Filtered Extreme-Value Theory Meets Asymmetric GARCH: Out-of-Sample Volatility Forecasting and 99% Value-at-Risk Backtesting for U.S. Equity Indices, 2004–2018

In der hochriskanten Welt der Finanzen agieren Risikomanager als Hüter des Kapitals, die ständig versuchen, eine einzige, schwierige Frage zu beantworten: Wie viel Geld könnte ein Portfolio an einem einzigen Tag verlieren, wenn sich der Markt gegen es wendet? Um dies zu beantworten, verlassen sie sich auf mathematische Modelle, die versuchen, das zukünftige Verhalten von Aktienkursen vorherzusagen. Diese Modelle müssen zwei unterschiedliche Realitäten des Marktes berücksichtigen. Erstens bewegen sich Märkte nicht mit stetigen, vorhersehbaren Schritten; stattdessen folgen auf Phasen der Ruhe oft Perioden intensiver Turbulenzen, ein Phänomen, das als Volatilitätsclustering bekannt ist. Zweitens folgen Märkte bei einem Crash selten den glatten, glockenförmigen Kurven, die die einfache Statistik annimmt. Stattdessen weisen sie „fette Enden“ (fat tails) auf, was bedeutet, dass extreme Ereignisse weita viel häufiger auftreten, als die Standardmathematik vorhersagt. Die richtige Balance zwischen der Verfolgung dieser schwankenden Volatitätswellen und der genauen Messung der Gefahr seltener, katastrophaler Einbrüche zu finden, ist die zentrale Herausforderung des modernen Marktrisikomanagements.

Eine aktuelle Studie von Arin Yadav, einem Forscher am Indian Institute of Technology Madras, geht dieser Herausforderung entgegen, indem sie testet, wie gut verschiedene mathematische Werkzeuge bei der Vorhersage des Risikos der großen US-Aktienindizes, speziell des S&P 500 und des NASDAQ Composite, abschneiden. Die Forschung deckt einen massiven Datensatz täglicher Aktienrenditen ab, der fast zwei Jahrzehnte umfasst, von 1999 bis 2018, mit einem spezifischen Fokus auf die Jahre nach 2004, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse an Daten getestet wurden, die die Modelle zuvor noch nie gesehen hatten. Das Ziel war zu bestimmen, ob das Hinzufügen komplexer Merkmale zu diesen Modellen – insbesondere der Fähigkeit, unterschiedlich auf schlechte Nachrichten gegenüber guten Nachrichten zu reagieren, sowie die Verwendung spezialisierter Techniken zur Modellierung extremer Markteinbrüche – tatsächlich zu besseren Vorhersagen führt als die derzeit verwendeten Standardmethoden.

Die Forscher verglichen mehrere konkurrierende Ansätze. Sie begannen mit einem Basismodell, das alle Marktbewegungen gleich behandelt, unabhängig davon, ob sie nach oben oder unten gehen. Dann testeten sie anspruchsvollere Versionen, die erkennen, dass schlechte Nachrichten den Markt oft heftiger erschüttern als gute Nachrichten, ein Konzept, das als Leverage-Effekt bekannt ist. Schließlich testeten sie einen hybriden Ansatz, der ein Standardmodell verwendet, um die tägliche Volatilität zu verfolgen, aber zu einem spezialisierten „Extremwert“-Verfahren wechselt, wenn es um die absolut schlechtesten Tage geht. Diese hybride Methode ist darauf ausgelegt, die Form des Endes der Verteilung besser zu erfassen, wo sich die gefährlichsten Verluste verbergen. Die Studie beinhaltete auch eine Kontrollgruppe älterer, bekannter Methoden, wie etwa die historische Simulation, die einfach betrachtet, was in den vergangenen 500 Tagen passiert ist, und ein Standardmodell, das davon ausgeht, dass Aktienrenditen einer normalen, glockenförmigen Kurve folgen.

Die Ergebnisse der Volatilitätsprognose zeigten, dass die komplexeren Modelle einen leichten Vorsprung boten. Die Modelle, die berücksichtigten, dass negative Schocks die Volatilität stärker erhöhen als positive, schnitten besser bei der Vorhersage der Größe täglicher Schwankungen ab. Konkret reduzierte eines dieser asymmetrischen Modelle den Fehler in seinen Varianzprognosen für den S&P 500 um etwa 2,2 % im Vergleich zum Standard-Basismodell. Während dieser Prozentsatz gering erscheinen mag, stellt er in der Welt der Finanzmodellierung eine konsistente und statistisch signifikante Verbesserung über Tausende von täglichen Vorhersagen dar. Die Forscher fanden jedoch heraus, dass diese Modelle zwar besser darin waren, die allgemeine Größe von Marktbewegungen vorherzusagen, der wahre Durchbruch jedoch eintrat, als es darum ging, die seltenen, katastrophalen Ereignisse vorherzusagen.

Als die Forscher testeten, wie gut jedes Modell den 99%-Value-at-Risk vorhersagte – eine Schwelle, die nur einmal alle hundert Tage überschritten werden sollte – wurden die Unterschiede drastisch. Die Standardmethoden, einschließlich des weit verbreiteten RiskMetrics-Ansatzes und der einfachen historischen Simulation, versagten wiederholt. Sie sagten viel zu viele Überschreitungen voraus, was bedeutete, dass sie das Risiko unterschätzten und zuließen, dass die Modelle weita viel häufiger überschritten wurden, als sie es sollten. Im Gegensatz dazu schnitt das Hybridmodell, das einen Volatilitätsfilter mit der spezialisierten Extremwert-Technik für den „Tail“ kombinierte, bemerkenswert gut ab. Beim S&P 500 verzeichnete es 34 Überschreitungen gegenüber den erwarteten 35,3, ein Ergebnis, das statistisch nicht von einer perfekten Vorhersage zu unterscheiden war. Beim NASDAQ verzeichnete es 44 Überschreitungen, ein leichter Überschuss, der jedoch immer noch innerhalb des Bereichs akzeptabler Leistung lag. Die anderen Modelle wurden durch statistische Tests abgelehnt, was darauf hindeutete, dass sie für die Aufgabe der Messung extremer Risiken fundamental falsch kalibriert waren.

Um genau zu verstehen, warum das Hybridmodell so gut funktionierte, führten die Forscher ein spezifisches Experiment durch, um die Ursache der Verbesserung zu isolieren. Sie nahmen das am besten performende Volatilitätsmodell und ersetzten dessen Methode zur Schätzung des extremen Endes durch eine Standardannahme einer Normalverteilung. Diese Änderung führte dazu, dass die Zahl der Überschreitungen wieder auf 70 anstieg. Dieses Ergebnis legt nahe, dass der primäre Treiber des Erfolgs nicht die Art und Weise war, wie das Modell die tägliche Volatilität verfolgte, sondern vielmehr die spezialisierte Technik, die zur Modellierung des extremen Endes verwendet wurde. Mit anderen Worten: Den täglichen Rhythmus richtig zu erfassen war hilfreich, aber die Form der extremen Gefahrenzone richtig zu erfassen, war entscheidend.

Die Studie untersuchte auch, wie sich diese Modelle während der schwersten Stressperiode im Datensatz verhielten: der Finanzkrise von September 2008 bis Juni 2009. Während dieser 209 Tage extremer Marktunruhen versagte die Standard-Historische-Simulation-Methode spektakulär und überschritt ihre Risikolimits 16 Mal. Das Hybridmodell hingegen blieb robust und verzeichnete über beide Indizes hinweg nur 2 bis 3 Überschreitungen. Zudem lag die Schätzung des Verlusts an jenen spezifischen Tagen, an denen das Modell einen Verlust vorhersagte, innerhalb von 3 % des tatsächlich realisierten Verlusts. Diese Genauigkeit während einer Krise ist entscheidend, da sie bedeutet, dass das Modell den Risikomanagern zuverlässig sagen konnte, wie viel Kapital sie halten mussten, um einen Marktzusammenbruch zu überstehen.

Die Forscher kommen zu dem Schluss, dass asymmetrische Modelle zwar moderate Verbesserungen bei der Verfolgung der allgemeinen Marktvolatilität bieten, der bedeutendste Gewinn an Sicherheit jedoch aus der expliziten Modellierung des „Tails“ der Verteilung resultiert. Ein Modell, das davon ausgeht, dass Markteinbrüche einem normalen Muster folgen, ist für das 99%-Konfidenzniveau, das moderne Bankenregulierungen erfordern, unzureichend. Die Studie legt nahe, dass die beiden Komponenten des Risikomanagements – das Verfolgen der täglichen Volatilität und das Modellieren extremer Ereignisse – unterschiedliche Fehlermodi adressieren. Das eine hilft beim Timing, während das andere sicherstellt, dass das Ausmaß des Risikos korrekt geschätzt wird. Obwohl die Studie auf zwei hoch korrelierte US-Indizes und ein einzelnes Konfidenzniveau beschränkt ist, deutet die Evidenz stark darauf hin, dass für die gefährlichsten Risiken die Art und Weise, wie ein Modell mit dem extremen Ende umgeht, wichtiger ist als die spezifische Methode, mit der die tägliche Volatilität gefiltert wird.