Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

기술 요약: 이웃 관계 의미론을 이용한 CLoN의 양상 확장

문제 제lemnt (Problem Statement)
본 논문은 FDE(First Degree Entailment)의 하위 시스템인 CLoN(부정의 관점에서 결함(gappy)과 과잉(glutty)이 공존하는 고전 논리)을 기반으로 하는 비정상적(non-normal) 양상 논리를 구축하는 과제를 다룹니다. CLoN은 특정 공리나 거짓 조건이 결여된 부정 연산자($\neg$)가 추가된 긍정적 고전 논리로 특징지어집. 결과적으로 CLoN에서 $\neg$는 합동적(congruential)이지 않으며(교체 성질을 만족하지 않음), 이 논리는 역설적(paraconsistent)이면서 동시에 불완전적(paracomplete)입니다.

CLoN 기반 시스템의 양상 확장에 관한 기존 접근 방식들은 대개 처음부터 강한 공리(예: 공리 K)를 가정하거나, 데온틱 논리(deontic logic)와 같은 특정한 철학적 응용 분야에는 너무 제한적일 수 있는 크립키 의미론(Kripke semantics)을 활용합니다. 또한, 부정의 거짓 조건이 부재하기 때문에 필연성($\Box$)과 가능성($\Diamond$) 사이의 표준적인 쌍대성(duality)을 CLoN 내에서는 정의할 수 없습니다. 저자들은 특히 모순되는 의무들이 폭발(explosion) 없이 처리되어야 하는 도덕적 딜레마 상황을 다루기 위해, 약한 부정(weak negation)을 수용하면서도 시스템을 사소화(trivializing)하지 않는 CLoN을 위한 체계적이고 최소한의 이웃 의미론(neighborhood semantics)에 관한 문헌적 공백을 식별하였습니다.

방법론 (Methodology)
저자들은 FDE 기반의 비정상 양상 논리에 관한 선행 연구(Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich and Skurt, 2021)에서 변형된 프레임워크인 **이중 이웃 의미론(bi-neighborhood semantics)**을 채택합니다. 방법론은 다음과 같은 핵심 구성 요소들을 포함합니다:

1. 기초 논리 (CLoN, CLuN, CLaN): 명제 기초는 긍정적 고전 공리들을 포함하지만 부정에 대한 규칙은 없는 힐베르트 계산법(Hilbert calculus)을 통해 정의됩니다. 의미론적으로 저자들은 검증(verification)과 거부(rejection) 조건을 나타내는 쌍 $(v_1, v_2)$를 사용하는 **스왑 구조(swap structures, 비결정론적 매트릭스)**를 활용합니다.

   • CLoN: 검증과 거부 사이의 관계에 대한 제약이 없는 기초 시스템.
   • CLuN: 배중률($\phi \lor \neg \phi$)을 추가하여 얻으며, 모든 세계가 어떤 공식의 검증 또는 거부를 수행하도록 강제합니다(역설적).
   • CLaN: 폭발 원리($\phi \to (\neg \phi \to \psi)$)를 추가하여 얻으며, 어떤 세계도 하나의 공식을 동시에 검증하거나 거부할 수 없도록 강제합니다(불완전적).

2. 이중 이웃 프레임 (Bi-neighborhood Frames): 양상 논리 CLoNE은 프레임 $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (이후 $N^-_2, N^-_3$로 확장됨)를 사용하여 정의됩니다.

   • 검증 집합 ($[\phi]^+$): 이웃 함수 $N^+$를 통해 정의되며, $w \in [\Box \phi]^+$인 것은 $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$인 것과 같습니다.
   • 거부 집합 ($[\phi]^-$): 별도의 이웃 함수 $N^-$를 통해 독립적으로 정의됩니다. 결정적으로, 양상 공식의 거부 집합은 (약한 부정으로 인해) 부정의 검증 집합으로부터 유도되지 않습니다. 대신, $[\Box \phi]^-$는 $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$로 정의됩니다.
   • 독립성: 연산자 $\Box$와 $\Diamond$는 쌍대 관계가 아닌 독립적으로 정의됩니다. 이를 통해 표준적인 쌍대 공리를 요구하지 않고도 부정된 양상(예: $\neg \Box \phi$)을 다룰 수 있습니다.

3. 외연성 규칙 (Extensionality Rules): 시스템은 긍정적 파편(positive fragment)에 대해서는 외연성 규칙($\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$)을 채택하지만, 약한 부정은 부정된 공식에 대한 합동성을 방해한다는 점을 인정합니다. 부정된 양상을 처리하기 위해, 시스템은 부정에 대한 특정 외연성 규칙인 $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$를 도입합니다.

4. 증명 체계 (Proof Systems): 저자들은 이중 이웃 프레임 클래스에 대한 CLoNE 및 그 확장들의 건전성과 완전성을 입증합니다. 완전성을 증명하기 위해 소원 이론(prime theories)으로부터 구성된 정형 모델(canonical models)을 사용합니다.

주요 기여 및 결과 (Key Contributions and Results)

• CLoNE의 형식화: 본 논문은 건전하고 완전한 이중 이웃 의미론을 갖춘 CLoN의 최소 비정상 양상 확장이자 CLoNE을 제시합니다.
• 약한 부정의 처리: 독립적인 거부 집합을 정의함으로써 약한 부정 연산자를 포함하는 비사소적(non-trivial) 공리를 성공적으로 검증합니다. 이는 표준적인 쌍대로 붕괴하지 않고도 부정된 양상을 표현할 수 있게 합니다.
• 공리적 확장: 다양한 공리적 확장(M, C, K, T, 4, D 등)을 프레임 속성으로 특징짓습니다.
  • 긍정적 확장: M(증강, Augmentation)이나 C(폐쇄, Closure)와 같은 표준 공리는 검증 이웃 함수의 속성에 대응합니다.
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  • 부정된 확장: 부정된 양상을 포함하는 새로운 공리들(예: $M^-$, $C^-$, $T^-$)은 검증 이웃 함수와 거부 이웃 함수 사이의 특정 상호작용에 대응함을 보여줍니다.
• 다중 양상 능력 (Multimodal Capabilities): 본 프레임워크는 서로 다른 양상(예: 의무와 가능성)이 독립적인 이웃 함수에 의해 통제되되, 오직 특정 가교 원리(bridge principles, 예: 상호작용 공리)에 의해서만 연결되는 다중 양상 시스템을 지원합니다.
• 완전성: 논문은 CLoNE과 그 정형 확장이 각각의 프레임 클래스에 대해 건전하고 완전함을 증명합니다.

의의 및 주장 (Significance and Claims)
저자들은 본 연구가 **모달 딜레마(moral dilemmas)**를 수용할 수 있는 데온틱 논리를 위한 필수적인 의미론적 토대를 제공한다고 주장합니다.

• 도덕적 딜레마: 표준적인 데온틱 논리에서, 진정한 도덕적 딜레마(해결할 수 없는 상충하는 의무)의 존재는 집합 공리(Axiom C)나 폭발 원리와 결합될 때 논리적 폭발(사소화)을 초래하곤 합니다.
• 역설성: CLuN(CLoN의 확장)에 기반함으로써, 본 프레임워크는 임의의 결론을 도출하지 않고도 상충하는 의무($O\phi$와 $O\neg\phi$)의 공존을 허용합니다.
• 양상의 독립성: 이중 이웃 접근 방식은 고전적 쌍대에 의존하지 않는 별개의 양상 개념(예: 의무 대 형이상학적 가능성)을 모델링할 수 있게 합니다. 이는 의무가 철회 불가능하며 표준적인 논리적 해결이 실패하는 시나리오를 형식화하는 데 매우 중요합니다.
• 철학적 유용성: 저자들은 약한 부정이 특정 고전적 추론을 제한하지만, 바로 이 특징이 시스템이 다른 역설적 데온틱 논리(예: LFI)에서 발견되는 "인위적인" 일관성 연산자의 도입 없이도 "해결 불가능한" 데온틱 상황을 자연스럽게 모델링할 수 있게 한다고 주장합니다.

논문은 제안된 프레임워크가 양상 공리에 대한 최소한의 전제만을 유지하면서도, 특히 모순이 포함된 도덕적 추론과 관련된 비표준적 철학적 입장들을 탐구하기 위한 유연하고 수학적으로 엄밀한 도구를 제공한다고 결론짓습니다.