Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

Resumo Técnico: Extensões Modais para CLoN com Semântica de Bi-vizinhança

Problema
O artigo aborda o desafio de construir lógicas modais não normais baseadas em CLoN (Lógica Clássica tanto com lacunas quanto com contradições em relação à Negação), um subsistema da FDE (Entailment de Primeiro Grau). A CLoN é caracterizada como uma lógica clássica positiva aumentada por um operador de negação ($\neg$) que carece de axiomas específicos ou condições de falsidade semântica. Consequentemente, a $\neg$ na CLoN não é congruencial (não satisfaz a propriedade de substituição), e a lógica é tanto paraconsistente quanto paracompleta.

Abordagens existentes para extensões modais de sistemas baseados em CLoN frequentemente assumem axiomas fortes (como o Axioma K) desde o início ou utilizam semântica de Kripke, que pode ser excessivamente restritiva para aplicações filosóficas específicas, como a lógica deontica. Além disso, a dualidade padrão entre necessidade ($\Box$) e possibilidade ($\Diamond$) não pode ser definida em CLoN devido à falta de condições de falsidade para a negação. Os autores identificam uma lacuna na literatura quanto a uma semântica de vizinhança mínima e sistemática para a CLoN que acomode sua negação fraca sem trivializar o sistema, particularmente para aplicações envolvendo dilemas morais onde obrigações conflitantes devem ser tratadas sem explosão.

Metodologia
Os autores empregam a semântica de bi-vizinhança, um arcabouço adaptado de trabalhos anteriores sobre lógicas modais não normais baseadas em FDE (Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich e Skurt, 2021). A metodologia envolve os seguintes componentes principais:

1. Lógica Base (CLoN, CLuN, CLaN): A base proposicional é definida via um cálculo de Hilbert contendo axiomas clássicos positivos, mas sem regras para a negação. Semanticamente, os autores utilizam estruturas de troca (swap structures — matrizes não determinísticas) onde os valores de verdade são pares $(v_1, v_2)$ representando condições de verificação e rejeição.

   • CLoN: O sistema base com nenhuma restrição sobre a relação entre verificação e rejeição.
   • CLuN: Obtida ao adicionar a Lei do Terceiro Excluído ($\phi \lor \neg \phi$), impondo que cada mundo verifica ou rejeita uma fórmula (paraconsistente).
   • CLaN: Obtida ao adicionar o Princípio da Explosão ($\phi \to (\neg \phi \to \psi)$), impondo que nenhum mundo tanto verifica quanto rejeita uma fórmula (paracompleta).

2. Estruturas de Bi-vizinhança: A lógica modal CLoNE é definida usando estruturas (frames) $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (e posteriormente estendida com $N^-_2, N^-_3$).

   • Conjuntos de Verificação ($[\phi]^+$): Definidos via uma função de vizinhança $N^+$, onde $w \in [\Box \phi]^+$ se $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$.
   • Conjuntos de Rejeição ($[\phi]^-$): Definidos independentemente via uma função de vizinhança separada $N^-$. Crucialmente, o conjunto de rejeição de uma fórmula modal não é derivado do conjunto de verificação de sua negação (devido à negação fraca). Em vez disso, $[\Box \phi]^-$ é definido como $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$.
   • Independência: Os operadores $\Box$ e $\Diamond$ são definidos independentemente, em vez de serem duais. Isso permite que a lógica lide com modalidades negadas (ex: $\neg \Box \phi$) sem exigir axiomas de dualidade padrão.

3. Regras de Extensionalidade: O sistema adota a regra de extensionalidade ($\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$) para o fragmento positivo, mas reconhece que a negação fraca impede a congruência para fórmulas negadas. Para lidar com modalidades negadas, o sistema introduz uma regra de extensionalidade específica para a negação: $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$.

4. Sistemas de Prova: Os autores estabelecem correção (soundness) e completude para a CLoNE e suas extensões em relação à classe de estruturas de bi-vizinhança. Eles utilizam modelos canônicos construídos a partir de teorias primas para provar a completude.

Contribuições Principais e Resultados

• Formalização da CLoNE: O artigo apresenta a CLoNE, a expansão modal não normal mínima da CLoN, equipada com uma semântica de bi-vizinhança correta e completa.
• Lidando com a Negação Fraca: O arcabouço valida com sucesso axiomas não triviais contendo o operador de negação fraca ao definir conjuntos de rejeição independentes para os operadores modais. Isso permite a expressão de modalidades negadas sem colapsar na dualidade clássica.
• Extensões Axiomáticas: Os autores caracterizam várias extensões axiomáticas (M, C, K, T, 4, D, etc.) em termos de propriedades das estruturas (frames).
  • Extensões Positivas: Axiomas padrão como M (Aumentação) e C (Fechamento) correspondem a propriedades das funções de vizinhança de verificação.
  • Extensões Negadas: Novos axiomas envolvendo negação (ex: $M^-$, $C^-$, $T^-$) são mostrados como correspondentes a interações específicas entre as funções de vizinhança de verificação e de rejeição.
• Capacidades Multimodais: O arcabouço suporta sistemas multimodais onde diferentes modalidades (ex: obrigação e possibilidade) são governadas por funções de vizinhança independentes, conectadas apenas por princípios de ponte específicos (ex: axiomas de interação).
• Completude: O artigo prova que a CLoNE e suas extensões canônicas são corretas e completas em relação às suas respectivas classes de estruturas.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho fornece a base semântica necessária para lógicas deonticas capazes de acomodar dilemas morais sem trivialização.

• Dilemas Morais: Nas lógicas deonticas padrão, a existência de dilemas morais genuínos (obrigações conflitantes que não podem ser resolvidas) frequentemente leva à explosão lógica (trivialidade) quando combinada com princípios padrão como Agregação (Axioma C) ou o Princípio da Explosão.
• Paraconsistência: Ao basear o sistema na CLuN (uma extensão da CLoN), o arcabouço permite a coexistência de obrigações conflitantes ($O\phi$ e $O\neg\phi$) sem derivar conclusões arbitrárias.
• Independência de Modalidades: A abordagem de bi-vizinhança permite a modelagem de conceitos modais distintos (ex: obrigação vs. possibilidade metafísica) que não dependem da dualidade clássica. Isso é crucial para formalizar cenários onde as obrigações não são decaíveis e as resoluções lógicas padrão falham.
• Utilidade Filosófica: O artigo argumenta que, embora a negação fraca limite certas inferências clássicas, é precisamente esse recurso que permite ao sistema modelar situações deonticas "irresolvíveis" naturalmente, evitando a introdução "artificial" de operadores de consistência encontrados em outras lógicas paraconsistentes deonticas (como as LFIs).

O artigo conclui que o arcabouço proposto oferece uma ferramenta matematicamente rigorosa e flexível para explorar posições filosóficas não padronizadas, particularmente aquelas que envolvem contradições no raciocínio moral, mantendo um compromisso mínimo com axiomas modais.