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Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

यह शोध पत्र FDE के उप-तर्कशास्त्र CLoN के गैर-सामान्य मोडल विस्तारों के लिए एक द्वि-पड़ोस (bi-neighborhood) अर्थविज्ञान प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि कैसे कमजोर निषेध (weak negation) से जुड़े गैर-तुच्छ अभिगृहीतों को मान्य करने के लिए एक द्वि-पड़ोस अर्थविज्ञान का उपयोग किया जा सकता है ताकि ऐसे कर्तव्यवादी तर्कशास्त्र (deontic logics) का निर्माण किया जा सके जो तुच्छीकरण के बिना मानक सिद्धांतों और नैतिक दुविधाओं दोनों को समाहित कर सकें।

मूल लेखक: Mahan Vaz, Daniel Skurt

प्रकाशित 2026-06-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mahan Vaz, Daniel Skurt

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही अजीब, अराजक शहर के लिए नियम पुस्तिका बनाने की कोशिश कर रहे हैं। इस शहर में, तर्क के सामान्य नियम हमेशा काम नहीं करते। कभी-कभी, एक कथन एक ही समय में सत्य और असत्य दोनों हो सकता है (जैसे कि एक ट्रैफिक लाइट जो एक साथ लाल और हरी दोनों है), या यह सत्य और असत्य दोनों से परे हो सकता है (जैसे कि एक ट्रैफिक लाइट जो टूटी हुई है और बुझी हुई भी है)।

यह शोध पत्र इस अराजक शहर के लिए एक नया, लचीला नियम पुस्तिका बनाने के बारे में है, जो दायित्वों (लोगों को क्या करना चाहिए) और संभावनाओं (लोग क्या कर सकते हैं) को संभालने के लिए है, भले ही शहर विरोधाभासों से भरा हो।

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके शोध पत्र के विचारों का विवरण दिया गया है:

1. आधार: "ग्लिचयुक्त" तर्क वाला एक शहर

लेखक एक आधार तर्क से शुरुआत करते हैं जिसे CLoN कहा जाता है। इसे एक ऐसे शहर के रूप में सोचें जहाँ "AND" (और), "OR" (या), और "IF... THEN" (यदि... तो) के नियम पूरी तरह से काम करते हैं, ठीक वैसे ही जैसे हमारी सामान्य दुनिया में। हालाँकि, NOT (निषेध/नकार) का नियम टूटा हुआ या "ग्लिचयुक्त" है।

समस्या: सामान्य तर्क में, यदि आप जानते हैं कि "बारिश हो रही है," तो आप स्वतः ही जानते हैं कि "धूप नहीं निकल रही है।" इस ग्लिचयुक्त शहर में, यह जानना कि "बारिश हो रही है," आपको यह नहीं बताता कि "धूप नहीं निकल रही है।" "NOT" बटन ढीला है; यह कोई निश्चित नियम नहीं रखता कि बटन दबाने पर क्या होगा।
लक्ष्य: लेखक इस ग्लिचयुक्त शहर में "मोडल" ऑपरेटरों (जैसे Must - चाहिए/अनिवार्य और Can - कर सकते हैं/संभव) को बिना सिस्टम को और अधिक खराब किए जोड़ना चाहते हैं। वे कहना चाहते हैं कि "आपको रुकना चाहिए" या "जाना संभव है," भले ही "रुकने" या "जाने" का तर्क अव्यवस्थित हो।

2. समाधान: दो अलग-अलग पड़ोस

इस अव्यवस्था को संभालने के लिए, लेखक इस शहर को देखने का एक नया तरीका आविष्कार करते हैं जिसे Bi-neighborhood Semantics (द्वि-पड़ोस अर्थविज्ञान) कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि शहर के हर व्यक्ति के पास दो अलग-अलग पड़ोसियों की सूचियाँ हैं:

सत्यापन सूची (The "Yes" Neighborhood): इस सूची में वे सभी स्थान शामिल हैं जहाँ एक कथन को सत्य (True) माना जाता है।
अस्वीकरण सूची (The "No" Neighborhood): इस सूची में वे सभी स्थान शामिल हैं जहाँ एक कथन को असत्य (False) या अस्वीकार माना जाता है।

सामान्य तर्क में, ये दो सूचियाँ एक-दूसरे की पूर्ण विपरीत होती हैं। यदि कोई स्थान "Yes" सूची में है, तो वह "No" सूची में नहीं हो सकता। लेकिन इस शोध पत्र के शहर में, ये सूचियाँ स्वतंत्र हैं।

एक स्थान "Yes" सूची में हो सकता है लेकिन "No" सूची में नहीं (सत्य लेकिन असत्य नहीं)।
एक स्थान "No" सूची में हो सकता है लेकिन "Yes" सूची में नहीं (असत्य लेकिन सत्य नहीं)।
एक स्थान दोनों सूचियों में हो सकता है (सत्य और असत्य दोनों)।
एक स्थान दोनों में से किसी भी सूची में नहीं हो सकता (न सत्य, न असत्य)।

यह स्वतंत्रता ही कुंजी है। क्योंकि "NOT" ऑपरेटर ग्लिचयुक्त है, लेखक "Yes" और "No" सूचियों को दो अलग-अलग कमरों के रूप में देखते हैं। वे उन्हें एक-दूसरे का दर्पण बनाने के लिए मजबूर नहीं करते हैं। यह उन्हें "Must" और "Can" को परिभाषित करने की अनुमति देता है बिना यह जाने कि "NOT" वास्तव में कैसे व्यवहार करता है।

3. नियम बनाना (Axioms)

लेखक दिखाते हैं कि इस ग्लिचयुक्त "NOT" के साथ भी, वे दायित्वों और संभावनाओं के लिए एक ठोस प्रणाली बना सकते हैं।

"Must" ऑपरेटर (अनिवार्यता): वे "आपको X करना चाहिए" को "Yes" पड़ोस को देखकर परिभाषित करते हैं। यदि आपके "Yes" सूची के सभी पड़ोसी इस बात से सहमत हैं कि X घटित हो रहा है, तो आपको X "करना चाहिए"।
"Can" ऑपरेटर (संभावना): वे "आप X कर सकते हैं" को स्वतंत्र रूप से, "Yes" पड़ोस के लिए निर्धारित नियमों के एक अलग सेट का उपयोग करके परिभाषित करते हैं।

महत्वपूर्ण रूप से, वे दिखाते हैं कि आप मानक नियम (जैसे "यदि आपको A करना चाहिए और B करना चाहिए, तो आपको A और B करना चाहिए") जोड़ सकते हैं बिना पूरे सिस्टम को निरर्थकता में धकेल दिए बिना, भले ही "NOT" वाला हिस्सा अव्यवस्थित हो।

4. वास्तविक दुनिया का उपयोग: नैतिक दुविधाएँ

यह शोध पत्र तर्क देता है कि इस विशिष्ट प्रकार का तर्क नैतिक दुविधाओं (Moral Dilemmas) को हल करने के लिए एकदम सही है।

परिदृश्य: कल्पना कीजिए कि एक महिला है, मान लीजिए उसका नाम सारा है, जो एक भयानक विकल्प का सामना कर रही है।

उसके पास अपने बच्चे को बचाने का नैतिक कर्तव्य है (दायित्व A)।
उसके पास अपने जीवनसाथी को बचाने का नैतिक कर्तव्य है (दायित्व B)।
लेकिन, वह एक ही समय में दोनों को बचाने में शारीरिक रूप से असमर्थ है।

सामान्य तर्क में, यह एक विरोधाभास पैदा करता है। यदि उसे बच्चे को बचाना चाहिए और जीवनसाथी को बचाना चाहिए, लेकिन वह दोनों को नहीं बचा सकती, तो सिस्टम टूट जाता है। यह "ट्रिवियलाइजेशन" (trivialization) की ओर ले जाता है, जिसका अर्थ है कि तर्क कहता है, "चूंकि आप विफल रहे, इसलिए आप अपराध भी कर सकते हैं, या ब्रह्मांड नष्ट हो जाएगा।"

शोध पत्र का समाधान:
उनके "Bi-neighborhood" सिस्टम का उपयोग करते हुए, सारा की स्थिति तर्क को तोड़ती नहीं है।

सिस्टम यह स्वीकार करता है कि उसके पास दायित्वों का संघर्ष है।
यह अनुमति देता है कि कथन "सारा को बच्चे को बचाना चाहिए" सत्य है और "सारा को जीवनसाथी को बचाना चाहिए" भी सत्य है, भले ही वे वास्तविकता में एक-दूसरे के विपरीत हों।
क्योंकि तर्क "ग्लिच" (विरोधाभासों) को बिना सिस्टम को ध्वस्त किए संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया है, यह सारा के नैतिक संकट को बिना यह कहे कि सारा एक अपराधी है या ब्रह्मांड समाप्त हो जाएगा, मॉडल कर सकता है। यह केवल यह स्वीकार करता है कि दुविधा मौजूद है और अनसुलझी है, बिना किसी गलत उत्तर को थोपे।

सारांश

लेखकों ने एक नया गणितीय टूलकिट (एक तर्क प्रणाली) बनाया है जो "सत्य" और "असत्य" को दो अलग-अलग, स्वतंत्र सूचियों के रूप में मानता है। यह उन्हें "Must" और "Can" के लिए ऐसे नियम बनाने की अनुमति देता है जो काम करते हैं, भले ही "NOT" का विचार टूटा हुआ हो। वे सिद्ध करते हैं कि यह गणितीय रूप से काम करता है और सुझाव देते हैं कि यह नैतिक दुविधाओं को औपचारिक रूप से समझने का सबसे अच्छा तरीका है, जहाँ लोग दो परस्पर विरोधी कर्तव्यों के बीच चयन करने के लिए मजबूर होते हैं, बिना तर्क प्रणाली के विफल हुए।

तकनीकी सारांश: Bi-neighborhood Semantics के साथ CLoN के लिए Modal Extensions

समस्या विवरण
यह शोध पत्र CLoN (नेगेशन के संदर्भ में क्लासिकल लॉजिक जो गैपी और ग्लुट्टी दोनों है) पर आधारित गैर-सामान्य मोडल लॉजिक्स (non-normal modal logics) के निर्माण की चुनौती को संबोधित करता है, जो कि FDE (फर्स्ट डिग्री एंटेलमेंट) का एक उप-तंत्र है। CLoN को एक सकारात्मक क्लासिकल लॉजिक के रूप में वर्णित किया गया है जिसे एक नेगेशन ऑपरेटर ( $\neg$ ) द्वारा संवर्धित किया गया है जिसमें विशिष्ट एक्सिओम्स या सिमेंटिक फाल्सिटी कंडीशन्स का अभाव है। फलस्वरूप, CLoN में $\neg$ संयुगी (congruential) नहीं है (यह रिप्लेसमेंट प्रॉपर्टी को संतुष्ट नहीं करता है) और यह लॉजिक पैराकंसिस्टेंट (paraconsistent) और पैराकंप्लीट (paracomplete) दोनों है।

CLoN-आधारित प्रणालियों के मोडल एक्सटेंशन के मौजूदा दृष्टिकोण अक्सर शुरुआत से ही मजबूत एक्सिओम्स (जैसे कि Axiom K) को मान लेते हैं या क्रिप्के सिमेंटिक्स (Kripke semantics) का उपयोग करते हैं, जो विशिष्ट दार्शनिक अनुप्रयोगों जैसे कि डीओन्टिक लॉजिक (deontic logic) के लिए बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक हो सकते हैं। मानक द्वैतता (duality), आवश्यकता ( $\Box$ ) और संभावना ( $\Diamond$ ) के बीच, CLoN में परिभाषित नहीं की जा सकती क्योंकि इसमें नेगेशन के लिए फाल्सिटी कंडीशन्स का अभाव है। लेखक CLoN के लिए एक व्यवस्थित, न्यूनतम नेबरहुड सिमेंटिक्स (neighborhood semantics) के संबंध में साहित्य में एक अंतराल की पहचान करते हैं जो इसके कमजोर नेगेशन को बिना सिस्टम को निरर्थक बनाए समायोजित कर सके, विशेष रूप से नैतिक दुविधाओं (moral dilemmas) के अनुप्रयोगों के लिए जहाँ संघर्षरत दायित्वों को बिना विस्फोट (explosion) के संभालना आवश्यक होता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक bi-neighborhood semantics का उपयोग करते हैं, जो FDE-आधारित गैर-सामान्य मोडल लॉजिक्स पर पिछले कार्यों (Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich and Skurt, 2021) से अनुकूलित एक ढांचा है। कार्यप्रणाली में निम्नलिखित प्रमुख घटक शामिल हैं:

आधारभूत लॉजिक (CLoN, CLuN, CLaN): प्रोपोजिशनल बेस को एक हिल्बर्ट कैलकुलस के माध्यम से परिभाषित किया गया है जिसमें सकारात्मक क्लासिकल एक्सिओम्स हैं लेकिन नेगेशन के लिए कोई नियम नहीं हैं। सिमेंटिक रूप से, लेखक स्वैप स्ट्रक्चर्स (swap structures - नॉन-डिटरमिनिस्टिक मैट्रिसेस) का उपयोग करते हैं जहाँ सत्य मान (truth values) सत्यापन (verification) और रिजेक्शन (rejection) स्थितियों को दर्शाने वाले जोड़े $(v_1, v_2)$ होते हैं।
- CLoN: बिना किसी बाधा के बेस सिस्टम, जहाँ सत्यापन और रिजेक्शन के बीच कोई संबंध नहीं है।
- CLuN: लॉ ऑफ एक्सक्लूडेड मिडिल ( $\phi \lor \neg \phi$ ) को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक विश्व (world) एक फॉर्मूला को सत्यापित या रिजेक्ट करता है (पैराकंसिस्टेंट)।
- CLaN: प्रिंसिपल ऑफ एक्सप्लोजन ( $\phi \to (\neg \phi \to \psi)$ ) को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि कोई भी विश्व एक फॉर्मूला को सत्यापित और रिजेक्ट दोनों नहीं करता (पैराकंप्लीट)।
Bi-neighborhood फ्रेम्स: मोडल लॉजिक CLoNE को फ्रेम्स $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (और बाद में $N^-_2, N^-_3$ के साथ विस्तारित) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।
- सत्यापन सेट ( $[\phi]^+$ ): एक नेबरहुड फंक्शन $N^+$ के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, जहाँ $w \in [\Box \phi]^+$ तब होता है जब $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$ ।
- रिजेक्शन सेट ( $[\phi]^-$ ): एक अलग नेबरहुड फंक्शन $N^-$ के माध्यम से स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया जाता है। महत्वपूर्ण रूप से, एक मोडल फॉर्मूला का रिजेक्शन सेट उसके नेगेशन के सत्यापन सेट से व्युत्पन्न नहीं होता है (कमजोर नेगेशन के कारण)। इसके बजाय, $[\Box \phi]^-$ को $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
- स्वतंत्रता: $\Box$ और $\Diamond$ ऑपरेटरों को स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया गया है न कि द्वैत (duals) के रूप में। यह लॉजिक को नेगेटेड मोडैलिटीज (जैसे $\neg \Box \phi$ ) को संभालने की अनुमति देता है बिना मानक द्वैतता एक्सिओम्स की आवश्यकता के।
एक्सटेंशियलिटी नियम (Extensionality Rules): सिस्टम पॉजिटिव फ्रैगमेंट के लिए एक्सटेंशियलिटी नियम ( $\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$ ) को अपनाता है लेकिन स्वीकार करता है कि कमजोर नेगेशन नेगेटेड फॉर्मूलों के लिए संयुग्मन (congruence) को रोकता है। नेगेटेड मोडैलिटीज को संभालने के लिए, सिस्टम नेगेशन के लिए एक विशिष्ट एक्सटेंशियलिटी नियम पेश करता है: $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$ ।
प्रूफ सिस्टम: लेखक बायो-नेबरहुड फ्रेम्स के वर्ग के संबंध में CLoNE और इसके विस्तार के लिए साउंडनेस (soundness) और पूर्णता (completeness) स्थापित करते हैं। वे पूर्णता सिद्ध करने के लिए प्राइम थ्योरीज से निर्मित कैनोनिकल मॉडल्स का उपयोग करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

CLoNE का औपचारिकीकरण: शोध पत्र एक साउंड और कंप्लीट बायो-नेबरहुड सिमेंटिक्स से लैस CLoN का न्यूनतम गैर-सामान्य मोडल विस्तार, CLoNE प्रस्तुत करता है।
कमजोर नेगेशन को संभालना: ढांचा स्वतंत्र रिजेक्शन सेट्स को परिभाषित करके कमजोर नेगेशन ऑपरेटर वाले गैर-मामूली (non-trivial) एक्सिओम्स को सफलतापूर्वक मान्य करता है। यह शास्त्रीय द्वैतता में ढले बिना नेगेटेड मोडैलिटीज को व्यक्त करने की अनुमति देता है।
एक्सिओमैटिक विस्तार: लेखक विभिन्न एक्सिओमैटिक विस्तारों (M, C, K, T, 4, D, आदि) को फ्रेम गुणों के संदर्भ में अभिलक्षित करते हैं।
- पॉजिटिव एक्सटेंशन: मानक एक्सिओम्स जैसे M (ऑग्मेंटेशन) और C (क्लोजर) सत्यापन नेबरहुड फंक्शन्स के गुणों के अनुरूप होते हैं।
- नेगेटेड एक्सटेंशन: नेगेशन वाले नए एक्सिओम्स (जैसे $M^-$ , $C^-$ , $T^-$ ) को सत्यापन और रिजेक्शन नेबरहुड फंक्शन्स के बीच विशिष्ट अंतःक्रियाओं के अनुरूप दिखाया गया है।
मल्टीमॉडल क्षमताएं: ढांचा मल्टीमॉडल सिस्टम का समर्थन करता है जहाँ विभिन्न मोडैलिटीज (जैसे दायित्व और संभावना) स्वतंत्र नेबरहुड फंक्शन्स द्वारा शासित होती हैं, जो केवल विशिष्ट ब्रिज प्रिंसिपल्स (जैसे इंटरैक्शन एक्सिओम्स) द्वारा जुड़ी होती हैं।
पूर्णता: शोध पत्र सिद्ध करता है कि CLoNE और इसके कैनोनिकल विस्तार अपने संबंधित फ्रेम्स के वर्गों के संबंध में साउंड और कंप्लीट हैं।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य डीओन्टिक लॉजिक्स के लिए आवश्यक सिमेंटिक आधार प्रदान करता है जो बिना निरर्थकता के नैतिक दुविधाओं को समायोजित करने में सक्षम हैं।

नैतिक दुविधाएं: मानक डीओन्टिक लॉजिक्स में, वास्तविक नैतिक दुविधाओं (संघर्षरत दायित्व जो हल नहीं किए जा सकते) का अस्तित्व, जब एग्रीगेशन (Axiom C) या विस्फोट के सिद्धांत (Principle of Explosion) जैसे मानक सिद्धांतों के साथ जोड़ा जाता है, तो अक्सर तार्किक विस्फोट (triviality) की ओर ले जाता है।
पैराकंसिस्टेंसी: CLuN (CLoN का एक विस्तार) पर आधारित होकर, यह ढांचा तर्कसंगत निष्कर्ष निकाले बिना संघर्षरत दायित्वों ( $O\phi$ और $O\neg\phi$ ) के सह-अस्तित्व की अनुमति देता है।
मोडैलिटीज की स्वतंत्रता: बायो-नेबरहुड दृष्टिकोण उन अलग-अलग मोडल अवधारणाओं (जैसे दायित्व बनाम मेटाफिजिकल संभावना) को मॉडल करने की अनुमति देता जो शास्त्रीय द्वैतता पर निर्भर नहीं हैं। यह उन परिदृश्यों को औपचारिक बनाने के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ दायित्व 'डिफ़िसेबल' (नस्तीकरणीय) नहीं होते हैं और मानक तार्किक समाधान विफल हो जाते हैं।
दार्शनिक उपयोगिता: शोध पत्र तर्क देता है कि जबकि कमजोर नेगेशन कुछ शास्त्रीय अनुमानों को सीमित करता है, यही विशेषता इसे अन्य पैराकंसिस्टेंट डीओन्टिक लॉजिक्स (जैसे LFI) में पाए जाने वाले 'आर्टिफिशियल' कंसिस्टेंसी ऑपरेटर्स को पेश किए बिना, अनसुलझी डीओन्टिक स्थितियों को स्वाभाविक रूप से मॉडल करने की अनुमति देती है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि प्रस्तावित ढांचा गैर-मानक दार्शनिक दृष्टिकोणों, विशेष रूप से नैतिक तर्क में विरोधाभासों वाले मामलों के लिए अन्वेषण हेतु एक लचीला, गणितीय रूप से कठोर उपकरण प्रदान करता है, जबकि मोडल एक्सिओम्स के प्रति एक न्यूनतम प्रतिबद्धता बनाए रखता है।

1. आधार: "ग्लिचयुक्त" तर्क वाला एक शहर

2. समाधान: दो अलग-अलग पड़ोस

3. नियम बनाना (Axioms)

4. वास्तविक दुनिया का उपयोग: नैतिक दुविधाएँ

सारांश

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