Filtered Extreme-Value Theory Meets Asymmetric GARCH: Out-of-Sample Volatility Forecasting and 99% Value-at-Risk Backtesting for U.S. Equity Indices, 2004–2018

金融界というハイステークスな世界において、リスクマネージャーは資本の守護者として活動しており、「市場が逆風にさらされた場合、ポートフォリオは単一の日にどれほどの損失を被る可能性があるのか？」という、たった一つの困難な問いに常に答えようとしている。これに答えるため、彼らは将来の株価の挙動を予測しようとする数学的モデルに依拠している。これらのモデルは、市場における2つの明確な現実を考慮しなければならない。第一に、市場は安定的で予測可能なステップで動くのではなく、代わりに、激しい変動の時期がしばしば続くという現象、すなわち「ボラティリティ・クラスタリング（変動の塊）」と呼ばれる現象が起こる。第二に、市場が暴落する際、それらは単純な統計学が想定するような滑らかなベル型の曲線に従うことは滅多にない。代わりに、極端な事象は標準的な数学が予測するよりもはるかに頻繁に発生するという「ファット・テイル（太い裾）」を示す。変動する波を追跡することと、稀に起こる壊滅的な下落の危険を正確に測定することの間のバランスを正しく取ることが、現代の市場リスク管理における中心的な課題である。

インド工科大学マドラス校の研究者であるアリン・ヤダヴ氏による最近の研究は、米国の主要な株価指数、具体的にはS&P 500とNASDAQ総合指数のリスクを予測する際に、異なる数学的ツールがどの程度うまく機能するかをテストすることで、この課題に取り組んでいる。この研究は、1999年から2018年までの約20年間にわたる日次の株式リターンという膨大なデータセットを対象としており、特にモデルが未経験のデータで結果がテストされるよう、2004年以降の期間に焦点を当てている。目的は、これらのモデルに複雑な特徴（具体的には、悪いニュースと良いニュースに対して異なる反応を示す能力、および極端な市場暴落をモデル化するための専門的な手法の使用）を加えることが、現在使用されている標準的な手法よりも実際に優れた予測につながるかどうかを判断することであった。

研究者たちは、いくつかの競合するアプローチを比較した。まず、市場の動きが上昇であれ下落であれ、すべてを同様に扱うベースライン・モデルから始めた。次に、悪いニュースは良いニュースよりも市場を激しく揺さぶることが多いという概念である「レバレッジ効果」を認識する、より洗練されたバージョンをテストした。最後に、日常的なボラティリティを追跡するために標準的なモデルを使用しつつ、最も深刻な日については専門的な「極値」テクニックに切り替わるハイブリッド・アプローチをテストした。このハイブリッド手法は、分布の末端（テール）の形状をより正確に捉えるように設計されており、そこには最も危険な損失が潜んでいる。また、本研究には、過去500日間に何が起こったかを単に振り返るヒストリカル・シミュレーションや、株式リターンが正規のベル型曲線に従うと仮定する標準的なモデルといった、古くから知られている制御群も含まれた。

ボラティリティ予測の結果、より複雑なモデルはわずかな優位性を示した。負のショックが正のショックよりもボラティリティを増大させるという事実を考慮したモデルは、日々の変動幅の予測においてより優れた性能を発揮した。具体的には、これらの一方の非対称モデルは、S&P 500において標準的なベースラインと比較して、分散予測のエラーを約2.2%減少させた。このパーセンテージは小さく見えるかもしれないが、金融モデリングの世界では、数千回に及ぶ日次の予測における一貫した、かつ統計的に有意な改善を意味する。しかし、研究によれば、これらのモデルは市場の動き全般の規模を予測することには長けていたものの、真のブレイクスルーは、稀に起こる壊滅的な事象を予測する時に訪れた。

研究者が、100日に一度は突破されるべき閾値である「99%バリュー・アット・リスク（VaR）」を各モデルがどの程度うまく予測できるかをテストしたところ、その差は明白になった。広く使用されているRiskMetricsアプローチや単純なヒストリカル・シミュレーションを含む標準的な手法は、繰り返し失敗した。それらは突破回数が多すぎ、つまりリスクを過小評価しており、モデルが想定よりもはるかに頻繁に超過することを許してしまった。対照的に、ボラティリティ・フィルターと専門的な極値テクニックを組み合わせたハイブリッド・モデルは、極めて優れた性能を示した。S&P 500において、このモデルは期待値である35.3回に対して34回の超過を記録し、これは完璧な予測と統計的に区別がつかない結果であった。NASDAQにおいては44回の超過を記録したが、これはわずかな超過であり、依然として許容範囲内のパフォーマンスであった。他のモデルは統計テストによって拒絶され、極端なリスクを測定するタスクに対して根本的に較正（キャリブレーション）が不適切であることを示した。

ハイブリッド・モデルがなぜこれほど上手くいったのかを正確に理解するために、研究者たちは改善の原因を特定するための特定の実験を行った。彼らは最も優れた性能を示したボラティリティ・モデルを取り出し、その極値推定の方法を標準的な正規分布の仮定に置き換えた。この変更により、超過回数は34回から70回へと跳ね上がった。この発見は、成功の主要な要因が日々のボラティリティを追跡する方法ではなく、極端なテールをモデル化するための専門的なテクニックであったことを示唆している。言い換えれば、日々のリズムを正しく捉えることは有用であったが、極端な危険地帯の形状を正しく捉えることこそが不可欠であったのである。

研究はまた、データセットの中で最も深刻なストレス期間である、2008年9月から2009年6月にかけての金融危機におけるモデルの挙動についても調査した。この209日間にわたる極端な市場の混乱期において、標準的なヒストリカル・シミュレーション法は惨憺たる失敗を喫し、リスク制限を16回も突破した。しかし、ハイブリッド・モデルは堅牢であり、両指数を通じてわずか2回から3回の超過しか記録しなかった。さらに、モデルが損失を予測した際、その特定の日の実際の実現損失に対する推定値は、誤差3%以内であった。危機時におけるこのレベルの正確さは極めて重要である。なぜなら、それはリスクマネージャーに対し、市場崩壊を生き延ذةするためにどれだけの資本を保有しておく必要があるかを、信頼できる形で伝えることができることを意味するからである。

研究者たちは、非対称モデルは一般的な市場のボラティリティを追跡することにおいて緩やかな改善をもたらすが、安全性における最も大きな獲得は、分布のテールを明示的にモデル化することから得られると結論づけている。市場の暴落が正規のパターンに従うと仮定するモデルは、現代の銀行規制で求められる99%の信頼水準においては不十分である。本研究は、リスク管理の2つの構成要素、すなわち「日々のボラティリティの追跡」と「極端な事象のモデリング」は、異なる失敗モードに対処していることを示唆している。一方はタイミングを助け、もう一方はリスクのレベルが正しく推定されることを保証する。本研究は、2つの高度に相関した米国指数と単一の信頼水準に限定されているものの、最も危険なリスクに対しては、モデルが極端なテールを扱う方法が、日々のボラティリティをフィルタリングする特定の手法よりも重要であるという強力な証拠を示している。