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Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

Este artículo presenta un modelo de distribución geométrica para estimar la esperanza de vida de las empresas alemanas utilizando datos del panel AFiD, abordando la truncación izquierda y la censura derecha mediante una función de verosimilitud condicional basada en martingalas para obtener estimadores consistentes y asintóticamente normales que arrojan una esperanza de vida de diez años.

Autores originales: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Publicado 2026-03-16

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CC BY 4.0

Autores originales: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

🏢 El Juego de la Supervivencia Empresarial: Una Historia de "Vidas" y "Suertes"

Imagina que las empresas son como personas en un videojuego. Cada una nace (se funda), juega durante un tiempo y eventualmente "muere" (cierra sus puertas). Los autores de este estudio, Eric Scholz y Rafael Weißbach, querían responder a una pregunta muy simple pero difícil: ¿Cuánto tiempo vive, en promedio, una empresa alemana antes de cerrar?

Para averiguarlo, no miraron el futuro, sino que revisaron un archivo histórico gigante llamado AFiD, que contiene datos de millones de empresas alemanas. Pero había un problema: ¡el archivo estaba incompleto!

🕵️‍♂️ El Problema: El "Efecto del Espejo Roto" (Truncamiento)

Imagina que entras a una sala de juegos en el año 2018.

El problema de los que ya se fueron: Si una empresa nació en 2013 y cerró en 2015, tú no la verás en la sala en 2018. Para ti, esa empresa nunca existió en tu registro. Es como si el juego borrara a los jugadores que perdieron antes de que tú llegaras. Esto se llama truncamiento a la izquierda.
El problema de los que aún juegan: Si una empresa nació en 2014 y sigue abierta en 2019 (cuando termina tu registro), sabes que ha sobrevivido hasta ahora, pero no sabes cuándo cerrará. Es como ver a un jugador en la pantalla y no saber si ganará en el siguiente nivel o en el décimo. Esto se llama censura a la derecha.

La mayoría de los estadísticos cometen el error de ignorar a los que "ya se fueron" o de tratar a los que "aún juegan" como si supiéramos todo su destino. Esto distorsiona la realidad, haciendo que las empresas parezcan más longevas de lo que son (un sesgo de "tiempo inmortal").

🎲 La Solución: La Regla de la "Moneda Justa"

Los autores proponen un modelo sencillo pero poderoso: la Distribución Geométrica.

Imagina que cada año, una empresa tiene que lanzar una moneda:

Cara: Sigue viva otro año.
Cruz: Cierra (quiebra).

La gran suposición de este estudio es que la probabilidad de sacar "Cruz" es la misma cada año, sin importar si la empresa tiene 1 año o 10 años. Es como si la empresa tuviera la misma suerte cada año, sin envejecer ni volverse más fuerte.

¿Cómo arreglan el problema de los datos incompletos?
En lugar de intentar adivinar qué pasó antes de que llegaran al estudio (lo cual es imposible), deciden: "Vamos a contar solo los años que hemos visto jugar".

Si una empresa entra en el registro en 2018 y cierra en 2019, cuentan 1 año de juego.
Si entra en 2018 y sigue viva en 2019, cuentan 1 año de juego (y asumen que podría seguir, pero solo cuentan lo que vieron).

Matemáticamente, usan una herramienta muy elegante llamada Martingala.

Analogía de la Martingala: Imagina que eres un árbitro en un partido de fútbol. No puedes predecir el gol, pero puedes calcular la "probabilidad esperada" de que ocurra en cada minuto basándote en lo que ha pasado hasta ahora. La "martingala" es como un contador de errores que, si el juego es justo, siempre termina en cero al final. Los autores usan esto para demostrar que su cálculo es matemáticamente sólido y no tiene trucos ocultos, incluso con datos incompletos.

📊 Los Resultados: ¿Cuánto viven las empresas alemanas?

Aplicando esta lógica a 1.4 millones de empresas alemanas de los años 2018 y 2019, descubrieron algo muy preciso:

La esperanza de vida: Una empresa alemana vive, en promedio, 10 años.
La precisión: El margen de error es increíblemente pequeño: solo 2 meses. Es decir, podemos decir con mucha seguridad que la vida media está entre 9 años y 10 meses y 10 años y 2 meses.

Para ponerlo en perspectiva, compararon sus resultados con otros países:

Alemania: ~10 años.
Japón (en el pasado): ~8 años (pero han mejorado).
Portugal: ~4 años (muy alta tasa de cierre).
EE. UU.: ~5 años.

💡 ¿Por qué es importante esto?

Este estudio es como un termómetro de la salud económica.

Para los bancos: Si saben que las empresas viven 10 años, pueden calcular mejor el riesgo de prestarles dinero.
Para los emprendedores: Les da una idea realista de la dificultad del camino.
Para la ciencia: Demuestra que se puede obtener una respuesta muy precisa incluso cuando los datos están "rotos" o incompletos, usando matemáticas inteligentes en lugar de simplemente ignorar los huecos.

En resumen

Los autores tomaron un montón de datos desordenados (donde faltaban las empresas que ya habían muerto y sobraban las que aún vivían), aplicaron una regla matemática de "moneda justa" y usaron un truco de probabilidad llamado "martingala" para limpiar el ruido. El resultado: Las empresas alemanas viven, en promedio, una década, y sabemos esto con una precisión de apenas dos meses.

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel" (Vidas útiles discretas truncadas a la izquierda: El panel empresarial AFiD), escrito por Eric Scholz y Rafael Weißbach.

1. Planteamiento del Problema

El objetivo principal del estudio es estimar la probabilidad de cierre (por insolvencia u otras razones) de una empresa en un periodo de un año, utilizando datos del panel alemán AFiD (Amtliche Firmendaten für Deutschland).

El problema central surge de la naturaleza de los datos observacionales:

Truncamiento a la izquierda: El panel comienza a observar las empresas en 2018. Las empresas fundadas antes de esta fecha y que ya habían cerrado antes de 2018 no aparecen en los datos (su historia de vida es invisible). Las empresas que sobreviven hasta 2018 pero fueron fundadas antes tienen una parte de su historia no observada (truncada).
Censura a la derecha: Las empresas que aún están activas al final del periodo de observación (2019) tienen su vida útil censurada.
Dependencia longitudinal: Las observaciones de una misma empresa a lo largo de los años no son independientes (si una empresa sobrevive al año $t$ , es más probable que sobreviva al año $t+1$ en un modelo de memoria cero, pero la estructura de datos crea dependencia en la muestra).
Muestreo complejo: El tamaño de la muestra (número de años observables por empresa) varía aleatoriamente según el año de fundación, lo que complica la derivación de errores estándar asintóticos y la normalidad bajo teoremas de límite clásicos (como Lindeberg-Lévy).

El modelo asume que la probabilidad de cierre es constante en el tiempo y no depende de la edad de la empresa, modelando la vida útil ( $X$ ) mediante una distribución geométrica.

2. Metodología

Los autores desarrollan un marco de inferencia basado en la verosimilitud condicional y la teoría de martingalas para manejar el truncamiento y la censura.

A. Modelado Estadístico

Distribución: La vida útil $X$ sigue una distribución geométrica con parámetro $\theta$ (probabilidad de cierre anual): $f(x) = \theta(1-\theta)^{x-1}$ .
Truncamiento: Se define una variable aleatoria $T$ (año de fundación, medido hacia atrás desde el inicio del estudio). Una empresa solo es observable si su vida útil $X \geq T + 1$ .
Procesos de Conteo: La vida útil se reinterpreta como un proceso de conteo $N(x)$ (indicador de si la empresa ha cerrado para la edad $x$ ). Se definen procesos truncados y censurados ( $^TN$ y $^TY$ ) para aislar la información observable a partir del tiempo $T$ .

B. Inferencia mediante Martingalas

La contribución metodológica clave es la formulación de la verosimilitud condicional utilizando filtraciones (historias de información):

Filtración Latente vs. Observada: Se distingue entre la información completa (incluyendo el año de fundación y eventos previos no observados) y la información observable.
Descomposición de Doob: Se demuestra que el proceso de conteo observable menos su compensador (la suma acumulada de probabilidades condicionales) forma una martingala con respecto a una filtración observable.
- El compensador $\Delta A(x, \theta)$ representa la probabilidad esperada de cierre en el paso $x$ dado que la empresa sigue activa.
Verosimilitud Condicional: Al condicionar sobre la observabilidad ( $X \geq T+1$ ), se elimina la necesidad de especificar la distribución del año de fundación ( $T$ ), logrando un modelo semiparamétrico. La función de verosimilitud se expresa como un producto de factores de Bernoulli condicionados.

C. Propiedades Asintóticas

Estimador: El estimador de máxima verosimilitud condicional ( $\hat{\theta}$ ) se deriva como una transformación de martingala.
Consistencia y Normalidad: Utilizando un teorema de límite para martingalas (versión débil de Rebolledo, 1970s) en lugar del teorema central del límite clásico, los autores prueban que el estimador es consistente y asintóticamente normal, a pesar de las diferentes varianzas en los tamaños de muestra de cada empresa.
Error Estándar: Se deriva una fórmula cerrada para el error estándar asintótico, que permite construir intervalos de confianza.

3. Contribuciones Clave

Solución al Sesgo de Truncamiento: Proporcionan un método riguroso para estimar la supervivencia empresarial cuando los datos de fundación anteriores al inicio del panel son desconocidos, evitando el "sesgo de tiempo inmortal" (immortal time bias) que ocurriría si se ignorara el truncamiento.
Marco de Martingalas para Datos Discretos: Adaptan la teoría de martingalas (típicamente usada en datos continuos o modelos de riesgos competitivos) al contexto de datos discretos (anuales) con truncamiento aleatorio, demostrando que el estimador puede escribirse como una transformación de martingala.
Invarianza ante la Distribución de Fundaciones: Al condicionar sobre la observabilidad, el método no requiere asumir una distribución específica para los años de fundación de las empresas, lo que hace el modelo más robusto y aplicable a datos reales donde la fundación puede seguir procesos complejos.
Fórmulas de Cálculo Práctico: Derivan fórmulas explícitas para el estimador puntual y su varianza que son computacionalmente eficientes y fáciles de implementar en grandes conjuntos de datos.

4. Resultados Empíricos

Los autores aplican el modelo a los datos del panel AFiD para las empresas alemanas:

Datos: Aproximadamente 1.4 millones de empresas fundadas entre 2013 y 2017, observadas en 2018 y 2019.
Estimación de Probabilidad de Cierre: La probabilidad anual estimada de cierre ( $\hat{\theta}$ ) es de aproximadamente 0.1009 (10.09%).
Expectativa de Vida: La esperanza de vida de una empresa alemana se estima en 10 años.
Precisión: El intervalo de confianza al 95% para la esperanza de vida es [9.88; 9.95] años. La anchura del intervalo es de solo dos meses, lo que indica una alta precisión gracias al gran tamaño de la muestra.
Comparaciones: Los resultados se comparan con estudios previos en Alemania, Japón, Portugal y EE. UU., mostrando que Alemania tiene una intensidad de cierre intermedia (menor que Portugal o Pakistán, pero mayor que Japón en cohortes antiguas).

5. Significado e Implicaciones

Demografía Empresarial: El estudio ofrece una de las estimaciones más precisas hasta la fecha sobre la supervivencia empresarial en Alemania, utilizando una metodología estadística avanzada que corrige defectos de diseño comunes en estudios transversales.
Robustez Metodológica: Demuestra que es posible realizar inferencia estadística rigurosa en datos de panel con truncamiento y censura sin necesidad de modelos paramétricos complejos para las covariables de entrada (año de fundación).
Aplicabilidad: El enfoque es generalizable a otros contextos de demografía de eventos discretos (ej. supervivencia de pacientes en estudios retrospectivos, durabilidad de productos) donde la observación comienza en un momento arbitrario.
Limitaciones y Futuro: Los autores reconocen que la suposición de independencia entre empresas podría ser violada (las crisis económicas afectan a todas simultáneamente), lo que podría afectar la interpretación del error estándar, aunque el estimador puntual sigue siendo consistente. Sugieren que conocer la distribución paramétrica de las fundaciones podría reducir aún más el error estándar.

En resumen, el artículo presenta un avance técnico significativo en la estadística de supervivencia discreta, proporcionando herramientas robustas para analizar la longevidad de las empresas en presencia de datos incompletos y truncados.