la sicurezza, come i veicoli autonomi e i robot industriali, devono operare entro vincoli di stato rigorosi. Sebbene gli attuali controllori (ad esempio, PID o LQR) gestiscano spesso la stabilità e il inseguimento del riferimento, potrebbero non garantire la soddisfazione dei vincoli, in particolare quando la dinamica del sistema è non modellata, complessa o incerta. Sostituire questi controllori con il Controllo Predittivo Modello (MPC) è spesso indesiderabile a causa della perdita dei controllori legacy tarati e della necessità di un modello di sistema accurato. I Governatori di Comando (CG) offere una alternativa come controllore ad anello esterno che regola il comando di riferimento per garantire che i vincoli siano rispettati senza ridisegnare il controllore interno. Tuttavia, la sintesi di un CG per sistemi non lineari non modellati è problematica. I metodi tradizionali si basano sul calcolo di insiemi di Controllo Invarianti (CI), che spesso richiedono la risoluzione di problemi di ottimizzazione non convessi intrattabili o dipendono da un modello di sistema noto. Inoltre, gli approcci puramente basati sui dati che tentano di apprendere direttamente gli insiemi invarianti spesso lottano contro la "maledizione della dimensionalità" e mancano di garanzie formali di invarianza a causa della finitezza dei dati e dell'incertezza del impianto.

Metodologia
Il documento propone un approccio diretto basato sui dati per sintetizzare insiemi Positivi Invarianti (PI) per sistemi non lineari non modellati, che vengono poi aggregati per formare un insieme CI da utilizzare in un Governatore di Comando. La metodologia procede come segue:

1. Riformulazione del Problema tramite Insiemi PI: Invece di calcolare direttamente un complesso insieme CI per il sistema controllato, gli autori decompongono il problema. Assumono un insieme di comandi costanti $\bar{r}$. Per ogni comando costante, il sistema diventa un sistema autonomo. Gli autori calcolano un insieme PI $O(\bar{r})$ per ciascuna dinamica autonoma. L'unione di questi insiemi PI forma un insieme CI per il sistema controllato originale. Ciò riduce la sintesi del CG a un programma intero che seleziona il comando costante $\bar{r}$ più vicino tale che lo stato corrente ricada all'interno dell'insieme PI corrispondente.

2. Sintesi Funzionale con Funzioni di Base: Per calcolare gli insiemi PI $O(\bar{r})$, gli autori li rappresentano come sotto-livelli di una funzione di tipo Lyapunov $V(x; \bar{r}) \leq 1$. Parametrizzano questa funzione utilizzando una combinazione di funzioni di base $\phi(x)$ pre-selezionate (ad esempio, spline a piastre sottili o caratteristiche di reti neurali) e una matrice definita positiva $P$. La funzione è costruita per soddisfare le condizioni che garantiscono che l'insieme sia contenuto nel insieme dei vincoli e che la funzione decresca (o rimanga limitata) lungo le traiettorie del sistema.

3. Programmazione Semidefinita (SDP) Basata sui Dati:

   • Approssimazione dell'Equilibrio: Poiché l'equilibrio vero $x_\infty(\bar{r})$ è sconosciuto, esso viene approssimato utilizzando la media d'insieme degli stati finali delle traiettorie generate da comandi costanti.
   • Robustezza tramite Proprietà Lipschitziane: Per gestire l'incertezza derivante dai dati finiti e dalla mancanza di un modello, gli autori sfruttano la continuità di Lipschitz della dinamica del sistema ($L_f$) e delle funzioni di base ($L_\phi$). Derivano un termine di "restringimento" $\epsilon_k$ basato sulla densità dei dati (distanza di Hausdorff tra l'insieme dei vincoli e i dati) e sulle costanti di Lipschitz.
   • Ottimizzazione: Il problema di sintesi è formulato come un Programma Semidefinito (SDP) che minimizza il volume dell'insieme invariante (minimizzando un integrale della funzione di Lyapunov) soggetto a vincoli che assicurino l'invarianza sui punti di campionamento dei dati, regolati dal termine di robustezza $\epsilon_k$.

4. Trattabilità Computazionale: Riconoscendo che gli SDP sono computazionalmente costosi per sistemi ad alta dimensionalità, gli autori propongono una tecnica di rilassamento. Approssimano la matrice soluzione $P$ come una combinazione lineare di matrici definite positive fisse. Ciò trasforma l'SDP in un Programma Lineare (LP), riducendo significativamente la complessità computazionale pur mantenendo garanzie di invarianza dimostrabili.

Risultati Chiave
Il documento valida l'approccio attraverso due esempi:

1. Esempio Lineare Illustrativo: È stato utilizzato un sistema lineare tempo-invariante (LTI) con dinamiche sottosmorzate e vincoli politopici. Il CG basato sui dati è stato confrontato con un CG sintetizzato utilizzando il vero insieme ammissibile massimo (calcolato tramite metodi standard basati sul modello). I risultati hanno dimostrato che il CG basato sui dati ha applicato con successo i vincoli e ha raggiunto prestazioni vicine al CG ottimale basato sul modello, nonostante non avesse accesso al modello del sistema.
2. Mantenimento della Corsia Autonomo: È stato utilizzato un modello bicicletta cinematico non lineare per un veicolo autonomo. Il controllore interno era un Regolatore Quadratico Lineare (LQR) progettato per una velocità nominale. Il CG basato sui dati è stato testato durante manovre di sorpasso in cui la velocità del veicolo aumentava da 20 m/s a 27 m/s. I risultati hanno mostrato che il CG basato sui dati ha impedito al veicolo di uscire dalla strada (violando i vincoli) in scenari in cui il sistema senza un CG, o un CG utilizzando un approccio basato su campionamento, falliva.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di presentare una nuova tecnica diretta basata sui dati per la sintesi di insiemi invarianti per sistemi non lineari non modellati senza richiedere un passaggio intermedio di identificazione del sistema. I contributi chiave includono:

• Apprendimento Diretto: Gli insiemi invarianti sono appresi direttamente dalle traiettorie dei dati, bypassando la necessità di un modello parametrico.
• Garanzie di Robustezza: Utilizzando le proprietà di Lipschitz e le metriche di densità dei dati, il metodo fornisce garanzie formali che gli insiemi appresi siano robusti all'incertezza inerente al framework basato sui dati.
• Scalabilità: Il rilassamento dell'SDP in un LP affronta la maledizione della dimensionalità, rendendo l'approccio computazionalmente fattibile per sistemi ad alta dimensionalità.
• Utilità Pratica: Il metodo è dimostrato essere efficace sia in scenari lineari che non lineari, mostrando specificamente utilità in applicazioni critiche per la sicurezza come la guida autonoma, dove l'incertezza del modello e la soddisfazione dei vincoli sono fondamentali.

Gli autori mantengono un tono modesto, riconoscendo che l'approccio produce un insieme invariante "sub-massimale" piuttosto che l'esatto insieme massimale, ma sottolineano che la garanzia di invarianza e l'ammissibilità dei vincoli sono l'obiettivo primario. Notano inoltre che il rumore di misura e le perturbazioni esterne non sono attualmente considerati, ma rappresentano soggetti per lavori futuri.