Filtered Extreme-Value Theory Meets Asymmetric GARCH: Out-of-Sample Volatility Forecasting and 99% Value-at-Risk Backtesting for U.S. Equity Indices, 2004–2018

वित्त की उच्च-दांव वाली दुनिया में, जोखिम प्रबंधक पूंजी के संरक्षक के रूप में कार्य करते हैं, जो लगातार एक ही कठिन प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करते हैं: यदि बाजार उनके विरुद्ध हो जाए, तो एक ही दिन में एक पोर्टफोलियो को कितना नुकसान हो सकता है? इसका उत्तर देने के लिए, वे गणितीय मॉडलों पर भरोसा करते हैं जो स्टॉक की कीमतों के भविष्य के व्यवहार की भविष्यवाणी करने का प्रयास करते हैं। इन मॉडलों को बाजार की दो विशिष्ट वास्तविकताओं को ध्यान में रखना चाहिए। पहला, बाजार स्थिर, अनुमानित कदमों के साथ नहीं चलते; इसके बजाय, शांत अवधि के बाद अक्सर तीव्र उथल-पुथल की अवधि आती है, जिसे 'वोलेटिलिटी क्लस्टरिंग' (volatility clustering) नामक घटना कहा जाता है। दूसरा, जब बाजार गिरते हैं, तो वे शायद ही कभी उन चिकनी, घंटी के आकार की वक्र रेखाओं (bell-shaped curves) का पालन करते हैं जैसा कि सरल सांख्यिकी मान लेती है। इसके बजाय, वे "फैट टेल्स" (fat tails) प्रदर्शित करते हैं, जिसका अर्थ है कि चरम घटनाएं मानक गणित की तुलना में कहीं अधिक बार होती हैं। इन बदलती अस्थिरता की लहरों को ट्रैक करने और दुर्लभ, विनाशकारी गिरावटों के खतरे को सटीक रूप से मापने के बीच सही संतुलन बनाना आधुनिक बाजार जोखिम प्रबंधन की मुख्य चुनौती है।

भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान मद्रास के एक शोधकर्ता अरिन यादव द्वारा किया गया एक हालिया अध्ययन इस चुनौती से निपटने के लिए यह परीक्षण करता है कि प्रमुख अमेरिकी स्टॉक सूचकांकों, विशेष रूप से S&P 500 और NASDAQ कंपोजिट के जोखिम की भविष्यवाणी करने में विभिन्न गणितीय उपकरण कितनी अच्छी तरह प्रदर्शन करते हैं। यह शोध लगभग दो दशकों (1999 से 2018 तक) के दैनिक स्टॉक रिटर्न के एक विशाल डेटासेट को कवर करता है, जिसमें विशेष रूप से 2004 के बाद के वर्षों पर ध्यान केंद्रित किया गया है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि परिणामों का परीक्षण उस डेटा पर किया गया है जिसे मॉडलों ने पहले कभी नहीं देखा था। इसका लक्ष्य यह निर्धारित करना था कि क्या इन मॉडलों में जटिल विशेषताओं को जोड़ना—विशेष रूप से, बुरी खबरों बनाम अच्छी खबरों पर अलग तरह से प्रतिक्रिया करने की क्षमता, और बाजार के चरम संकटों को मॉडल करने के लिए विशेष तकनीकों का उपयोग करना—वास्तव में वर्तमान में उपयोग की जाने वाली मानक विधियों की तुलना में बेहतर भविष्यवाणियां प्रदान करता है।

शोधकर्ताओं ने कई प्रतिस्पर्धी दृष्टिकोणों की तुलना की। उन्होंने एक आधारभूत मॉडल (baseline model) से शुरुआत की जो बाजार की सभी गतिविधियों को समान मानता है, चाहे वे ऊपर हों या नीचे। इसके बाद उन्होंने अधिक परिष्कृत संस्करणों का परीक्षण किया जो यह पहचानते हैं कि बुरी खबरें अक्सर अच्छी खबरों की तुलना में बाजार को अधिक तीव्रता से हिला देती हैं, जिसे 'लीवरेज इफेक्ट' (leverage effect) के रूप में जाना जाता है। अंत में, उन्होंने एक हाइब्रिड दृष्टिकोण का परीक्षण किया जो दैनिक अस्थिरता को ट्रैक करने के लिए एक मानक मॉडल का उपयोग करता है लेकिन सबसे खराब दिनों को देखते समय एक विशेष "एक्सट्रीम वैल्यू" (extreme value) तकनीक पर स्विच हो जाता है। यह हाइब्रिड विधि वितरण के 'टेल एंड' (tail end) को बेहतर ढंग से कैप्चर करने के लिए डिज़ाइन की गई है, जहाँ सबसे खतरनाक नुकसान छिपे होते हैं। अध्ययन में पुराने, प्रसिद्ध तरीकों जैसे कि 'हिस्टोरिकल सिमुलेशन' (historical simulation), जो केवल पिछले 500 दिनों में जो हुआ उसे देखता है, और एक मानक मॉडल को भी शामिल किया गया जो मानता है कि बाजार रिटर्न एक सामान्य, घंटी के आकार के वक्र का पालन करते हैं।

वोलेटिलिटी फोरकास्टिंग (अस्थिरता पूर्वानुमान) के परिणामों ने दिखाया कि अधिक जटिल मॉडलों ने थोड़ा लाभ दिया। वे मॉडल जिन्होंने इस तथ्य को ध्यान में रखा कि नकारात्मक झटके सकारात्मक झटकों की तुलना में अस्थिरता को अधिक बढ़ाते हैं, दैनिक उतार-चढ़ाव के आकार की भविष्यवाणी करने में बेहतर प्रदर्शन कर रहे थे। विशेष रूप से, इनमें से एक असममित (asymmetric) मॉडल ने S&P 500 के लिए अपने वेरिएंस पूर्वानुमान में मानक आधार रेखा की तुलना में लगभग 2.2% की कमी की। हालांकि यह प्रतिशत छोटा लग सकता है, लेकिन वित्तीय मॉडलिंग की दुनिया में, यह हजारों दैनिक भविष्यवाणियों में एक सुसंगत और सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सुधार का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, अध्ययन ने पाया कि जबकि ये मॉडल बाजार के सामान्य उतार-चढ़ाव की भविष्यवाणी करने में बेहतर थे, वास्तविक सफलता तब आई जब बात दुर्लभ, विनाशकारी घटनाओं की भविष्यवाणी करने की आई।

जब शोधकर्ताओं ने परीक्षण किया कि प्रत्येक मॉडल ने 99% 'वैल्यू-एट-रिस्क' (Value-at-Risk) को कितनी अच्छी तरह से अनुमानित किया—एक ऐसी सीमा जिसे हर सौ दिनों में केवल एक बार भंग होना चाहिए—तो अंतर स्पष्ट हो गए। मानक तरीकों, जिनमें व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला 'रिस्कमेट्रिक्स' (RiskMetrics) दृष्टिकोण और सरल हिस्टोरिकल सिमुलेशन शामिल हैं, बार-बार विफल रहे। उन्होंने बहुत अधिक उल्लंघन (breaches) की भविष्यवाणी की, जिसका अर्थ है कि उन्होंने जोखिम को कम करके आंका और मॉडलों को उम्मीद से कहीं अधिक बार पार होने दिया। इसके विपरीत, हाइब्रिड मॉडल जिसने एक वोलेटिलिटी फिल्टर को विशेष एक्सट्रीम वैल्यू तकनीक के साथ जोड़ा, उसने उल्लेखनीय प्रदर्शन किया। S&P 500 पर, इसने अपेक्षित 35.3 के मुकाबले 34 उल्लंघन दर्ज किए, जो एक सटीक भविष्यवाणी के सांख्यिकीय रूप से अभिन्न परिणाम के समान है। NASDAQ पर, इसने 44 उल्लंघन दर्ज किए, जो एक मामूली अधिकता थी, लेकिन फिर भी स्वीकार्य प्रदर्शन की सीमा के भीतर थी। अन्य मॉडलों को सांख्यिकीय परीक्षणों द्वारा खारिज कर दिया गया, जो यह दर्शाता है कि वे चरम जोखिम को मापने के कार्य के लिए मौलिक रूप से गलत कैलिब्रेटेड थे।

यह समझने के लिए कि हाइब्रिड मॉडल इतना अच्छा क्यों काम कर रहा था, शोधकर्ताओं ने सुधार के कारण को अलग करने के लिए एक विशिष्ट प्रयोग किया। उन्होंने सबसे अच्छा प्रदर्शन करने वाले वोलेटिलिटी मॉडल को लिया और उसके 'एक्सट्रीम टेल' (extreme tail) के अनुमान के तरीके को एक मानक, सामान्य वितरण धारणा (normal distribution assumption) से बदल दिया। इस बदलाव के कारण उल्लंघनों की संख्या 34 से बढ़कर 70 हो गई। यह निष्कर्ष बताता है कि सफलता का प्राथमिक चालक दैनिक अस्थिरता को ट्रैक करने का तरीका नहीं था, बल्कि वह विशेष तकनीक थी जिसका उपयोग चरम 'टेल' को मॉडल करने के लिए किया गया था। दूसरे शब्दों में, दैनिक लय को सही ढंग से पकड़ना सहायक था, लेकिन चरम खतरे के क्षेत्र के आकार को सही ढंग से पकड़ना आवश्यक था।

अध्ययन ने यह भी देखा कि ये मॉडल डेटासेट की सबसे गंभीर तनाव अवधि के दौरान कैसे व्यवहार करते हैं: सितंबर 2008 से जून 2009 तक की वित्तीय संकट। डेटा के इन 209 दिनों की अत्यधिक बाजार उथल-पुथल के दौरान, मानक हिस्टोरिकल सिमुलेशन विधि बुरी तरह विफल रही, जिसने अपनी जोखिम सीमाओं को 16 बार तोड़ा। हालांकि, हाइब्रिड मॉडल मजबूत बना रहा, जिसने दोनों सूचकांकों में केवल 2 से 3 उल्लंघन दर्ज किए। इसके अलावा, जब मॉडल ने नुकसान की भविष्यवाणी की, तो उन विशिष्ट दिनों में होने वाले नुकसान का उसका अनुमान वास्तविक नुकसान के 3% के भीतर था। संकट के दौरान सटीकता का यह स्तर महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका मतलब है कि मॉडल जोखिम प्रबंधकों को यह बताने के लिए विश्वसनीय रूप से बता सकता था कि बाजार के पतन से बचने के लिए उन्हें कितनी पूंजी रखने की आवश्यकता है।

शोधकर्ता निष्कर्ष निकालते हैं कि जबकि असममित मॉडल सामान्य बाजार अस्थिरता को ट्रैक करने में मामूली सुधार प्रदान करते हैं, सुरक्षा में सबसे महत्वपूर्ण लाभ वितरण के 'टेल' (tail) को स्पष्ट रूप से मॉडल करने से आता है। एक मॉडल जो यह मानता है कि बाजार की गिरावट एक सामान्य पैटर्न का पालन करती है, वह आधुनिक बैंकिंग नियमों के लिए आवश्यक 99% विश्वास स्तर के लिए अपर्याप्त है। अध्ययन सुझाव देता है कि जोखिम प्रबंधन के दो घटक—दैनिक अस्थिरता को ट्रैक करना और चरम घटनाओं को मॉडल करना—अलग-अलग विफलता मोड को संबोधित करते हैं। एक समय (timing) में मदद करता है, जबकि दूसरा यह सुनिश्चित करता है कि जोखिम का स्तर सही ढंग से अनुमानित किया गया है। हालांकि यह अध्ययन दो अत्यधिक सह-संबंधित अमेरिकी सूचकांकों और एक एकल विश्वास स्तर तक सीमित है, प्रमाण दृढ़ता से संकेत देते हैं कि सबसे खतरनाक जोखिमों के लिए, मॉडल जिस तरह से चरम 'टेल' को संभालता है, वह दैनिक अस्थिरता को फ़िल्टर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट तरीके से अधिक मायने रखता है।