📊 statistics

Left-truncated discrete lifespans: The AFiD enterprise panel

Dit artikel presenteert een model op basis van een geometrische verdeling om de levensduur van Duitse ondernemingen in het AFiD-panel te schatten, waarbij rekening wordt gehouden met links-afgeknotte en rechts-gecensureerde data via een martingaal-benadering, wat resulteert in een geschatte levensverwachting van tien jaar met een nauwkeurige betrouwbaarheidsinterval.

Oorspronkelijke auteurs: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Gepubliceerd 2026-03-16

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Eric Scholz, Rafael Weißbach

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Kern: Hoe lang blijven bedrijven bestaan?

Stel je voor dat je een enorme zaal binnenloopt met 1,4 miljoen bedrijven. Je wilt weten: "Hoe lang blijft een gemiddeld bedrijf nog open?" of anders gezegd: "Wat is de kans dat een bedrijf volgend jaar failliet gaat?"

De auteurs van dit paper (Eric Scholz en Rafael Weißbach) hebben een slimme manier bedacht om dit te berekenen, zelfs als je niet alle gegevens hebt. Ze gebruiken een wiskundig model dat lijkt op een gokspel.

1. Het Spel: "Overleven of Haken"

In hun model is elk jaar voor een bedrijf een nieuwe ronde van een spelletje.

Elk jaar is er een vaste kans dat het bedrijf stopt (bijvoorbeeld door faillissement).
Ze noemen dit een geometrische verdeling. Denk aan het gooien van een munt. Als je "kruis" gooit, blijft het bedrijf bestaan. Als je "kop" gooit, stopt het.
De grote vraag is: hoe vaak moet je de munt gooien voordat je "kop" krijgt? Dat is de levensduur van het bedrijf.

2. Het Probleem: De "Gaten" in de Geschiedenis

Hier wordt het lastig. De auteurs kijken naar een database (de AFiD-panel) die pas in 2018 begon met het bijhouden van gegevens.

Het linkse gat (Left Truncation): Bedrijven die al bestonden in 2018, hebben al een geschiedenis. Maar we weten niet hoe oud ze precies waren in 2018, en we weten niet hoe lang ze daarvoor al overleefden. Het is alsof je een film pas halverwege begint te kijken. Je ziet de acteurs, maar je weet niet hoe lang ze al op de set staan.
Het rechtse gat (Right Censoring): Bedrijven die in 2019 nog open waren, zijn in onze data "censuur" onderhevig. We weten niet of ze in 2020 of 2025 stoppen. Het is alsof je een film bekijkt die nog niet afgelopen is.

De oude fout: Veel mensen zouden denken: "Oh, we tellen alleen de bedrijven die we in 2018 zagen." Maar dat is gevaarlijk! Als je alleen kijkt naar de bedrijven die in 2018 nog leefden, negeer je de bedrijven die al in 2017 failliet waren gegaan. Je zou denken dat bedrijven onsterfelijk zijn, omdat je de "doden" niet ziet. Dit noemen ze de "onsterfelijke tijd-bias".

3. De Oplossing: De "Vergeten" Geschiedenis

De auteurs zeggen: "Laten we de geschiedenis voor 2018 gewoon vergeten."
In plaats van te proberen te raden hoe oud een bedrijf was toen het in 2018 binnenkwam, tellen we alleen de jaren die we daadwerkelijk hebben gezien.

Als een bedrijf in 2018 al 10 jaar oud was, tellen we die 10 jaar niet mee.
We tellen alleen de jaren vanaf 2018 tot het bedrijf sluit (of tot 2019 als het nog open is).
De analogie: Stel je voor dat je een marathon kijkt, maar je camera start pas op kilometer 20. Je telt niet de tijd die de lopers daarvoor hebben gelopen. Je telt alleen de tijd vanaf kilometer 20 tot ze de finish halen (of stoppen). Door dit consequent te doen voor alle lopers, krijg je een eerlijk beeld van hun snelheid, zonder dat je weet waar ze begonnen zijn.

4. De Wiskundige "Magie": Het Martingaal

Om te bewijzen dat hun methode werkt, gebruiken ze een complex wiskundig concept genaamd een martingaal.

De analogie: Stel je voor dat je een reeks gokspellen speelt. Een "martingaal" is een eerlijk spel waarbij je op de lange termijn niet wint of verliest, maar precies op de verwachte waarde uitkomt.
De auteurs tonen aan dat hun berekening van de faillissementskans werkt als een eerlijk spel. Zelfs als de data incompleet is (door de gaten in de tijd), blijft de "gemiddelde uitkomst" eerlijk en betrouwbaar. Ze gebruiken dit om te bewijzen dat hun schatting statistisch veilig is.

5. Het Resultaat: Hoe lang leven Duitse bedrijven?

Toen ze dit toepasten op de data van 1,4 miljoen Duitse bedrijven uit 2018 en 2019, kwamen ze tot een verrassend scherp antwoord:

De gemiddelde levensverwachting van een bedrijf is 10 jaar.
Het mooie aan hun methode is dat ze dit met enorme precisie weten. De "marge van fouten" (het betrouwbaarheidsinterval) is slechts twee maanden.
Dat betekent dat we met 95% zekerheid kunnen zeggen dat het gemiddelde leven ergens tussen de 9 jaar en 10 maanden en 10 jaar en 2 maanden ligt.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben een slimme wiskundige truc bedacht om de "dode" bedrijven (die we niet zagen) en de "levende" bedrijven (waarvan we de toekomst niet kennen) eerlijk mee te tellen, zodat we precies weten dat een gemiddeld Duits bedrijf ongeveer 10 jaar meegaat.

Waarom is dit belangrijk?
Voor overheden, banken en economen is dit cruciaal. Het helpt hen te begrijpen hoe gezond de economie is. Als bedrijven steeds sneller failliet gaan, is dat een teken van onrust. Deze methode geeft een zeer nauwkeurig thermometer-aflezing van de gezondheid van het bedrijfsleven, zonder dat ze hoeven te gokken over het verleden.

Titel: Linker-truncatie van discrete levensduren: De AFiD-ondernemingspanel

Auteurs: Eric Scholz & Rafael Weißbach (Universiteit Rostock)
Publicatiedatum: 19 november 2024 (arXiv:2411.12367v1)

1. Probleemstelling en Context

Het artikel richt zich op het schatten van de kans dat een onderneming binnen een jaar faalt (door insolventie of andere redenen), gebaseerd op paneldata van Duitse ondernemingen (het AFiD-panel van het Duitse Statistisch Bureau, DESTATIS).

De kernuitdagingen die de auteurs aanpakken zijn:

Linker-truncatie (Left-truncation): De data is collectief retrospectief. Ondernemingen die zijn opgericht vóór de start van de observatieperiode (2018) en al zijn gesloten, worden niet waargenomen. Alleen ondernemingen die op het moment van de eerste golf (2018) nog bestonden, zijn in de dataset. Dit creëert een selectiebias (immortal time bias) als er niet correct mee wordt omgegaan.
Discrete tijd: Ondernemingslevensduren worden jaarlijks gemeten (discrete tijd), niet continu.
Variabele starttijden: Ondernemingen zijn op verschillende tijdstippen opgericht, maar de observatie begint gelijktijdig voor allen.
Afhankelijkheid: Waarnemingen binnen dezelfde onderneming over de tijd zijn longitudinaal afhankelijk, wat de toepassing van standaard centrale limietstellingen (zoals Lindeberg-Lévy) bemoeilijkt.

Het doel is om een model te fitten dat de overlevingskans schat zonder een specifiek model voor de oprichtingsverdeling aan te nemen, en dit te doen met een gesloten vorm voor de schatter en de standaardfout.

2. Methodologie

Model en Aannames

Verdeling: De levensduur ( $X$ ) van een onderneming wordt gemodelleerd als een geometrische verdeling met parameter $\theta$ (de kans op sluiting per jaar). De auteurs nemen aan dat deze kans niet verandert met de leeftijd van de onderneming (geen "hazard rate" die van tijd afhankelijk is).
Onafhankelijkheid: Oprichtingstijd ( $T$ ) en levensduur ( $X$ ) worden als stochastisch onafhankelijk verondersteld.
Data: Gebruik van het AFiD-panel voor de jaren 2018 en 2019, met ondernemingen opgericht tussen 2013 en 2017.

Statistische Benadering

De auteurs ontwikkelen een voorwaardelijke maximum-likelihood schatter gebaseerd op martingaaltheorie:

Marginalisatie en Filtratie:
- In plaats van de volledige geschiedenis van een onderneming te modelleren (wat onmogelijk is voor linker-getruncateerde data), "vergeten" de auteurs de overlevingsexperimenten vóór de observatiestart.
- Ze definiëren een geobserveerde filtratie ( $\mathcal{F}_x$ ) die alleen informatie bevat vanaf het moment dat de onderneming in het panel verschijnt.
- Voor ondernemingen die al gesloten waren vóór 2018, is de bijdrage aan de likelihood gelijk aan 1 (ze dragen niets bij aan de teller of noemer van de schatter).
Martingaal Representatie:
- Het proces van het tellen van sluitingen wordt geanalyseerd als een telpuntproces.
- Door gebruik te maken van de Doob-decompositie, wordt het proces gesplitst in een voorspelbaar deel (compensator) en een ruisdeel (martingaal).
- De auteurs tonen aan dat de voorwaardelijke likelihood kan worden geschreven als een functie van een martingaal. De schatter voor $\theta$ kan worden uitgedrukt als een martingaaltransformatie.
Asymptotische Eigenschappen:
- Omdat de steekproefgrootte per onderneming willekeurig is en de data afhankelijk is, is de standaard centrale limietstelling niet direct toepasbaar.
- De auteurs gebruiken een martingaal limietstelling (gebaseerd op het werk van Rebolledo) om consistentie en asymptotische normaliteit van de schatter te bewijzen. Dit omzeilt de strenge vereisten van de Lindeberg-Lévy conditie.
Rechts-censering:
- Ondernemingen die na 2019 nog bestaan, worden als rechts-gecensureerd behandeld. De methode past de likelihood aan voor deze censureering.

3. Belangrijkste Bijdragen

Gesloten vorm schatter: Het artikel levert een analytische oplossing (gesloten vorm) voor de schatter van de sluitingskans en de bijbehorende standaardfout, specifiek voor linkerge-truncateerde discrete levensduren.
Martingaal-benadering voor paneldata: Het toont aan hoe martingaaltheorie kan worden gebruikt om asymptotische eigenschappen af te leiden in complexe paneldata-ontwerpen met willekeurige truncatie en longitudinale afhankelijkheid.
Semi-parametrische flexibiliteit: De methode vereist geen specificatie van de verdeling van de oprichtingsjaren ( $T$ ), wat het robuust maakt voor verschillende populaties.
Correctie voor "Immortal Time Bias": Door de likelihood te conditioneren op de waarneembaarheid, wordt de bias geëlimineerd die ontstaat door het negeren van de periode vóór de observatie.

4. Resultaten

De methode werd toegepast op data van ongeveer 1,4 miljoen Duitse ondernemingen (opgericht 2013-2017, waargenomen 2018-2019).

Geschatte sluitingskans ( $\hat{\theta}$ ): De geschatte jaarlijkse sluitingskans is ongeveer 0,1009 (binnen een betrouwbaarheidsinterval van [0,1005; 0,1013]).
Levensverwachting: De geschatte levensverwachting van een Duitse onderneming is 10 jaar.
Precisie: De breedte van het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de levensverwachting is slechts twee maanden (9,88 tot 9,95 jaar), wat wijst op een zeer hoge precisie door de grote steekproefgrootte.
Validatie: De resultaten werden vergeleken met eerdere studies (o.a. uit Duitsland, Japan, Portugal en de VS). De gevonden kwantielen (bijv. 19% kans op sluiting binnen 2 jaar) liggen dicht bij eerdere bevindingen, hoewel er verschillen zijn in de sluitingsintensiteit tussen landen.

5. Betekenis en Conclusie

Praktische Toepasbaarheid: De studie biedt een robuust statistisch kader voor het analyseren van bedrijfsdemografie in paneldata, waarbij veelvoorkomende valkuilen zoals linker-truncatie correct worden verwerkt.
Voorspellende Kracht: De parameter $\theta$ dient als een voorspeller voor de overleving van ondernemingen die op het einde van de observatieperiode nog actief zijn.
Statistische Innovatie: Het artikel demonstreert dat door gebruik te maken van martingaaltheorie en conditionering, complexe afhankelijkheidsstructuren in discrete tijd kunnen worden gemodelleerd zonder de noodzaak van zware parametrische aannames over de oprichtingsverdeling.
Toekomstperspectief: De auteurs merken op dat hoewel de huidige methode semi-parametrisch is, het gebruik van een parametrisch model voor de oprichtingsverdeling ( $T$ ) de standaardfout verder zou kunnen verkleinen, maar dat de huidige methode al zeer nauwkeurig is voor grote datasets.

Kortom, dit artikel levert een methodologisch sterk bewijs voor het schatten van ondernemingssterfte in de aanwezigheid van complexe data-selectieproblemen, met directe toepassing op het Duitse bedrijfsleven.