Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

1. Problema e Contexto

O objetivo central do estudo é estimar a probabilidade de uma empresa fechar (seja por insolvência ou outras razões) em um período de um ano, utilizando dados demográficos empresariais alemães. O desafio principal reside na estrutura dos dados do painel AFiD (Amtliche Firmendaten für Deutschland), que apresenta duas características estatísticas complexas:

1. Truncamento à Esquerda (Left-truncation): O painel observa empresas a partir de 2018. Empresas fundadas antes dessa data e que já haviam fechado antes de 2018 não são observadas. Empresas fundadas antes de 2018 que sobreviveram até 2018 entram no estudo com uma "idade" inicial, ignorando-se o período de sobrevivência anterior à primeira onda de observação.
2. Censura à Direita (Right-censoring): Empresas que permanecem ativas após o final do período de observação (2019) são censuradas à direita.
3. Dependência Longitudinal: Para uma única empresa, os anos de sobrevivência não são independentes (se sobreviveu ao ano $t$, ela está condicionada a ter sobrevivido aos anos anteriores).
4. Tamanho de Amostra Aleatório: O número de "experimentos de sobrevivência" (anos observados) varia entre empresas devido a diferentes anos de fundação e tempos de observação.

O modelo assume que a probabilidade de fechamento ($\theta$) é constante ao longo do tempo e independente da idade da empresa, implicando uma distribuição geométrica para a vida útil da empresa.

2. Metodologia

Os autores desenvolvem uma abordagem baseada em verossimilhança condicional e teoria de martingales para lidar com a truncagem e a censura.

A. Modelagem e "Esquecimento" (Forgetting)

• Distribuição Geométrica: A vida útil $X$ é modelada como $f(x) = \theta(1-\theta)^{x-1}$.
• Truncamento: Em vez de tentar modelar a fundação da empresa (que é desconhecida para as que fecharam antes de 2018), o modelo condiciona a observação à sobrevivência até o início do período de observação ($X \ge T + 1$, onde $T$ é o tempo desde a fundação até um ano antes do início do painel).
• Filtragem (Filtration): O problema é formulado usando processos de contagem. Os autores definem um processo de contagem truncado e censurado ($^TN^c$) e seu compensador.
• Marginalização: A verossimilhança é marginalizada para o período observável (após o início do painel). Isso permite ignorar os experimentos de sobrevivência não observados antes de 2018, tratando a empresa como se tivesse começado sua "vida observável" na idade $T+1$.

B. Representação como Martingale

A contribuição fundamental metodológica é a representação do estimador e da verossimilhança através de martingales:

• O processo de contagem de fechamentos, ajustado pelo seu compensador (que representa a probabilidade esperada de fechamento dado o histórico), forma um martingale em relação a uma filtragem observável.
• Isso permite lidar com a dependência longitudinal e os tamanhos de amostra aleatórios sem violar os pressupostos de independência estrita necessários para teoremas de limite clássicos.
• O estimador de máxima verossimilhança condicional ($\hat{\theta}$) é derivado como uma transformação de martingale.

C. Propriedades Assintóticas

• Consistência e Normalidade Assintótica: Os autores provam que o estimador é consistente e assintoticamente normal.
• Teorema do Limite Central para Martingales: Devido à heterogeneidade nas variâncias (diferentes tempos de risco para cada empresa), o Teorema Central do Limite clássico (Lindeberg-Lévy) não se aplica diretamente. Em vez disso, utiliza-se um teorema de limite para martingales (baseado em Rebolledo), que é mais fraco e adequado para este contexto de dados truncados e censurados.
• Erro Padrão: Uma fórmula para o erro padrão assintótico é derivada, permitindo a construção de intervalos de confiança.

3. Contribuições Chave

1. Solução para Truncamento à Esquerda em Dados Discretos: O artigo oferece uma solução rigorosa para estimar parâmetros de vida útil em dados de painel onde empresas "mortas" antes do início do estudo são invisíveis, sem precisar especificar a distribuição de fundação das empresas (modelo semi-paramétrico).
2. Abordagem via Martingales: A demonstração de que a verossimilhança condicional pode ser escrita como uma função de um martingale e que o estimador é uma transformação de martingale facilita a prova de propriedades estatísticas (consistência e normalidade) em cenários complexos de dados longitudinais.
3. Fórmula Prática de Estimativa: Derivação de uma fórmula de estimativa de ponto e erro padrão que pode ser aplicada diretamente a dados de contagem, tratando empresas censuradas e não censuradas de forma unificada.
4. Validação Semi-Paramétrica: Demonstra que a inferência sobre a taxa de fechamento ($\theta$) não depende da especificação da distribuição do ano de fundação ($T$), desde que a fundação e a vida útil sejam independentes.

4. Resultados Empíricos

Os autores aplicaram o modelo aos dados do painel AFiD da Alemanha para os anos de 2018 e 2019, cobrindo empresas fundadas entre 2013 e 2017 (aproximadamente 1,4 milhão de empresas).

• Probabilidade de Fechamento ($\theta$): A estimativa pontual para a probabilidade anual de fechamento é de aproximadamente 0,1009 (ou 10,09%).
• Intervalo de Confiança: O intervalo de confiança de 95% para $\theta$ é [0,1005; 0,1013].
• Expectativa de Vida: A expectativa de vida das empresas alemãs estimada é de 10 anos.
• Precisão: O intervalo de confiança para a expectativa de vida é de [9,88; 9,95] anos, com uma largura de apenas dois meses, indicando alta precisão devido ao grande tamanho da amostra.
• Comparação Internacional: Os resultados foram comparados com estudos de outros países (Japão, Portugal, EUA, Paquistão). A Alemanha apresenta uma intensidade de fechamento intermediária, superior à do Japão (para coortes recentes) e inferior à do Paquistão e Portugal.

5. Significância e Conclusão

O artigo é significativo por fornecer uma ferramenta estatística robusta para a demografia empresarial em cenários de dados observacionais imperfeitos (truncados e censurados).

• Aplicabilidade: O método é particularmente útil para agências estatísticas e pesquisadores que analisam painéis de empresas onde o histórico completo desde a fundação não está disponível.
• Rigor Teórico: Ao utilizar a teoria de martingales, o trabalho supera as limitações de abordagens tradicionais que assumem amostras aleatórias simples ou ignoram a dependência longitudinal, fornecendo erros padrão válidos mesmo com tamanhos de amostra aleatórios.
• Previsão: O parâmetro estimado $\theta$ permite prever a sobrevivência de empresas que estão vivas no final do período de observação, contribuindo para o campo de previsão estatística.

Em suma, Scholz e Weißbach demonstram como modelar corretamente a "história esquecida" de empresas em painéis truncados, resultando em estimativas precisas e confiáveis para a longevidade empresarial na Alemanha.