Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

Technische Samenvatting: Modale Extensies voor CLoN met Bi-neighborhood Semantiek

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging van het construeren van niet-normale modale logica's gebaseerd op CLoN (Classical Logic both gappy and glutty with respect to Negation), een subsysteem van FDE (First Degree Entailment). CLoN wordt gekenmerkt als positieve klassieke logica aangevuld met een negatie-operator ($\neg$) die geen specifieke axioma's of semantische falsiteitscondities bezit. Bijgevolg is $\neg$ in CLoN niet congruent (het voldoet niet aan de vervangingseigenschap), en de logica is zowel paraconsistent als paracompleet.

Bestaande benaderingen van modale extensies van CLoN-gebaseerde systemen gaan vaak uit van sterke axioma's (zoals Axioma K) vanaf het begin, of maken gebruik van Kripke-semantiek, wat te restrictief kan zijn voor specifieke filosofische toepassingen zoals deontische logica. Bovendien kan de standaard dualiteit tussen noodzakelijkheid ($\Box$) en mogelijkheid ($\Diamond$) niet worden gedefinieerd in CLoN vanwege het gebrek aan falsiteitscondities voor negatie. De auteurs identificeren een gat in de literatuur met betrekking tot een systematische, minimale neighborhood-semantiek voor CLoN die de zwakke negatie van het systeem kan accommoderen zonder het te trivialiseren, met name voor toepassingen waarbij morele dilemma's waarbij conflicterende verplichtingen moeten worden afgehandeld zonder explosie.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van bi-neighborhood semantiek, een raamwerk aangepast van eerder werk op het gebied van FDE-gebaseerde niet-normale modale logica's (Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich en Skurt, 2021). De methodologie omvat de volgende kerncomponenten:

1. Baselogica (CLoN, CLuN, CLaN): De propositionele basis wordt gedefinieerd via een Hilbert-calculus die positieve klassieke axioma's bevat maar geen regels voor negatie. Semantisch gezien maken de auteurs gebruik van swap-structuren (niet-deterministische matrices) waarbij waarheidswaarden paren $(v_1, v_2)$ zijn die verificatie- en verwerpingscondities representeren.

   • CLoN: Het basissysteem zonder beperkingen op de relatie tussen verificatie en verwerping.
   • CLuN: Verkregen door het principe van de uitgesloten derde ($\phi \lor \neg \phi$) toe te voegen, wat afdwingt dat elke wereld een formule verifieert of verwerpt (paraconsistent).
   • CLaN: Verkregen door het principe van explosie ($\phi \to (\neg \phi \to \psi)$) toe te voegen, wat afdwingt dat geen enkele wereld een formule zowel verifieert als verwerpt (paracompleet).

2. Bi-neighborhood Frames: De modale logica CLoNE wordt gedefinieerd met behulp van frames $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (en later uitgebreid met $N^-_2, N^-_3$).

   • Verificatiesets ($[\phi]^+$): Gedefinieerd via een neighborhood-functie $N^+$, waarbij $w \in [\Box \phi]^+$ indien $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$.
   • Verwerpingssets ($[\phi]^-$): Onafhankelijk gedefinieerd via een aparte neighborhood-functie $N^-$. Cruciaal is dat de verwerpingsset van een modale formule niet wordt afgeleid van de verificatieset van de negatie (vanwege de zwakke negatie). In plaats daarvan is $[\Box \phi]^-$ gedefinieerd als $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$.
   • Onafhankelijkheid: De operatoren $\Box$ en $\Diamond$ worden onafhankelijk gedefinieerd in plaats van als dualen. Dit maakt het mogelijk om negatieve modaliteiten (bijv. $\neg \Box \phi$) te behandelen zonder de standaard dualiteitsaxioma's te vereisen.

3. Extensionaliteitsregels: Het systeem hanteert de extensionaliteitsregel ($\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$) voor het positieve fragment, maar erkent dat zwakke negatie congruentie voor genieerde formules verhindert. Om negatieve modaliteiten te behandelen, introduceert het systeem een specifieke extensionaliteitsregel voor negatie: $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$.

4. Bewijssystemen: De auteurs vestigen de correctheid en volledigheid van CLoNE en haar extensies met betrekking tot de klasse van bi-neighborhood frames. Zij maken gebruik van canonieke modellen geconstrueerd uit priemtheorieën om volledigheid te bewijzen.

Belangrijkste bijdragen en resultaten

• Formalisering van CLoNE: Het artikel presenteert CLoNE, de minimale niet-normale modale expansie van CLoN, uitgerust met een correcte en volledige bi-neighborhood semantiek.
• Omgaan met zwakke negatie: Het raamwerk valideert succesvol niet-triviale axioma's die de zwakke negatie-operator bevatten door onafhankelijke verwerpingssets voor modale operatoren te definiëren. Dit maakt het mogelijk om negatieve modaliteiten uit te drukken zonder te vervallen in klassieke dualiteit.
• Axiomatische extensies: De auteurs karakteriseren diverse axiomatische extensies (M, C, K, T, 4, D, etc.) in termen van frame-eigenschappen.
  • Positieve extensies: Standaard axioma's zoals M (Augmentatie) en C (Sluiting) komen overeen met eigenschappen van de verificatie-neighborhood functies.
  • Negatieve extensies: Nieuwe axioma's die negatie bevatten (bijv. $M^-$, $C^-$, $T^-$) worden getoond overeen te komen met specifieke interacties tussen verificatie- en verwerping-neighborhood functies.
• Multimodale capaciteiten: Het raamwerk ondersteunt multimodale systemen waarbij verschillende modaliteiten (bijv. verplichting en mogelijkheid) worden beheerd door onafhankelijke neighborhood-functies, die slechts verbonden zijn door specifieke brugprincipes (bijv. interactie-axioma's).
• Volledigheid: Het artikel bewijst dat CLoNE en haar canonieke extensies correct en volledig zijn met betrekking tot hun respectievelijke klassen van frames.

Betekenis en Claims
De auteurs stellen dat dit werk het noodzakelijke semantische fundament biedt voor deontische logica's die in staat zijn om morele dilemma's te accommoderen zonder trivialisering.

• Morele Dilemma's: In standaard deontische logica's leidt het bestaan van echte morele dilemma's (conflicterende verplichtingen die niet kunnen worden opgelost) vaak tot logische explosie (trivialiteit) wanneer ze worden gecombineerd met standaard principes zoals Aggregatie (Axioma C) of het Principe van Explosie.
• Paraconsistentie: Door het systeem te baseren op CLuN (een extensie van CLoN), staat het raamwerk de coëxistentie van conflicterende verplichtingen ($O\phi$ en $O\neg\phi$) toe zonder willekeurige conclusies af te leiden.
• Onafhankelijkheid van Modaliteiten: De bi-neighborhood benadering maakt het mogelijk om onderscheidende modale concepten te modelleren (bijv. verplichting versus metafysische mogelijkheid) die niet rusten op klassieke dualiteit. Dit is cruciaal voor het formaliseren van scenario's waarin verplichtingen niet weerlegbaar zijn en standaard logische resoluties falen.
• Filosofisch Nut: Het artikel betoogt dat hoewel de zwakke negatie bepaalde klassieke inferenties beperkt, juist dit kenmerk het systeem in staat stelt om "onoplosbare" deontische situaties natuurlijk te modelleren, waarbij de "artificiële" introductie van consistentie-operatoren die in andere paraconsistente deontische logica's (zoals LFI's) wordt gevonden, wordt vermeden.

Het artikel concludeert dat het voorgestelde raamwerk een flexibel, wiskundig rigoureus instrument biedt voor het verkennen van niet-standaard filosofische posities, in het bijzonder die met betrekking tot tegenstrijdigheden in moreel redeneren, terwijl een minimale commitment aan modale axioma's behouden blijft.