Modal Extensions of CLoN with Bi-neighborhood Semantics

Sintesi Tecnica: Estensioni Modali per CLoN con Semantica del Bi-vicinato

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la sfida di costruire logiche modali non normali basate su CLoN (Logica Classica sia gappy che glutty rispetto alla Negazione), un sottosistema di FDE (Entailment di Primo Grado). CLoN è caratterizzata come una logica classica positiva aumentata da un operatore di negazione ($\neg$) che manca di specifici assiomi o condizioni di falsità semantica. Di conseguenza, $\neg$ in CLoN non è congruenziale (non soddisfa la proprietà di sostituzione) e la logica è sia paraconsistente che paracompleta.

Gli approcci esistenti alle estensioni modali di sistemi basati su CLoN spesso assumono assiomi forti (come l'Assioma K) sin dall'inizio o utilizzano la semantica di Kripke, che può essere troppo restrittiva per specifiche applicazioni filosofiche come la logica deontica. Inoltre, la standard dualità tra necessità ($\Box$) e possibilità ($\Diamond$) non può essere definita in CLoN a causa della mancanza di condizioni di falsità per la negazione. Gli autori identificano una lacuna nella letteratura riguardante una semantica di vicinato sistematica e minimale per CLoN che possa accogliere la sua negazione debole senza trivializzare il sistema, in particolare per applicazioni che coinvolgono dilemmi morali dove i conflitti di obblighi devono essere gestiti senza esplosione.

Metodologia
Gli autori impiegano la semantica del bi-vicinato, un framework adattato da precedenti lavori su logiche modali non normali basate su FDE (Dalmonte et al., 2018; Drobyshevich e Skurt, 2021). La metodologia comprende i seguenti componenti chiave:

1. Logica di Base (CLoN, CLuN, CLaN): La base proposizionale è definita tramite un calcolo di Hilbert contenente assiomi classici positivi ma nessun rule per la negazione. Semanticamente, gli autori utilizzano strutture di scambio (matrici non deterministiche) dove i valori di verità sono coppie $(v_1, v_2)$ che rappresentano le condizioni di verifica e di rifiuto.

   • CLoN: Il sistema di base senza vincoli sulla relazione tra verifica e rifiuto.
   • CLuN: Ottenuta aggiungendo la Legge del Terzo Escluso ($\phi \lor \neg \phi$), imponendo che ogni mondo verifichi o rifiuti una formula (paraconsistente).
   • CLaN: Ottenuta aggiungendo il Principio di Esplosione ($\phi \to (\neg \phi \to \psi)$), imponendo che nessun mondo sia contemporaneamente verifica e rifiuto di una formula (paracompleta).

2. Quadri di Bi-vicinato: La logica modale CLoNE è definita utilizzando quadri $\mathcal{W} = \langle W, N^+_2, N^+_3 \rangle$ (e successivamente estesa con $N^-_2, N^-_3$).

   • Insiemi di Verifica ($[\phi]^+$): Definiti tramite una funzione di vicinato $N^+$, dove $w \in [\Box \phi]^+$ se $[\phi]^+ \in N^+_2(w)$.
   • Insiemi di Rifiuto ($[\phi]^-$): Definiti indipendentemente tramite una separata funzione di vicinato $N^-$. Crucialmente, l'insieme di rifiuto di una formula modale non è derivato dall'insieme di verifica della sua negazione (a causa della debolezza della negazione). Invece, $[\Box \phi]^-$ è definito come $\{w \in W \mid [\phi]^- \in N^-_2(w)\}$.
   • Indipendenza: Gli operatori $\Box$ e $\Diamond$ sono definiti indipendentemente anziché come duali. Ciò consente alla logica di gestire modalità negate (es. $\neg \Box \phi$) senza richiedere gli standard assiomi di dualità.

3. Regole di Estensionalità: Il sistema adotta la regola di estensionalità ($\phi \leftrightarrow \psi / \Box \phi \leftrightarrow \Box \psi$) per il frammento positivo, ma riconosce che la debolezza della negazione impedisce la congruenza per le formule negate. Per gestire le modalità negate, il sistema introduce una specifica regola di estensionalità per la negazione: $\neg \phi \leftrightarrow \neg \psi / \neg \Box \phi \leftrightarrow \neg \Box \psi$.

4. Sistemi di Deduzione: Gli autori stabiliscono la correttezza e la completezza per CLoNE e le sue estensioni rispetto alla classe di quadri di bi-vicinato. Utilizzano modelli canonici costruiti da teorie prime per provare la completezza.

Contributi Chiave e Risultati

• Formalizzazione di CLoNE: Il saggio presenta CLoNE, la minima espansione modale non normale di CLoN, dotata di una semantica di bi-vicinato corretta e completa.
• Gestione della Negazione Debole: Il framework valida con successo assiomi non banali contenenti l'operatore di negazione debole definendo insiemi di rifiuto indipendenti per gli operatori modali. Ciò permette di esprimere modalità negate senza collassare nella dualità classica.
• Estensioni Assiomatiche: Gli autori caratterizzano varie estensioni assiomatiche (M, C, K, T, 4, D, ecc.) in termini di proprietà dei quadri.
  • Estensioni Positive: Assiomi standard come M (Augmentation) e C (Closure) corrispondono a proprietà delle funzioni di vicinato di verifica.
  • Estensioni Negate: Nuovi assiomi che coinvolgono la negazione (es. $M^-$, $C^-$, $T^-$) sono mostrati corrispondere a specifiche interazioni tra le funzioni di vicinato di verifica e di rifiuto.
• Capacità Multimodali: Il framework supporta sistemi multimodali in cui diverse modalità (es. obbligo e possibilità) sono governate da funzioni di vicinato indipendenti, collegate solo da specifici principi di ponte (es. assiomi di interazione).
• Completezza: Il saggio prova che CLoNE e le sue estensioni canoniche sono corretti e completi rispetto alle rispettive classi di quadri.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori sostengono che questo lavoro fornisce la necessaria fondazione semantica per logiche deontiche capaci di accogliere dilemmi morali senza trivializzazione.

• Dilemmi Morali: Nelle logiche deontiche standard, l'esistenza di veri dilemmi morali (conflitti di obblighi che non possono essere risolti) porta spesso all'esplosione logica (trivialità) quando combinata con principi standard come l'Aggregazione (Assioma C) o il Principio di Esplosione.
• Paraconsistenza: Basando il sistema su CLuN (un'estensione di CLoN), il framework permette la coesistenza di obblighi conflittuali ($O\phi$ e $O\neg\phi$) senza derivare conclusioni arbitrarie.
• Indipendenza delle Modalità: L'approccio del bi-vicinato permette di modellare concetti modali distinti (es. obbligo rispetto a possibilità metafisica) che non dipendono dalla dualità classica. Ciò è crucialo per formalizzare scenari in cui gli obblighi non sono defeisibili e le standard risoluzioni logiche falliscono.
• Utilità Filosofica: Il saggio argomenta che, sebbene la debolezza della negazione limiti certe inferenze classiche, è proprio questa caratteristica che permette al sistema di modellare naturalmente situazioni deontiche "irrisolvibili", evitando l'introduzione "artificiale" di operatori di consistenza presenti in altre logiche paraconsistenti (come le LFI).

Il saggio conclude che il framework proposto offre uno strumento matematicamente rigoroso e flessibile per esplorare posizioni filosofiche non standard, in particolare quelle che coinvolgono contraddizioni nel ragionamento morale, mantenendo al contempo un impegno minimale verso gli assiomi modali.