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Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

Cet article introduit une sémantique de bi-voisinage pour les extensions modales non normales de la sous-logique CLoN de FDE, démontrant comment valider des axiomes non triviaux impliquant une négation faible afin de construire des logiques déontiques qui accommodent à la fois les principes standards et les dilemmes moraux sans trivialisation.

Auteurs originaux : Mahan Vaz, Daniel Skurt

Publié 2026-06-30

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Mahan Vaz, Daniel Skurt

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous essayez d'établir un recueil de règles pour une ville très étrange et chaotique. Dans cette ville, les règles habituelles de la logique ne fonctionnent pas toujours. Parfois, une affirmation peut être à la fois vraie et fausse (comme un feu de signalisation qui est rouge et vert simultanément), ou elle peut n'être ni vraie ni fausse (comme un feu de signalisation qui est en panne et éteint).

Ce document traite de la création d'un nouveau recueil de règles flexible pour cette ville chaotique, spécifiquement pour gérer les obligations (ce que les gens doivent faire) et les possibilités (ce que les gens peuvent faire), même lorsque la ville est pleine de contradictions.

Voici la décomposition des idées du document en utilisant des analogies simples :

1. Le fondement : Une ville à la logique « buggée »

Les auteurs partent d'une logique de base appelée CLoN. Considérez cela comme une ville où les règles pour « ET », « OU » et « SI... ALORS » fonctionnent parfaitement, tout comme dans notre monde normal. Cependant, la règle pour NON (la négation) est cassée ou « buggée ».

Le problème : Dans la logique normale, si vous savez qu'« il pleut », vous savez automatiquement qu'« il ne fait pas beau ». Dans cette ville buggée, savoir qu'« il pleut » ne vous apprend rien automatiquement sur le fait qu'« il ne fait pas beau ». Le bouton « NON » est lâche ; il n'a pas de règle fixe pour ce qui se passe quand on l'appuie.
L'objectif : Les auteurs veulent ajouter des opérateurs « Modaux » (comme Doit et Peut) à cette ville buggée sans la casser davantage. Ils veulent pouvoir dire des choses comme « Vous devez vous arrêter » ou « Il est possible de partir », même quand la logique de « s'arrêter » ou de « partir » est désordonnée.

2. La solution : Deux quartiers séparés

Pour gérer ce désordre, les auteurs inventent une nouvelle façon de regarder la ville appelée Sémantique des bi-voisinages.

Imaginez que chaque personne de la ville possède deux listes de voisins distinctes :

La liste de vérification (le quartier du « Oui ») : Cette liste contient tous les endroits où une affirmation est considérée comme Vraie.
La liste de rejet (le quartier du « Non ») : Cette liste contient tous les endroits où une affirmation est considérée comme Fausse (ou rejetée).

Dans la logique normale, ces deux listes sont les opposées parfaites l'une de l'autre. Si un endroit est sur la liste « Oui », il ne peut pas être sur la liste « Non ». Mais dans la ville de ce document, ces listes sont indépendantes.

Un endroit peut être sur la liste « Oui » mais pas sur la liste « Non » (Vrai mais pas Faux).
Un endroit peut être sur la liste « Non » mais pas sur la liste « Oui » (Faux mais pas Vrai).
Un endroit peut être sur les deux listes (Vrai ET Faux).
Un endroit peut n'être sur aucune des deux listes (Ni Vrai ni Faux).

Cette indépendance est la clé. Parce que l'opérateur « NON » est buggé, les auteurs traitent les listes « Oui » et « Non » comme des pièces séparées. Ils ne forcent pas ces listes à être l'image miroir l'une de l'autre. Cela leur permet de définir « Doit » et « Peut » sans avoir besoin de savoir exactement comment le « NON » se comporte.

3. Construire les règles (Les axiomes)

Les auteurs montrent que même avec ce « NON » buggé, ils peuvent construire un système solide pour les obligations et les possibilités.

L'opérateur « Doit » (Nécessité) : Ils définissent « Vous devez faire X » en regardant le quartier du « Oui ». Si tous les voisins de votre liste « Oui » sont d'accord sur le fait que X se produit, alors vous « Devez » faire X.
L'opérateur « Peut » (Possibilité) : Ils définissent « Vous pouvez faire X » de manière indépendante, en utilisant un ensemble de règles distinct pour le quartier du « Oui ».

Crucialement, ils démontent que vous pouvez ajouter des règles standards (comme « Si vous devez faire A et devez faire B, alors vous devez faire A et B ») sans que l'ensemble du système ne s'effondre dans l'absurdité, même si la partie « NON » est désordonnée.

4. L'utilisation dans le monde réel : Les dilemmes moraux

Le document soutient que ce type spécifique de logique est parfait pour résoudre les dilemmes moraux.

Le scénario : Imaginez une personne, appelons-la Sarah, qui est confrontée à un choix terrible.

Elle a le devoir moral de sauver son enfant (Obligation A).
Elle a le devoir moral de sauver son conjoint (Obligation B).
Mais elle est physellement incapable de sauver les deux en même temps.

Dans la logique normale, cela crée un paradoxe. Si elle doit sauver l'enfant et doit sauver le conjoint, mais qu'elle ne peut pas faire les deux, le système se brise. Cela mène à la « trivialisation », ce qui signifie que la logique dit : « Puisque vous avez échoué, vous pourriez aussi bien commettre un crime, ou l'univers explose. »

La solution du document :
En utilisant leur système de « bi-voisinage », la situation de Sarah ne brise pas la logique.

Le système accepte qu'elle soit face à un conflit d'obligations.
Il permet à l'affirmation « Sarah doit sauver l'enfant » d'être Vraie ET à l'affirmation « Sarah doit sauver le conjoint » d'être Vraie en même temps, même si elles se contredisent dans la réalité.
Parce que la logique est conçue pour gérer les « bugs » (contradictions) sans exploser, elle peut modéliser cette tragédie morale sans affirmer que Sarah est une criminelle ou que l'univers prend fin. Elle reconnaît simplement que le dilemme existe et qu'il est insoluble, sans forcer une réponse « erronée ».

Résumé

Les auteurs ont construit un nouvel outil mathématique (un système logique) qui traite le « Vrai » et le « Faux » comme deux listes distinctes et indépendantes. Cela leur permet de créer des règles pour « Doit » et « Peut » qui fonctionnent même lorsque le concept de « NON » est brisé. Ils prouvent que cela fonctionne mathématiquement et suggèrent que c'est la meilleure façon de comprendre formellement les dilemmes moraux, où les individus sont contraints de choisir entre deux devoirs conflictuels, sans que le système logique ne s'effondre.

Résumé Technique : Extensions Modales pour CLoN avec Sémantique de Bi-voisinage

Énoncé du Problème
L'article traite du défi que représente la construction de logiques modales non normales basées sur CLoN (Logique Classique à la fois lacunaire et glutée par rapport à la Négation), un sous-système de FDE (First Degree Entailment). CLoN est caractérisée comme une logique classique positive augmentée d'un opérateur de négation ( $\neg$ ) qui ne possède ni axiomes spécifiques ni conditions de fausseté sémantiques. Par conséquent, $\neg$ dans CLoN n'est pas congruence (elle ne satisfait pas la propriété de remplacement) et la logique est à la fois paraconsistante et paracomplète.

Les approches existantes d'extensions modales des systèmes basés sur CLoN supposent souvent des axiomes forts (tels que l'Axiome K) dès le départ ou utilisent la sémantique de Kripke, ce qui peut être trop restrictif pour certaines applications philosophiques comme la logique déontique. La dualité standard entre nécessité ( $\Box$ ) et possibilité ( $\Diamond$ ) ne peut pas être définie dans CLoN en raison de l'absence de conditions de fausseté pour la négation. Les auteurs identifient une lacune dans la littérature concernant une sémantique de voisinage minimale et systématique pour CLoN qui puisse accommoder sa négation faible sans trivialiser le système, particulièrement pour les applications impliquant des dilemmes moraux où des obligations conflictuelles doivent être gérées sans explosion.

Méthodologie
Les auteurs emploient la sémantique de bi-voisinage, un cadre adapté de travaux antérieurs sur les logiques modales non normales basées sur FDE (Dalmonte et al., 2018 ; Drobyshevich et Skurt, 2021). La méthodologie comprend les composantes clés suivantes :

Logique de Base (CLoN, CLuN, CLaN) : La base propositionnelle est définie via un calcul de Hilbert contenant des axiomes classiques positifs mais sans règles pour la négation. Sémantiquement, les auteurs utilisent des structures de permutation (matrices non déterministes) où les valeurs de vérité sont des paires $(v_1, v_2)$ $(v_{1}, v_{2})$ représentant les conditions de vérification et de rejet.
- CLoN : Le système de base sans contraintes sur la relation entre vérification et rejet.
- CLuN : Obtenu en ajoutant la Loi du Tiers Exclu ( $\phi \lor \neg \phi$ ), imposant que chaque monde vérifie ou rejette une formule (paraconsistant).
- CLaN : Obtenu en ajoutant le Principe d'Explosion ( $\phi \to (\neg \phi \to \psi)$ ), imposant qu'aucun monde ne vérifie et ne rejette simultanément une formule (paracomplét).
Cadres de Bi-voisinage : La logique modale CLoNE est définie à l'aide de cadres $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ $W = ⟨ W, N_{2}^{+}, N_{3}^{+} ⟩$ (et plus tard étendue avec $N^-_2, N^-_3$ $N_{2}^{-}, N_{3}^{-}$ ).
- Ensembles de Vérification ( $[\phi]^+$ ) : Définis via une fonction de voisinage $N^+$ , où $w \in [\Box \phi]^+$ si $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$ .
- Ensembles de Rejet ( $[\phi]^-$ ) : Définis indépendamment via une fonction de voisinage séparée $N^-$ . Crucialement, l'ensemble de rejet d'une formule modale n'est pas dérivé de l'ensemble de vérification de sa négation (en raison de la négation faible). Au lieu de cela, $[\Box \phi]^-$ est défini comme $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$ .
- Indépendance : Les opérateurs $\Box$ et $\Diamond$ sont définis indépendamment plutôt que comme des duaux. Cela permet à la logique de gérer les modalités négées (ex: $\neg \Box \phi$ ) sans exiger les axiomes de dualité standards.
Règles d'Extensionalité : Le système adopte la règle d'extensionalité ( $\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$ ) pour le fragment positif mais reconnaît que la négation faible empêche la congruence pour les formules négées. Pour gérer les modalités négées, le système introduit une règle d'extensionalité spécifique pour la négation : $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$ .
Systèmes de Preuve : Les auteurs établissent la correction et la complétude de CLoNE et de ses extensions par rapport à la classe des cadres de bi-voisinage. Ils utilisent des modèles canoniques construits à partir de théories premières pour prouver la complétude.

Contributions Clés et Résultats

Formalisation de CLoNE : L'article présente CLoNE, l'expansion modale non normale minimale de CLoN, équipée d'une sémantique de bi-voisinage correcte et complète.
Gestion de la Négation Faible : Le cadre valide avec succès des axiomes non triviaux contenant l'opérateur de négation faible en définissant des ensembles de rejet indépendants pour les opérateurs modaux. Cela permet l'expression de modalités négées sans s'effondrer dans la dualité classique.
Extensions Axiomatiques : Les auteurs caractérisent diverses extensions axiomatiques (M, C, K, T, 4, D, etc.) en termes de propriétés de cadres.
- Extensions Positives : Les axiomes standards comme M (Augmentation) et C (Clôture) correspondent aux propriétés des fonctions de voisinage de vérification.
- Extensions Négatives : De nouveaux axiomes impliquant la négation (ex: $M^-$ , $C^-$ , $T^-$ ) sont montrés comme correspondant à des interactions spécifiques entre les fonctions de voisinage de vérification et de rejet.
Capacités Multimodales : Le cadre supporte des systèmes multimodaux où différentes modalités (ex: obligation et possibilité) sont gouvernées par des fonctions de voisinage indépendantes, reliées uniquement par des principes de pont spécifiques (axiomes d'interaction).
Complétude : L'article prouve que CLoNE et ses extensions canoniques sont corrects et complets par rapport à leurs classes respectives de cadres.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail fournit le fondement sémantique nécessaire pour les logiques déontiques capables d'accommoder les dilemmes moraux sans trivialisation.

Dilemmes Moraux : Dans les logiques déontiques standards, l'existence de véritables dilemmes moraux (conflits d'obligations qui ne peuvent être résolus) mène souvent à l'explosion logique (trivialité) lorsqu'ils sont combinés avec des principes standards comme l'Agrégation (Axiome C) ou le Principe d'Explosion.
Paraconsistance : En se basant sur CLuN (une extension de CLoN), le cadre permet la coexistence d'obligations conflictuelles ( $O\phi$ et $O\neg\phi$ ) sans dériver de conclusions arbitraires.
Indépendance des Modalités : L'approche de bi-voisinage permet de modéliser des concepts modaux distincts (ex: obligation vs possibilité métaphysique) qui ne reposent pas sur la dualité classique. Ceci est crucial pour formaliser des scénarios où les obligations ne sont pas réfutables et où les résolutions logiques standards échouent.
Utilité Philosophique : L'article soutient que bien que la négation faible limite certains inférences classiques, c'est précisément cette caractéristique qui permet au système de modéliser naturellement des situations déontiques "insolubles", évitant l'introduction "artificielle" d'opérateurs de cohérence trouvés dans d'autres logiques paraconsistantes (comme les LFI).

L'article conclut que le cadre proposé offre un outil mathématiquement rigoureux et flexible pour explorer des positions philosophiques non standard, particulièrement celles impliquant des contradictions dans le raisonnement moral, tout en maintenant un engagement minimal envers les axiomes modaux.

1. Le fondement : Une ville à la logique « buggée »

2. La solution : Deux quartiers séparés

3. Construire les règles (Les axiomes)

4. L'utilisation dans le monde réel : Les dilemmes moraux

Résumé

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