Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

1. Problématique et Contexte

L'objectif principal de l'étude est d'estimer la probabilité annuelle de fermeture (faillite ou autre raison) d'une entreprise allemande, en utilisant des données de panel démographiques. Les auteurs analysent les données du panel AFiD (« Amtliche Firmendaten für Deutschland ») fourni par l'Office fédéral de la statistique allemand (DESTATIS) pour les années 2018 et 2019.

Les défis statistiques majeurs identifiés sont :

• Troncature à gauche (Left-truncation) : Les entreprises incluses dans le panel ont été fondées avant le début de l'observation (avant 2018). Pour celles qui ont survécu jusqu'en 2018, leur durée de vie antérieure n'est pas observée. Les entreprises ayant fermé avant 2018 sont totalement absentes des données (non observées).
• Censure à droite (Right-censoring) : Les entreprises qui sont toujours actives à la fin de la période d'observation (après 2019) sont censurées à droite.
• Dépendance longitudinale : Pour une même entreprise, les années de survie successives ne sont pas indépendantes (une entreprise qui survit à l'année $t$ a nécessairement survécu à $t-1$).
• Taille d'échantillon aléatoire : Le nombre d'années d'observation varie selon l'année de fondation de l'entreprise, ce qui complique l'application des théorèmes limites classiques (comme le théorème central limite de Lindeberg-Lévy) en raison de variances différentes.
• Modélisation du temps : Les données étant annuelles, la durée de vie est modélisée comme une variable discrète (nombre d'années) plutôt que continue.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une approche basée sur la vraisemblance conditionnelle et la théorie des martingales pour traiter ces problèmes complexes.

A. Hypothèses du Modèle

• Distribution Géométrique : La durée de vie $X$ d'une entreprise est modélisée par une distribution géométrique de paramètre $\theta$ (probabilité de fermeture annuelle). Cela implique que la probabilité de fermeture est constante, indépendante de l'âge de l'entreprise et du temps.
• Indépendance : La fondation de l'entreprise (année $T$) et sa durée de vie ($X$) sont supposées indépendantes.
• Échantillonnage : Les données sont traitées comme un échantillon aléatoire simple (SRS) de la population sous-jacente, bien que l'observation soit tronquée.

B. Approche Théorique : Martingales et Filtration

Au lieu d'utiliser une approche de vraisemblance standard qui ignorerait la structure temporelle, les auteurs utilisent le cadre des processus stochastiques :

1. Processus de comptage : La durée de vie est représentée par un processus de comptage $N(x)$ qui indique si l'entreprise a fermé avant l'âge $x$.
2. Filtration et Troncature : Ils définissent une filtration (information disponible) qui commence à l'année de fondation $T$. Pour les entreprises observées, l'information antérieure à $T$ (avant 2018) est ignorée.
3. Compensateur et Martingale : Ils décomposent le processus de comptage observé en un « compensateur » (tendance déterministe liée à la probabilité $\theta$) et un bruit (martingale).
   • Le processus $M = N - A$ (où $A$ est le compensateur) est une martingale par rapport à la filtration observée.
   • Cette propriété permet de contourner la dépendance longitudinale : les incréments de la martingale ont une espérance conditionnelle nulle.
4. Vraisemblance Conditionnelle : La vraisemblance est construite en conditionnant sur l'observabilité de l'entreprise (c'est-à-dire que l'entreprise a survécu jusqu'à l'entrée dans le panel). Cela rend l'estimateur invariant par rapport à la distribution de l'année de fondation $T$ (modèle semi-paramétrique).

C. Estimation

L'estimateur du maximum de vraisemblance conditionnelle $\hat{\theta}$ est obtenu en maximisant la somme des log-vraisemblances conditionnelles.

• L'estimateur prend la forme d'un rapport : le nombre total de fermetures observées divisé par le temps total à risque (somme des durées observées, ajustée pour la censure).
• Grâce à la propriété de martingale, les auteurs démontrent la consistance et la normalité asymptotique de l'estimateur, même avec des tailles d'échantillons aléatoires et des variances hétérogènes, en utilisant un théorème limite de martingale (théorème de Rebolledo) plutôt que le théorème central limite classique.

3. Contributions Clés

1. Traitement rigoureux de la troncature à gauche discrète : L'article propose une méthode formelle pour ignorer la période de survie non observée avant l'entrée dans le panel sans biaiser l'estimation, en utilisant la conditionnalité sur l'observabilité.
2. Cadre à temps discret basé sur les martingales : Contrairement à la littérature dominante sur les modèles de survie à temps continu (décomposition de Doob-Meyer), les auteurs adaptent ces concepts au temps discret, ce qui est plus approprié pour les données statistiques annuelles.
3. Preuve de normalité asymptotique : Ils démontrent que l'estimateur est asymptotiquement normal malgré la dépendance longitudinale et la troncature, en prouvant que le processus d'estimation est une transformation de martingale.
4. Formule pratique de l'erreur standard : Ils dérivent une formule explicite pour l'erreur standard de l'estimateur, permettant le calcul d'intervalles de confiance fiables.

4. Résultats Empiriques

En appliquant la méthode aux données du panel AFiD (environ 1,4 million d'entreprises fondées entre 2013 et 2017) :

• Probabilité de fermeture ($\theta$) : Estimée à environ 0,1009 (soit environ 10,1 % par an).
• Espérance de vie : L'espérance de vie des entreprises allemandes est estimée à 10 ans.
• Précision : L'intervalle de confiance à 95 % pour l'espérance de vie est très étroit : [9,88 ; 9,95] ans. La largeur de l'intervalle de confiance est d'environ deux mois, ce qui démontre la grande précision obtenue grâce à la taille massive de l'échantillon et à l'efficacité de la méthode.
• Comparaisons internationales : Les résultats sont comparés à des études antérieures sur d'autres pays (Japon, Portugal, USA, Pakistan). La probabilité de fermeture en Allemagne se situe entre celle des pays à forte mortalité (comme le Pakistan) et celle des pays à faible mortalité (comme le Japon historique), avec une intensité de fermeture légèrement supérieure à celle du Portugal.

5. Signification et Conclusion

Cet article est significatif pour plusieurs raisons :

• Robustesse statistique : Il fournit une solution théoriquement solide aux biais d'échantillonnage courants dans les études de démographie des entreprises (notamment le biais de « temps immortel » ou immortal time bias si la troncature est ignorée).
• Applicabilité : La méthode est directement applicable aux grandes bases de données administratives annuelles, très courantes en Europe.
• Précision des prévisions : La capacité à estimer l'espérance de vie avec une marge d'erreur de seulement deux mois offre un outil puissant pour les décideurs politiques et les économistes.
• Extension future : Les auteurs notent que bien que l'hypothèse d'indépendance entre entreprises soit une simplification (les durées de vie se chevauchent), la méthode reste robuste. L'intégration d'une distribution paramétrique pour l'année de fondation pourrait réduire encore davantage l'erreur standard, mais la méthode semi-paramétrique actuelle est déjà très performante.

En résumé, Scholz et Weißbach réussissent à transformer un problème de données tronquées et censurées complexes en un problème de martingale élégant, permettant une estimation précise et robuste de la survie des entreprises en Allemagne.