Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

Resumen Técnico: Extensiones Modales para CLoN con Semántica de Bi-vecindad

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de construir lógicas modales no normales basadas en CLoN (Lógica Clásica tanto con brechas como con excesos respecto a la Negación), un subsistema de FDE (Entailment de Primer Grado). CLoN se caracteriza como una lógica clásica positiva aumentada con un operador de negación ($\neg$) que carece de axiomas específicos o condiciones de falsedad semántica. En consecuencia, $\neg$ en CLoN no es congruencial (no satisface la propiedad de reemplazo), y la lógica es tanto paraconsistente como paracompleta.

Los enfoques existentes para las extensiones modales de sistemas basados en CLoN suelen asumir axiomas fuertes (como el Axioma K) desde el principio o utilizan la semántica de Kripke, que puede ser demasiado restrictiva para aplicaciones filosóficas específicas como la lógica deontica. Además, la dualidad estándar entre necesidad ($\Box$) y posibilidad ($\Diamond$) no puede definirse en CLoN debido a la falta de condiciones de falsedad para la negación. Los autores identifican un vacío en la literatura respecto a una semántica de vecindad mínima y sistemática para CLoN que acomode su negación débil sin trivializar el sistema, particularmente para aplicaciones en dilemas morales donde deben manejarse las obligaciones conflictivas sin explosión.

Metodología
Los autores emplean la semántica de bi-vecindad, un marco adaptado de trabajos previos sobre lógicas modales no normales basadas en FDE (Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich y Skurt, 2021). La metodología involucra los siguientes componentes clave:

1. Lógica Base (CLoN, CLuN, CLaN): La base proposicional se define mediante un cálculo de Hilbert que contiene axiomas clásicos positivos pero sin reglas para la negación. Semánticamente, los autores utilizan estructuras de intercambio (swap structures; matrices no deterministas) donde los valores de verdad son pares $(v_1, v_2)$ que representan las condiciones de verificación y de rechazo.

   • CLoN: El sistema base sin restricciones sobre la relación entre verificación y rechazo.
   • CLuN: Obtenida al añadir la Ley del Tercero Excluido ($\phi \lor \neg \phi$), lo que impone que cada mundo verifica o rechaza una fórmula (paraconsistente).
   • CLaN: Obtenida al añadir el Principio de Explosión ($\phi \to (\neg \phi \to \psi)$), lo que impone que ningún mundo verifica y rechaza simultáneamente una fórmula (paracompleta).

2. Marcos de Bi-vecindad: La lógica modal CLoNE se define utilizando marcos $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (y posteriormente extendidos con $N^-_2, N^-_3$).

   • Conjuntos de Verificación ($[\phi]^+$): Definidos mediante una función de vecindad $N^+$, donde $w \in [\Box \phi]^+$ si y solo si $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$.
   • Conjuntos de Rechazo ($[\phi]^-$): Definidos independientemente mediante una función de vecindad separada $N^-$. Crucialmente, el conjunto de rechazo de una fórmula modal no se deriva del conjunto de verificación de su negación (debido a la negación débil). En su lugar, $[\Box \phi]^-$ se define como $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$.
   • Independencia: Los operadores $\Box$ y $\Diamond$ se definen de forma independiente en lugar de ser duales. Esto permite que la lógica maneje modalidades negadas (por ejemplo, $\neg \Box \phi$) sin requerir los axiomas de dualidad estándar.

3. Reglas de Extensionalidad: El sistema adopta la regla de extensionalidad ($\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$) para el fragmento positivo, pero reconoce que la negación débil impide la congruencia para las fórmulas negadas. Para manejar las modalidades negadas, el sistema introduce una regla de extensionalidad específica para la negación: $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$.

4. Sistemas de Prueba: Los autores establecen la solidez y completitud para CLoNE y sus extensiones con respecto a la clase de marcos de bi-vecindad. Utilizan modelos canónicos construidos a partir de teorías primas para probar la completitud.

Contribuciones y Resultados Clave

• Formalización de CLoNE: El artículo presenta CLoNE, la expansión modal no normal mínima de CLoN, equipada con una semántica de bi-vecindad sólida y completa.
• Manejo de la Negación Débil: El marco valida con éxito axiomas no triviales que contienen el operador de negación débil al definir conjuntos de rechazo independientes para los operadores modales. Esto permite expresar modalidades negadas sin colapsar en la dualidad clásica.
• Extensiones Axiomáticas: Los autores caracterizan diversas extensiones axiomáticas (M, C, K, T, 4, D, etc.) en términos de propiedades de los marcos.
  • Extensiones Positivas: Axiomas estándar como M (Aumentación) y C (Cierre) corresponden a propiedades de las funciones de vecindad de verificación.
  • Extensiones Negadas: Se demuestra que nuevos axiomas que involucran la negación (por ejemplo, $M^-$, $C^-$, $T^-$) corresponden a interacciones específicas entre las funciones de vecindad de verificación y de rechazo.
• Capacidades Multimodales: El marco soporta sistemas multimodales donde diferentes modalidades (por ejemplo, obligación y posibilidad) están gobernadas por funciones de vecindad independientes, conectadas únicamente por principios de puente específicos (axiomas de interacción).
• Completitud: El artículo demuestra que CLoNE y sus extensiones canónicas son sólidos y completos con respecto a sus respectivas clases de marcos.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona la base semántica necesaria para las lógicas deonticas capaces de acomodar dilemas morales sin caer en la trivialidad.

• Dilemas Morales: En las lógicas deonticas estándar, la existencia de dilemas morales genuinos (obligaciones conflictivas que no pueden resolverse) a menudo conduce a la explosión lógica (trivialidad) cuando se combinan con principios estándar como la Agregación (Axioma C) o el Principio de Explosión.
• Paraconsistencia: Al basar el sistema en CLuN (una extensión de CLoN), el marco permite la coexistencia de obligaciones conflictivas ($O\phi$ y $O\neg\phi$) sin derivar conclusiones arbitrarias.
• Independencia de las Modalidades: El enfoque de bi-vecindad permite modelar conceptos modales distintos (por ejemplo, obligación frente a posibilidad metafísica) que no dependen de la dualidad clásica. Esto es crucial para formalizar escenarios donde las obligaciones no son derrotables y las resoluciones lógicas estándar fallan.
• Utilidad Filosófica: El artículo argumenta que, si bien la negación débil limita ciertas inferencias clásicas, es precisamente esta característica la que permite al sistema modelar situaciones deonticas "irresolubles" de forma natural, evitando la introducción "artificial" de operadores de consistencia presentes en otras lógicas paraconsistentes (como las LFI).

El artículo concluye que el marco propuesto ofrece una herramienta flexible y matemáticamente rigurosa para explorar posiciones filosóficas no estándar, particularmente aquellas que involucran contradicciones en el razonamiento moral, manteniendo al mismo tiempo un compromiso mínimo con los axiomas modales.