Technische Samenvatting: Identificatie van Gemiddelde Causale Effecten voor Compliers en Noncompliers in de Aanwezigheid van Latente Missing-at-Random (LMAR) Uitkomsten

1. Probleemstelling

De studie naar behandelingseffecten wordt frequent bemoeilijkt door twee gelijktijdige uitdagingen: noncompliance (waarbij deelnemers zich niet houden aan hun toegewezen behandeling) en ontbrekende uitkomstgegevens. Dit artikel richt zich op de situatie van éénzijdige noncompliance, waarbij noncompliance alleen voorkomt in de behandelingsarm (deelnemers kunnen de actieve behandeling weigeren, maar controle-deelnemers kunnen de controle niet "weigeren").

In deze setting zijn onderzoekers vaak geïnteresseerd in Principal Causal Effects (PCE's): de Complier Average Causal Effect (CACE) en de Noncomplier Average Causal Effect (NACE). Deze effecten worden gedefinieerd op basis van latente hoofdstrata (compliers versus noncompliers), die onwaarneembaar zijn in de controlegroep.

Het specifieke probleem dat wordt aangepakt, is de identificatie van deze effecten wanneer uitkomsten Missing at Random (MAR) zijn in de behandelingsarm, maar Missing Not at Random (MNAR) in de controlegroep, een conditie die wordt aangeduid als Latent Missing at Random (LMAR) of latente ignorabiliteit. Hoewel er methoden bestaan om LMAR binnen het Instrumentele Variabele (IV) kader te behandelen (dat steunt op de Exclusion Restriction), is er nog geen algemene oplossing voorgesteld voor niet-IV benaderingen (zoals Principal Ignorability) of voor het combineren van verschillende identificatiestrategieën met diverse missingness-mechanismen.

2. Methodologie en Kader

2.1 Basisaannames

De auteurs stellen een basiskader vast dat rust op twee kernaannames:

1. Treatment Assignment Ignorability (A0): Gegeven baseline covariaten $X$, is de toewijzing van de behandeling $Z$ onafhankelijk van potentiële uitkomsten en het type compliance.
2. Latent Missing at Random (B0): Gegeven $X$, $Z$ en het type compliance $C$, is de missingness-indicator $R$ onafhankelijk van de uitkomst $Y$. Cruciaal is dat dit toestaat dat missingness afhankelijk kan zijn van $C$ in de controlegroep.

2.2 Karakterisering van Niet-Identificeerbaarheid

Het artikel demonstreert dat onder A0 en B0 alleen, de PCE's niet-identificeerbaar zijn. De niet-identificeerbaarheid komt voort uit het onvermogen om de conditionele uitkomstgemiddelden onder controle voor elk stratum te herstellen, aangeduid als $\mu_{0c}(X) = E[Y | X, Z=0, C=c]$.

De auteurs leiden af dat dit probleem reduceert tot een systeem van twee verbonden mengvergelijkingen (mixture equations):

1. De Response Mixture Equation: Relateert de algehele respons-waarschijnlijkheid in de controlegroep ($\lambda_0(X)$) aan de stratum-specifieke respons-waarschijnlijkheden ($\varpi_{0c}(X)$).
   $$\lambda_0(X) = \varpi_{01}(X)\pi_1(X) + \varpi_{00}(X)\pi_0(X)$$
2. De Outcome Mixture Equation: Relateert het geobserveerde uitkomstgemiddelde in de controlegroep ($\kappa^R_0(X)$) aan de stratum-specifieke uitkomstgemiddelden ($\mu_{0c}(X)$), gewogen door de stratum-specifieke respons-waarschijnlijkheden.
   $$\kappa^R_0(X) = \mu_{01}(X)\pi^R_{01}(X) + \mu_{00}(X)\pi^R_{00}(X)$$

De onbekenden zijn de stratum-specifieke respons-waarschijnlijkheden ($\varpi_{0c}$) en de stratum-specifieke uitkomstgemiddelden ($\mu_{0c}$). De vergelijkingen zijn verbonden omdat de respons-waarschijnlijkheden de gewichten in de uitkomstvergelijking bepalen.

2.3 Het Verenigende Sjabloon

Het artikel stelt een tweestaps-identificatiesjabloon voor:

1. Stap 1 (Missingness Mechanisme): Introduceer een specifieke aanname over het missingness-mechanisme om de Response Mixture Equation op te lossen en de respons-waarschijnlijkheden ($\varpi_{0c}$) te identificeren.
2. Stap 2 (Principal Identificatie): Introduceer een principal identificatie-aanname om de Outcome Mixture Equation op te lossen voor de uitkomstgemiddelden ($\mu_{0c}$).

De auteurs benadrukken dat dit gescheiden processen zijn; een specifieke missingness-aanname hoeft niet overeen te komen met een specifieke principal identificatie-aanname (bijvoorbeeld kan men de Exclusion Restriction combineren met een niet-ER missingness-aanname).

3. Belangrijkste Bijdragen

3.1 Nieuwe Missingness Aannames en Modificaties

Het artikel categoriseert specifieke missingness-aannames in twee typen:

• Type 1: Vergelijken van Missingness Tussen Behandelingscondities.
  • Omvat bestaande aannames zoals Stable Noncomplier Response (SNR/rER) en Stable Complier Response (SCR).
  • Cruciale Bevinding: De auteurs identificeren een beperking in bestaande SNR/SCR-aannames: ze kunnen onwaarschijnlijke respons-waarschijnlijkheden (negatief of $>1$) impliceren, afhankelijk van de distributie van de geobserveerde data.
  • Voorstel: Ze stellen gemodificeerde versies voor, Near-SNR en Near-SCR, die de waarschijnlijkheden beperken tot geldige bereiken (bijv. $[\epsilon, 1]$) wanneer de exacte aanname ongeldige waarden oplevert.
• Type 2: Vergelijken van Missingness Tussen Principal Strata.
  • Response Principal Ignorability (rPI): Veronderstelt dat de respons-waarschijnlijkheid onafhankelijk is van het type compliance in de controlegroep ($R \perp C | X, Z=0$).
  • Proportional Response Odds (rPO): Veronderstelt dat de odds ratio van respons tussen compliers en noncompliers gelijk is in beide armen.
  • Deze aannames lijden niet onder het probleem van onwaarschijnlijke waarschijnlijkheden dat inherent is aan Type 1.

3.2 Identificatieformules

Het artikel leidt expliciete identificatieformules af voor CACE, NACE en ATE onder diverse combinaties van:

• Principal Identificatie Aannames: Exclusion Restriction (ER), Principal Ignorability (PI), en sensitiviteitsanalyse-aannames (PIsens-GOR, PIsens-MR, PIsens-SMD).
• Specifieke Missingness Aannames: Near-SNR, Near-SCR, rPI, en rPO.

Belangrijk Theoretisch Resultaat: Indien Principal Ignorability (PI) wordt gebruikt als de principal identificatie-aanname, zijn de PCE's geïdentificeerd zonder dat een specifiek missingness-mechanisme nodig is buiten LMAR. PI biedt een oplossing voor de uitkomst-mengvergelijking die het overtollig maakt om de respons-mengvergelijking op te lossen. Bovendien impliceert de combinatie van PI en LMAR dat de uitkomst MAR is.

3.3 Empirische Illustratie

De auteurs passen hun kader toe op data uit de Baltimore Experience Corps Trial (een studie naar vrijwilligerswerk bij ouderen).

• Data: 623 deelnemers (284 interventie, 339 controle) met een algehele missingness van 22,6% in de uitkomst "perceived generativity achievement".
• Analyse: Ze schatten de effecten onder alle combinaties van de drie principal aannames (ER, PI, PIsens-SMDe) en vier missingness aannames.
• Bevindingen:
  • De geschatte effecten varieerden aanzienlijk op basis van de keuze van de principal identificatie aanname (bijv. ER vs. PI).
  • Binnen een vaste principal identificatie aanname waren de schattingen relatief robuust tegenover de keuze van de specifieke missingness aanname (behalve bij een toename van onzekerheid onder Near-SNR).
  • Wanneer PI werd aangenomen, waren de resultaten identiek ongeacht het gekozen missingness-mechanisme, wat de theoretische conclusie bevestigt dat PI de noodzaak voor specifieke missingness-aannames wegneemt.

4. Betekenis en Claims

Het artikel claimt een verenigend overzicht en een flexibel sjabloon te bieden voor effectidentificatie in de aanwezigheid van LMAR-uitkomsten. De primaire betekenis ligt in:

1. Ontkoppeling van Aannames: Verduidelijking dat het identificeren van PCE's over het algemeen twee verschillende aannames vereist (één voor missingness, één voor principal strata) die onafhankelijk van elkaar kunnen worden gekozen op basis van inhoudelijke rechtvaardiging.
2. Uitbreiding van Opties: Verder gaan dan het IV/ER kader door Principal Ignorability en sensitiviteitsanalyse-benaderingen op te nemen, die steeds vaker in de praktijk worden gebruikt.
3. Correctie van Bestaande Methoden: Het aanstippen en oplossen van het probleem van onwaarschijnlijke waarschijnlijkheden in veelgebruikte stabiele respons-aannames (SNR/SCR) door "near" versies voor te stellen.
4. Special Case Identificatie: Aantonen dat onder PI het complexe probleem van LMAR vereenvoudigt tot een standaard MAR-probleem, waardoor de noodzaak voor aanvullende missingness-aannames vervalt.

De auteurs concluderen dat hoewel het sjabloon directe identificatieformules biedt, toekomstig werk nodig is voor het ontwikkelen van robuuste schattings- en inferentiemethoden (bijv. variantie-schatting) voor deze nieuwe formules, met name onder de "near" stabiele respons aannames. Ze merken ook op dat het huidige werk beperkt is tot LMAR en niet behandelt hoe missingness afhankelijk kan zijn van de uitkomst zelf (MNAR voorbij LMAR).