Sintesi Tecnica: Identificazione degli Effetti Causali Medi di Compliant e Non-Compliant in Presenza di Esiti Latenti Missing-at-Random (LMAR)

1. Definizione del Problem

Lo studio degli effetti del trattamento è frequentemente complicato da due sfide simultanee: la non-compliance (dove i partecipanti non aderiscono al trattamento assegnato) e i dati esito mancanti (missing data). Questo articolo si concentra sul contesto di non-compliance unidirezionale, in cui la non-compliance si verifica solo nel braccio di trattamento (i partecipanti possono rifiutare il trattamento attivo, ma i partecipanti del gruppo di controllo non possono "rifiutare" il controllo).

In questo contesto, i ricercatori sono spesso interessati agli Effetti Causali Principali (PCE): l'Effetto Causale Medio dei Compliant (CACE) e l'Effetto Causale Medio dei Non-Compliant (NACE). Questi effetti sono definiti sulla base di strati principali latenti (compliant vs non-compliant), che sono non osservabili nella condizione di controllo.

Il problema specifico affrontato è l'identificazione di questi effetti quando gli esiti sono Missing at Random (MAR) nel braccio di trattamento, ma Missing Not at Random (MNAR) nel braccio di controllo, una condizione definita come Latent Missing at Random (LMAR) o ignorabilità latente. Sebbene esistano metodi per gestire l'LMAR all'interno del framework delle Variabili Strumentali (IV) (che si basa sulla Restrizione di Esclusione), non è stata proposta alcuna soluzione generale per approcci non-IV (come la Principal Ignorability) o per combinare diverse strategie di identificazione con vari meccanismi di missingness.

2. Metodologia e Framework

2.1 Assunzioni di Base

Gli autori stabiliscono un framework di base basato su due assunzioni fondamentali:

1. Ignorabilità dell'Assegnazione del Trattamento (A0): Condizionatamente alle covariate di base $X$, l'assegnazione del trattamento $Z$ è indipendente dagli esiti potenziali e dal tipo di compliance.
2. Latent Missing at Random (B0): Condizionatamente a $X$, $Z$ e al tipo di compliance $C$, l'indicatore di missingness $R$ è indipendente dall'esito $Y$. Fondamentalmente, ciò consente alla missingness di dipendere da $C$ nel braccio di controllo.

2.2 Caratterizzazione della Non-Identificabilità

Il documento dimostra che sotto A0 e B0, i PCE sono non identificabili. La non-identificabilità deriva dall'impossibilità di recuperare le medie condizionali degli esiti sotto il controllo per ogni strato, denotate come $\mu_{0c}(X) = E[Y | X, Z=0, C=c]$.

Gli autori derivano che questo problema si riduce a un sistema di due equazioni di miscela connesse:

1. L'Equazione di Miscela della Risposta: Relazione tra la probabilità complessiva di risposta nel braccio di controllo ($\lambda_0(X)$) e le probabilità di risposta specifiche per strato ($\varpi_{0c}(X)$).
   $$\lambda_0(X) = \varpi_{01}(X)\pi_1(X) + \varpi_{00}(X)\pi_0(X)$$
2. L'Equazione di Miscela dell'Esito: Relazione tra la media dell'esito osservato nel braccio di controllo ($\kappa^R_0(X)$) e le medie degli esiti specifici per strato ($\mu_{0c}(X)$), pesate dalle probabilità di risposta specifiche per strato.
   $$\kappa^R_0(X) = \mu_{01}(X)\pi^R_{01}(X) + \mu_{00}(X)\pi^R_{00}(X)$$

Gli incogniti sono le probabilità di risposta specifiche per strato ($\varpi_{0c}$) e le medie degli esiti specifiche per strato ($\mu_{0c}$). Le equazioni sono connesse perché le probabilità di risposta determinano i pesi nell'equazione dell'esito.

2.3 Il Modello Unificante

Il documento propone un modello di identificazione in due fasi:

1. Fase 1 (Meccanismo di Missingness): Introdurre un'assunzione specifica sul meccanismo di missingness per risolvere l'Equazione di Miscela della Risposta e identificare le probabilità di risposta ($\varpi_{0c}$).
2. Fase 2 (Identificazione Principale): Introdurre un'assunzione di identificazione principale per risolvere l'Equazione di Miscela dell'Esito per le medie degli esiti ($\mu_{0c}$).

Gli autori sottolineano che questi sono processi separati; un'assunzione specifica di missingness non deve necessariamente allinearsi con una specifica assunzione di identificazione principale (ad esempio, si può accoppiare la Restrizione di Esclusione con un'assunzione di missingness non-ER).

3. Contributi Chiave

3.1 Nuove Assunzioni di Missingness e Modifiche

Il documento categorizza le specifiche assunzioni di missingness in due tipi:

• Tipo 1: Confronto della Missingness tra Condizioni di Trattamento.
  • Include assunzioni esistenti come Stable Noncomplier Response (SNR/rER) e Stable Complier Response (SCR).
  • Risultato Critico: Gli autori identificano un limite nelle esistenti assunzioni SNR/SCR: esse possono implicare probabilità di risposta implausibili (negative o $>1$) a seconda della distribuzione dei dati osservati.
  • Proposta: Propongono versioni modificate, Near-SNR e Near-SCR, che vincolano le probabilità a intervalli validi (es. $[\epsilon, 1]$) quando l'assunzione esatta produce valori non validi.
• Tipo 2: Confronto della Missingness tra Strati Principali.
  • Response Principal Ignorability (rPI): Assume che la probabilità di risposta sia indipendente dal tipo di compliance nel braccio di controllo ($R \perp C | X, Z=0$).
  • Proportional Response Odds (rPO): Assume che il rapporto di probabilità (odds ratio) di risposta tra i compliant e i non-compliant sia lo stesso in entrambi i bracci.
  • Queste assunzioni non soffrono del problema delle probabilità implausibili inerente alle assunzioni di risposta stabile di Tipo 1.

3.2 Formule di Identificazione

Il documento deriva esplicite formule di identificazione per CACE, NACE e ATE sotto varie combinazioni di:

• Assunzioni di Identificazione Principale: Exclusion Restriction (ER), Principal Ignorability (PI), e assunzioni di analisi di sensibilità (PIsens-GOR, PIsens-MR, PIsens-SMD).
• Specifiche Assunzioni di Missingness: Near-SNR, Near-SCR, rPI, e rPO.

Risultato Teorico Chiave: Se viene utilizzata la Principal Ignorability (PI) come assunzione di identificazione principale, i PCE sono identificati senza la necessità di un meccanismo di missingness specifico oltre all'LMAR. La PI fornisce una soluzione all'equazione di miscela dell'esito che evita la necessità di risolvere l'equazione di miscela della risposta. Inoltre, la combinazione di PI e LMAR implica che l'esito sia MAR.

3.3 Illustrazione Empirica

Gli autori applicano il loro framework ai dati del Baltimore Experience Corps Trial (uno studio sul volontariato per anziani).

• Dati: 623 partecipanti (284 intervento, 339 controllo) con un 22,6% di missingness complessiva nell'esito "perceived generativity achievement".
• Analisi: Hanno stimato gli effetti sotto tutte le combinazioni delle tre assunzioni principali (ER, PI, PIsens-SMDe) e quattro assunzioni di missingness.
• Risultati:
  • Le stime degli effetti variavano significativamente in base alla scelta dell'assunzione di identificazione principale (es. ER vs. PI).
  • All'interno di una fissata assunzione di identificazione principale, le stime sono state relativamente robuste rispetto alla scelta dell'assunzione di missingness specifica (eccetto per un aumento dell'incertezza sotto Near-SNR).
  • Quando è stata assunta la PI, i risultati sono stati identici indipendentemente dal meccanismo di missingness, confermando il risultato teorico secondo cui la PI rende superflua la necessità di specifiche assunzioni di missingness.

4. Significato e Rivendicazioni

Il documento rivendica di fornire una visione unificante e un modello flessibile per l'identificazione degli effetti in presenza di esiti LMAR. La sua importanza primaria risiede nel:

1. Disaccoppiamento delle Assunzioni: Chiarire che l'identificazione dei PCE richiede generalmente due assunzioni distinte (una per la missingness, una per gli strati principali) che possono essere scelte indipendentemente in base alla giustificazione sostanziale.
2. Espansione delle Opzioni: Andare oltre il framework IV/ER per includere la Principal Ignorability e gli approcci di analisi di sensibilità, che sono sempre più utilizzati nella pratica.
3. Correzione di Metodi Esistenti: Evidenziare e correggere il problema delle probabilità implausibili nelle ampiamente utilizzate assunzioni di risposta stabile (SNR/SCR) proponendo le versioni "near".
4. Identificazione di Casi Speciali: Dimostrare che, sotto la PI, il complesso problema dell'LMAR si semplifica in un problema standard di MAR, eliminando la necessità di ulteriori assunzioni di missingness.

Gli autori concludono che, sebbene il modello offra formule di identificazione immediata, è necessario un lavoro futuro per sviluppare metodi di stima e inferenza robusti (ad esempio, la stima della varianza) per queste nuove formule, in particolare sotto le assunzioni di "near" stable response. Notano inoltre che il lavoro attuale è limitato all'LMAR e non affronta la missingness dipendente dall'esito stesso (MNAR oltre l'LMAR).