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Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

Die Studie nutzt eine geometrische Verteilung und Martingal-basierte Schätzer, um unter Berücksichtigung von Links-Trunkierung und Rechts-Zensierung die Lebensdauer deutscher Unternehmen im AFiD-Paneldatensatz zu modellieren, wobei sich für die Jahre 2018 und 2019 eine mittlere Lebenserwartung von zehn Jahren ergibt.

Ursprüngliche Autoren: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Veröffentlicht 2026-03-16

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Das große Unternehmen-Spiel: Wie lange überleben Firmen wirklich?

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Detektiv, der herausfinden will, wie lange deutsche Unternehmen im Durchschnitt überleben. Sie haben einen riesigen Datenschatz: Die offiziellen Zahlen des Statistischen Bundesamtes (Destatis) für die Jahre 2018 und 2019.

Aber es gibt ein großes Problem bei Ihrer Spurensuche: Sie kommen zu spät.

Das Problem: Der "Linker Schnitt" (Left Truncation)

Stellen Sie sich vor, Sie betreten ein Theaterstück erst in der zweiten Hälfte.

Manche Schauspieler (Unternehmen) sind schon lange auf der Bühne, bevor Sie hereinkamen.
Manche haben das Theater schon verlassen, bevor Sie den Vorhang hochhoben.
Und manche spielen noch, als der Vorhang fällt (2019).

In der Statistik nennt man das linker Schnitt. Sie sehen nur die Firmen, die 2018 noch am Leben waren. Firmen, die 2015 schon pleite waren, sind für Sie unsichtbar. Wenn Sie einfach nur zählen, wer 2018 noch da war, würden Sie denken: "Wow, Firmen leben ewig!" – weil die kurzlebigen, die früh starben, gar nicht in Ihrer Liste stehen. Das wäre eine falsche Schlussfolgerung.

Die Lösung: Ein neues Zählverfahren

Die Autoren entwickeln eine Methode, die diese "unsichtbaren" frühen Tode clever ignoriert, aber trotzdem das richtige Ergebnis liefert.

Die Analogie des Wettspiels:
Stellen Sie sich vor, jedes Unternehmen spielt ein Glücksspiel.

Jedes Jahr würfelt es.
Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (nennen wir sie $\theta$ ) verliert es das Spiel und schließt.
Mit der Gegenwahrscheinlichkeit ( $1-\theta$ ) gewinnt es das Jahr und spielt im nächsten weiter.

Die Autoren nehmen an, dass diese Wahrscheinlichkeit, das Spiel zu verlieren, für jedes Jahr gleich ist. Sie ändert sich nicht, egal wie alt die Firma ist (ein junges Startup hat genauso viel Chance zu scheitern wie eine alteingesessene Firma – eine vereinfachende Annahme, die hier funktioniert).

Der Trick: Das "Vergessen"

Da Sie die Firmen erst ab 2018 sehen, müssen Sie die Jahre davor "vergessen".

Szenario A: Eine Firma wurde 2013 gegründet und starb 2015. Sie sehen sie nicht. Sie zählt für Ihre Statistik gar nicht.
Szenario B: Eine Firma wurde 2013 gegründet und lebt noch 2018. Sie sehen sie. Aber: Sie zählen nicht die Jahre 2013–2017 als "Risikozeit". Sie zählen nur die Zeit ab 2018, in der Sie sie tatsächlich beobachten konnten.

Das ist wie bei einem Marathon: Wenn Sie erst ab Kilometer 20 zuschauen, zählen Sie nicht die ersten 20 Kilometer als Laufzeit für die Läufer, die Sie sehen. Sie zählen nur, wie lange sie in Ihrer Sicht laufen, bevor sie erschöpft aufgeben.

Die Mathematik im Hintergrund (ohne Formeln)

Die Autoren nutzen ein mathematisches Werkzeug namens Martingal.

Vereinfacht gesagt: Ein Martingal ist wie ein fairer Spielstand. Wenn Sie wissen, was bisher passiert ist, ist die beste Vorhersage für den nächsten Schritt, dass nichts Unerwartetes passiert.
Die Autoren zeigen, dass ihre Zählweise der Firmensterblichkeit wie ein fairer Spielstand funktioniert. Das erlaubt ihnen, mit sehr strengen mathematischen Beweisen zu sagen: "Unsere Schätzung ist nicht nur ein Glückstreffer, sie ist statistisch gesichert."

Sie beweisen auch, dass ihre Methode funktioniert, selbst wenn die Firmen nicht alle gleichzeitig gegründet wurden (was in der Realität natürlich der Fall ist).

Das Ergebnis: Wie lange leben deutsche Firmen?

Nachdem sie ihre Methode auf 1,4 Millionen Firmen angewendet haben, kommen sie zu einem klaren Ergebnis:

Die durchschnittliche Lebenserwartung eines deutschen Unternehmens liegt bei 10 Jahren.
Die Schätzung ist so präzise, dass die Unsicherheit (der "Fehlerbereich") nur zwei Monate beträgt.

Das ist bemerkenswert genau. Es bedeutet: Wenn Sie heute eine Firma gründen, können Sie statistisch gesehen davon ausgehen, dass sie etwa ein Jahrzehnt überdauert, bevor sie schließt (aus welchem Grund auch immer).

Warum ist das wichtig?

Frühere Studien hatten oft Probleme mit diesen "unsichtbaren" Firmen oder verwendeten komplizierte Modelle. Diese Arbeit zeigt einen eleganten Weg:

Ignoriere die Zeit, bevor du die Firma gesehen hast.
Zähle nur die Zeit, in der du sie wirklich beobachten konntest.
Nutze die Mathematik der Martingale, um sicherzustellen, dass die Ergebnisse nicht durch Zufall verzerrt sind.

Fazit: Die Autoren haben einen cleveren mathematischen Trick gefunden, um aus unvollständigen Daten (weil man nicht alle Firmen von Anfang an kennt) eine extrem genaue Vorhersage über die Zukunft von Unternehmen zu machen. Es ist, als würde man aus dem, was man im Theater sieht, den gesamten Plot des Stücks rekonstruieren – und dabei genau wissen, wie lange die Charaktere noch auf der Bühne bleiben werden.

1. Problemstellung und Motivation

Das Ziel der Studie ist die Schätzung der Wahrscheinlichkeit $\theta$ , dass ein Unternehmen innerhalb eines Jahres schließt (durch Insolvenz oder andere Gründe), basierend auf Daten des deutschen Unternehmenspanels „AFiD" (Amtliche Firmendaten für Deutschland).

Die Analyse steht vor zwei wesentlichen statistischen Herausforderungen:

Links-Trunkierung (Left-Truncation): Die Daten stammen aus einem Panel, das erst ab dem Jahr 2018 Beobachtungen liefert. Unternehmen, die vor 2018 gegründet wurden, sind nur dann in der Stichprobe enthalten, wenn sie zu diesem Zeitpunkt noch existierten. Unternehmen, die vor 2018 bereits geschlossen hatten, sind nicht beobachtbar („verloren"). Die Lebensdauer $X$ ist also nur dann beobachtbar, wenn $X \ge T + 1$ gilt, wobei $T$ das Gründungsjahr (kodiert als Jahre vor Beobachtungsbeginn) ist.
Rechts-Zensierung (Right-Censoring): Unternehmen, die nach dem Ende des Beobachtungszeitraums (2019) noch aktiv sind, werden als rechts-zensiert behandelt.
Unabhängigkeit und Varianz: Da Unternehmen zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet wurden und unterschiedlich lange im Panel beobachtet werden, variieren die Stichprobengrößen und Varianzen pro Unternehmen. Dies erschwert die Anwendung klassischer Grenzwertsätze (wie Lindeberg-Lévy), die oft identische Verteilungen oder Varianzen voraussetzen.

Das Modell geht von einer geometrischen Verteilung für die Lebensdauer aus, was impliziert, dass die Schließungswahrscheinlichkeit $\theta$ altersunabhängig und zeitkonstant ist.

2. Methodik

Die Autoren entwickeln einen likelihood-basierten Ansatz, der auf der Theorie stochastischer Prozesse und Martingalen aufbaut.

A. Modellierung und Likelihood-Konstruktion

Geometrische Verteilung: Die Lebensdauer $X$ folgt einer geometrischen Verteilung $f_G(x) = \theta(1-\theta)^{x-1}$ .
Bedingte Likelihood: Um die Verzerrung durch die Links-Trunkierung zu vermeiden, wird die Likelihood-Funktion auf den Teil der Unternehmensgeschichte konditioniert, der nach dem Beobachtungsbeginn (bzw. ab dem Zeitpunkt $T+1$ ) liegt. Unternehmen, die vor Beobachtungsbeginn geschlossen haben ( $X \le T$ ), tragen mit einem Likelihood-Wert von 1 bei (da sie nicht in die Stichprobe gelangen).
Martingal-Transformation: Die Likelihood wird als Funktion eines Martingals formuliert.
- Es wird ein Zählprozess $N(x)$ definiert, der das Schließen des Unternehmens markiert.
- Durch die Bedingung auf die Beobachtbarkeit ( $X \ge T+1$ ) wird ein kompensierter Prozess $M = N - A$ konstruiert, wobei $A$ der Kompensator (die erwartete kumulative Hazard-Rate) ist.
- Der Schätzer $\hat{\theta}$ lässt sich als Martingal-Transformation darstellen.

B. Asymptotische Eigenschaften

Da die Stichprobengrößen (Beobachtungsdauer pro Unternehmen) zufällig und unterschiedlich sind, ist der klassische Grenzwertsatz für unabhängige, identisch verteilte (i.i.d.) Variablen nicht direkt anwendbar.

Die Autoren nutzen einen Martingal-Grenzwertsatz (basierend auf Rebolledo, 1980), der schwächere Bedingungen als der Lindeberg-Lévy-Satz stellt.
Es wird gezeigt, dass der Schätzer $\hat{\theta}_n$ konsistent ist und asymptotisch normalverteilt ist:
$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$
Die Varianz des Schätzers wird explizit hergeleitet und hängt von der Summe der beobachteten „Risikodauer" (Time at Risk) ab.

C. Behandlung der Zensierung

Für Unternehmen, die nach 2019 noch aktiv sind, wird die Rechts-Zensierung integriert. Der Zählprozess wird so modifiziert, dass er bei $T+2$ (Ende des Beobachtungszeitraums) stoppt, falls das Unternehmen noch nicht geschlossen ist. Dies führt zu einer angepassten Likelihood-Funktion, die sowohl Links-Trunkierung als auch Rechts-Zensierung korrekt berücksichtigt.

3. Key Contributions (Hauptbeiträge)

Martingal-Ansatz für diskrete, links-getrunkerte Daten: Die Arbeit bietet eine rigorose mathematische Herleitung für die Schätzung von Überlebenswahrscheinlichkeiten in diskreter Zeit unter Links-Trunkierung, indem sie den Likelihood-Ansatz mit der Martingal-Theorie verbindet.
Lösung des Varianz-Problems: Durch die Nutzung von Martingal-Grenzwertsätzen wird die asymptotische Normalität auch dann bewiesen, wenn die Beobachtungsdauern (und damit die Varianzen) zwischen den Unternehmen stark variieren. Dies löst das Problem der unterschiedlichen Stichprobengrößen in Paneldaten.
Bedingte Inferenz ohne Annahmen über die Gründungsverteilung: Der Ansatz ist semi-parametrisch bezüglich der Gründungsverteilung $T$ . Es wird keine spezifische Verteilung für die Gründungszeitpunkte angenommen; die Inferenz erfolgt durch Konditionierung auf die Beobachtbarkeit.
Praktische Formel für Standardfehler: Es wird eine geschlossene Formel für den Standardfehler und das Konfidenzintervall abgeleitet, die direkt auf den aggregierten Daten (Anzahl der Schließungen und Summe der beobachteten Risikojahre) basiert.

4. Ergebnisse

Die Methode wurde auf Daten des AFiD-Panels für die Jahre 2018 und 2019 angewendet, die Informationen zu ca. 1,4 Millionen deutschen Unternehmen umfassen (gegründet zwischen 2013 und 2017).

Schließungswahrscheinlichkeit ( $\theta$ ): Der geschätzte Wert beträgt $\hat{\theta} \approx 0,1009$ .
Lebenserwartung: Die mittlere Lebensdauer eines Unternehmens beträgt $1/\hat{\theta} \approx 9,9$ Jahre.
Präzision: Das 95%-Konfidenzintervall für die Lebenserwartung liegt bei [9,88; 9,95] Jahren. Die Breite des Intervalls beträgt nur etwa zwei Monate, was auf eine sehr hohe Präzision aufgrund der großen Stichprobengröße hinweist.
Vergleich: Die Ergebnisse werden mit Studien aus anderen Ländern (USA, Japan, Portugal, Pakistan) verglichen. Deutschland zeigt eine mittlere Überlebenszeit, die höher ist als in Portugal oder Pakistan, aber niedriger als in Japan (für ältere Kohorten).

5. Signifikanz und Fazit

Statistische Relevanz: Das Paper demonstriert, wie komplexe Probleme der Stichprobenauswahl (Links-Trunkierung) und ungleicher Beobachtungsdauern in der Unternehmensdemografie rigoros gelöst werden können, ohne auf Simulationen oder Bootstrap-Verfahren angewiesen zu sein. Die Herleitung des Standardfehlers über Martingale ist ein methodischer Durchbruch für solche Paneldaten.
Anwendbarkeit: Die Methode ist nicht auf die AFiD-Daten beschränkt, sondern allgemein anwendbar auf diskrete Überlebensdaten mit Links-Trunkierung und Rechts-Zensierung.
Vorhersagekraft: Der geschätzte Parameter $\theta$ erlaubt eine direkte Vorhersage der Überlebenswahrscheinlichkeit für Unternehmen, die am Ende des Beobachtungszeitraums noch aktiv sind.
Kritische Anmerkung: Die Autoren weisen darauf hin, dass die Annahme der Unabhängigkeit zwischen Unternehmen (Assumption A4) in der Realität verletzt sein könnte (z.B. durch konjunkturelle Schwankungen), was die Interpretation des Standardfehlers subtiler macht. Dennoch liefert der Ansatz unter den gegebenen Annahmen eine robuste Schätzung.

Zusammenfassend stellt die Arbeit einen wichtigen Beitrag zur statistischen Methodik im Bereich der Unternehmensdemografie dar, indem sie eine elegante Verbindung zwischen diskreter Zeit, Trunkierung und Martingal-Theorie herstellt, um präzise Schätzungen aus realen, unvollständigen Paneldaten zu gewinnen.