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Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

Utilizzando un modello geometrico e tecniche di verosimiglianza condizionata su dati del panel AFiD, lo studio stima che l'aspettativa di vita delle imprese tedesche sia di dieci anni, con un intervallo di confidenza di soli due mesi.

Autori originali: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Pubblicato 2026-03-16

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CC BY 4.0

Autori originali: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Articolo originale sotto licenza CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Questa è una spiegazione generata dall'IA dell'articolo qui sotto. Non è stata scritta né approvata dagli autori. Per precisione tecnica, consulta l'articolo originale. Leggi il disclaimer completo

🏭 Il "Gioco della Longevità" delle Aziende: Come prevedere quanto durano

Immaginate di essere un allenatore di una squadra di calcio. Il vostro obiettivo non è sapere chi ha vinto la partita di ieri, ma capire quanto tempo rimarrà in campo ogni giocatore prima di farsi male o stancarsi.

In questo studio, gli autori (Eric Scholz e Rafael Weißbach) fanno lo stesso, ma invece di calciatori, studiano le aziende tedesche. Vogliono rispondere a una domanda semplice: "Qual è la probabilità che un'azienda chiuda i battenti nel prossimo anno?"

Ecco come hanno risolto il puzzle, usando metafore semplici.

1. Il Problema: Guardare solo la seconda metà della partita 🎬

Immaginate di entrare in un cinema a metà di un film.

Il problema: Vedete solo cosa succede da metà film in poi. Non sapete come è iniziato il film, né chi è morto nei primi 20 minuti.
La realtà dei dati: Gli statistici hanno accesso a un registro (il panel AFiD) che inizia nel 2018.
- Se un'azienda è nata nel 2013 e ha chiuso nel 2015, non la vedono affatto. È come se quel film non fosse mai esistito per loro.
- Se un'azienda è nata nel 2014 e chiude nel 2018, la vedono solo per l'ultimo anno.
- Se un'azienda è nata nel 2014 e non chiude nemmeno nel 2019, la vedono ma non sanno se chiuderà l'anno dopo (è "censurata a destra", come un libro che finisce a metà pagina).

Questo crea un bias: se ignorassimo queste regole, penseremmo che le aziende siano più longeve di quanto non siano, perché quelle che muoiono subito (prima del 2018) sono invisibili.

2. La Soluzione: Il "Gioco della Moneta" 🪙

Gli autori usano un modello matematico chiamato distribuzione geometrica.
Immaginate che ogni anno, ogni azienda giochi una partita a "testa o croce":

Testa: L'azienda sopravvive un altro anno.
Croce: L'azienda fallisce e chiude.

La loro ipotesi fondamentale è che questa probabilità di "croce" (fallimento) sia la stessa ogni anno, indipendentemente dall'età dell'azienda. Non importa se l'azienda ha 1 anno o 10 anni: la probabilità di chiudere è sempre la stessa. È come se ogni anno fosse un lancio di moneta indipendente.

3. La Magia Matematica: Dimenticare il passato per contare il presente 🧠

Qui entra in gioco la parte più intelligente del paper.
Poiché non vediamo le aziende che sono morte prima del 2018, gli autori dicono: "Ok, dimentichiamo tutto ciò che è successo prima del 2018. Contiamo solo gli anni in cui abbiamo visto l'azienda in azione."

Metafora: Immaginate di pesare una persona. Se non sapete quanto pesava da bambino, non provate a indovinare. Pesatela solo oggi. Se pesa 70 kg oggi, usate quel dato. Non importa se 10 anni fa pesava 50 kg; il nostro modello si basa solo sul "peso attuale" e sulla probabilità di cambiare peso nel futuro.

Usando una tecnica statistica avanzata (ma spiegabile in modo semplice), riescono a "ripulire" i dati. Se un'azienda è sopravvissuta fino al 2018, il loro modello dice: "Ok, calcoliamo la probabilità di fallimento basandoci solo sugli anni che abbiamo visto, ignorando gli anni invisibili."

4. Il Risultato: Quanto durano le aziende tedesche? 🇩🇪

Analizzando i dati di 1,4 milioni di aziende tedesche (fondate tra il 2013 e il 2017), hanno scoperto che:

La probabilità di chiusura annuale è circa del 10%.
L'aspettativa di vita di un'azienda tedesca è di circa 10 anni.
La precisione: Il loro calcolo è così preciso che l'intervallo di confidenza (il margine di errore) è di soli due mesi. È come dire: "L'azienda vivrà 10 anni, più o meno due mesi".

5. Perché è importante? 🌟

Questo studio è importante per tre motivi:

Corregge l'errore: Molti studi precedenti sbagliavano perché non tenevano conto del fatto che non vedevano le aziende che morivano "prima dell'inizio del film". Questo studio ha un metodo matematico (basato sui "martingale", che sono come bilance che si riequilibrano da sole) per correggere questo errore.
Affidabilità: Anche se i dati sono incompleti (mancano le aziende morte prima del 2018), il loro metodo garantisce che la stima finale sia corretta.
Semplicità: Nonostante la matematica complessa dietro le quinte, il risultato è una regola semplice: ogni anno, circa 1 azienda su 10 chiude i battenti, indipendentemente da quanto è vecchia.

In sintesi 🎯

Gli autori hanno creato un "orologio statistico" che, anche se guardiamo solo la seconda metà della vita di un'azienda, riesce a dirci con grande precisione quanto tempo è destinata a vivere. Hanno dimostrato che, in Germania, la vita media di un'impresa è di 10 anni, e lo hanno fatto con una precisione tale da ridurre l'incertezza a soli 60 giorni.

È come se avessero imparato a leggere il futuro di un'azienda guardando solo gli ultimi anni del suo film, sapendo esattamente come ricostruire il resto della trama senza sbagliare.

Titolo: Spettri di vita discreti troncati a sinistra: Il pannello AFiD delle imprese

Autori: Eric Scholz e Rafael Weißbach (Università di Rostock)

1. Il Problema e il Contesto

L'obiettivo principale dello studio è stimare la probabilità che un'impresa si chiuda (per fallimento o altre ragioni) nell'anno successivo. I dati provengono dal pannello AFiD (Amtliche Firmendaten für Deutschland), che contiene informazioni ufficiali sulle imprese tedesche per gli anni 2018 e 2019.

Il problema statistico centrale deriva dalla natura dei dati:

Troncamento a sinistra (Left-truncation): Il pannello inizia l'osservazione nel 2018. Le imprese fondate prima di questa data ma già chiuse prima del 2018 non sono osservabili (dati mancanti). Le imprese fondate prima del 2018 ma ancora attive nel 2018 sono osservate solo a partire da una certa età (troncate).
Censura a destra (Right-censoring): Le imprese che sono ancora attive alla fine del periodo di osservazione (2019) sono censurate a destra.
Dipendenza longitudinale: Le osservazioni per la stessa impresa in anni successivi non sono indipendenti (stessa impresa, storia correlata).
Dimensioni del campione variabili: Le imprese hanno "vissuto" per un numero diverso di anni prima dell'inizio dell'osservazione, creando varianza eterogenea nel numero di "esperimenti" di sopravvivenza disponibili per ciascuna unità.

L'approccio standard di conteggio semplice (numero di chiusure / numero di imprese a rischio) fallirebbe se ignorasse il troncamento, introducendo un "bias di tempo immortale" (immortal time bias).

2. Metodologia

Modello Statistico

Gli autori assumono che la probabilità di chiusura annuale ( $\theta$ ) sia costante nel tempo e indipendente dall'età dell'impresa. Di conseguenza, la distribuzione della durata della vita ( $X$ ) dell'impresa è modellata come una distribuzione geometrica:
$f_G(x) = \theta(1 - \theta)^{x-1}, \quad x \in \mathbb{N}$
Dove $x$ è il numero di anni dalla fondazione alla chiusura.

Gestione del Troncamento e della Censura

Invece di modellare la fondazione delle imprese, gli autori assumono che fondazione e durata della vita siano indipendenti.

Si definisce $T$ come l'anno di fondazione (variabile casuale) e $t$ come l'età dell'impresa un anno prima dell'inizio dell'osservazione.
Un'impresa è osservabile solo se la sua durata $X \ge T + 1$ .
Per le imprese osservate, il contributo alla verosimiglianza (likelihood) si basa solo sul periodo di osservazione (dall'anno $T+1$ fino alla chiusura o alla fine del periodo), ignorando gli anni di sopravvivenza precedenti non osservati.

Strumenti Matematici Avanzati

Il cuore metodologico risiede nell'uso della teoria dei processi stocastici e delle martingale:

Processi di Conteggio: La durata della vita è rappresentata come un processo di conteggio $N(x)$ .
Filtrazioni: Viene definita una filtrazione (storia osservata) che tiene conto solo delle informazioni disponibili dopo l'inizio dell'osservazione.
Decomposizione di Doob: Il processo di conteggio osservato viene decomposto in un "compensatore" (parte deterministica, legata alla probabilità $\theta$ ) e un "rumore" (martingala).
Verosimiglianza Condizionale: Gli autori derivano una verosimiglianza condizionata sulla osservabilità dell'impresa. Questo permette di ottenere una forma chiusa per lo stimatore e il suo errore standard senza specificare la distribuzione di fondazione $T$ (modello semi-parametrico).
Teorema del Limite per Martingale: Poiché le dimensioni del campione sono casuali e le varianze eterogenee, il Teorema del Limite Centrale classico (Lindeberg-Lévy) non è direttamente applicabile. Gli autori utilizzano un teorema del limite per martingale (di Rebolledo) per dimostrare la consistenza e la normalità asintotica dello stimatore.

3. Contributi Chiave

Stimatore in Forma Chiusa: Derivazione di uno stimatore di massima verosimiglianza condizionata che ha una forma semplice e intuitiva, simile a un rapporto tra eventi e tempo a rischio, ma corretto per il troncamento.
Gestione Rigorosa del Troncamento: Dimostrazione che ignorare la storia pre-osservazione (per le imprese sopravvissute) è statisticamente corretto sotto l'assunzione di distribuzione geometrica (memoria nulla), evitando il bias di selezione.
Normalità Asintotica con Campioni Variabili: Fornitura di una prova rigorosa della normalità asintotica dello stimatore anche in presenza di dimensioni del campione casuali e troncamento a sinistra, utilizzando la teoria delle martingale.
Applicazione Reale su Dati su Larga Scala: Applicazione del modello a un dataset reale di circa 1,4 milioni di imprese tedesche, dimostrando la scalabilità del metodo.

4. Risultati

Applicando il modello ai dati AFiD (fondazioni 2013-2017, osservazione 2018-2019):

Probabilità di Chiusura Annuale ( $\theta$ ): Stimata tra 0,1005 e 0,1013 (con un livello di confidenza del 95%).
Aspettativa di Vita delle Imprese: L'inverso della probabilità di chiusura ( $1/\theta$ ) fornisce un'aspettativa di vita di circa 10 anni.
Precisione: L'intervallo di confidenza per l'aspettativa di vita è molto stretto, con una larghezza di circa due mesi (intervallo [9,88; 9,95] anni). L'errore standard è di 0,036.
Confronti: I risultati sono confrontati con studi precedenti su Germania, Giappone, Portogallo e USA. La Germania mostra una probabilità di chiusura intermedia rispetto ad altri paesi (es. più alta del Giappone storico, più bassa del Portogallo).

5. Significato e Implicazioni

Demografia Aziendale: Il lavoro fornisce uno strumento robusto per analizzare la sopravvivenza delle imprese in contesti di dati amministrativi reali, dove il troncamento è inevitabile.
Validazione del Modello Geometrico: Conferma che, per le imprese tedesche nel periodo studiato, l'assunzione di una probabilità di chiusura costante (distribuzione geometrica) è un'approssimazione valida e utile, semplificando notevolmente l'analisi rispetto a modelli complessi dipendenti dall'età.
Metodologia Statistica: Dimostra come la teoria delle martingale possa essere applicata efficacemente a problemi di dati discreti e troncati, offrendo una via alternativa ai metodi di sopravvivenza continui (come la decomposizione di Doob-Meyer per tempo continuo).
Previsione: Lo stimatore $\theta$ può essere utilizzato per prevedere la sopravvivenza delle imprese attive alla fine del periodo di osservazione, contribuendo al campo della statistica previsionale economica.

In sintesi, il paper risolve un problema complesso di selezione del campione (left-truncation) in demografia aziendale fornendo una soluzione analitica elegante basata sulle martingale, applicata con successo a un dataset di milioni di imprese, ottenendo stime di alta precisione.