Quasiprobabilistic imaginary-time evolution on quantum computers

Sintesi Tecnica: Evoluzione nel Tempo Immaginario Quasiprobabilistica su Computer Quantistici

Problema
L'evoluzione nel tempo immaginario (ITE), definita dall'operatore $e^{-\beta H}$, è un primitivo fondamentale per il calcolo delle proprietà dello stato fondamentale e dell'equilibrio termico dei sistemi quantistici a molti corpi. Sebbene la simulazione classica dell'ITE sia spesso intrattabile a causa della crescita esponenziale dello spazio di Hilbert e del problema del segno, gli algoritmi quantistici esistenti affrontano barriere significative per l'implementazione nel breve termine. Molti approcci all'avanguardia, come quelli basati sul block-encoding, richiedono computer quantistici tolleranti ai guasti (fault-tolerant) con circuiti profondi e qubit ancillari, ponendoli al di fuori della portata degli attuali dispositivi a scala intermedia rumorosi (NISQ). Inoltre, l'hardware attuale è suscettibile al rumore, che degrada le prestazioni degli algoritmi quantistici standard. Esiste la necessità di algoritmi che possano eseguire l'ITE sull'hardware attuale senza richiedere la piena correzione degli errori, qubit ancillari o complesse operazioni controllate multi-qubit.

Metodologia
Gli autori propongono un nuovo algoritmo che implementa l'ITE su computer quantistici utilizzando la decomposizione in quasiprobabilità (QPD), ispirata alla tecnica di mitigazione dell'errore della Cancellazione Probabilistica dell'Errore (PEC). La metodologia centrale prevede i seguenti passaggi:

1. Decomposizione in Quasiprobabilità di Mappe Lineari: L'algoritmo tratta l'operatore ITE (e più generalmente, mappe lineari che preservano la traccia) come una combinazione lineare di operazioni native disponibili su un dispositivo quantistico. Nello specifico, una mappa target $T$ viene decomposta come $T(\rho) = \sum_i q_i B_i(\rho)$, dove $B_i$ sono gate nativi (inclusi operatori non trace-preserving come i proiettori) e $q_i$ sono coefficienti reali che possono essere negativi.
2. Campionamento e Post-elaborazione: La decomposizione viene convertita in un protocollo probabilistico. I coefficienti vengono normalizzati per formare una distribuzione di probabilità $p_i = |q_i|/\gamma$, dove $\gamma = \sum |q_i|$ è l'overhead di campionamento. L'algoritmo campiona probabilisticamente i circuiti nativi $B_i$ secondo $p_i$. Gli esiti delle misurazioni vengono post-elaborati classicamente, pesati dal segno dei coefficienti ($\text{sgn}(q_i)$) e dal fattore $\gamma$, per ricostruire i valori di aspettazione.
3. Gestione di Operazioni Non Trace-Preserving: Poiché l'ITE è non trace-preserving, l'algoritmo stima il valore di aspettazione riscalato $\langle A \rangle_{T(\rho)} = \text{tr}[A T(\rho)] / \text{tr}[T(\rho)]$. Ciò viene ottenuto stimando simultaneamente il numeratore e il denominatore utilizzando variabili indicatrici che tengono conto degli esiti di post-selezione (ad esempio, scartando le corse in cui un proiettore fallisce).
4. Trotterizzazione per Sistemi a Molti Corpi: Per applicare questo all'Hamiltoniana a $n$ qubit $H = \sum H_l$, gli autori utilizzano un'approssimazione Trotter-Suzuki del primo ordine per decomporre l'evoluzione globale in una sequenza di operazioni locali a $k$-qubit. La QPD è calcolata per ogni termine locale separatamente, evitando l'ottimizzazione classica intrattabile richiesta per la completa mappa a $n$-qubit.
5. Stati Thermal Pure Quantum (TPQ): Per stimare i valori di aspettazione termica, l'algoritmo prepara stati TPQ. Invece di uno stato Haar-random (difficile da preparare), il metodo applica un'unitaria di Clifford casuale (un 3-design) a uno stato di base computazionale prima di eseguire l'ITE. Ciò consente la stima delle proprietà dello stato di Gibbs utilizzando stati puri.

Contributi Chiave

• Nuovo Algoritmo per Dispositivi NISQ: Il documento introduce un algoritmo basato su QPD per l'ITE che non richiede qubit ancillari ed evita l'implementazione di complesse operazioni multi-qubit controllate tra i qubit di dati e quelli ancillari.
• Resilienza al Rumore: Utilizzando i gate rumorosi nativi del dispositivo come base per la QPD, l'algoritmo è intrinsecamente resiliente al rumore. Non richiede ulteriori livelli di mitigazione dell'errore oltre alla post-elaborazione della QPD stessa, a patto che il canale di rumore sia caratterizzato.
• Scalabilità tramite Decomposizione Locale: Gli autori dimostrano che combinando la QPD con la Trotterizzazione, il metodo scala verso Hamiltoniane locali (ad esempio, modelli di Heisenberg) richiedendo solo la decomposizione dei termini locali, rendendo il metodo computazionalmente fattibile per sistemi più grandi del limite dei pochi qubit.
• Dimostrazione Hardware: Il lavoro include una dimostrazione di principio su un processore quantistico superconduttore IBM (5-qubit ibm_manila) e ampie simulazioni classiche.

Risultati

• Modello di Heisenberg a 2 Qubit: Gli autori hanno simulato ed eseguito l'algoritmo sull'hardware per stimare l'energia dello stato fondamentale di un'Hamiltoniana di Heisenberg a 2 qubit. I risultati dell'hardware hanno mostrato accordo con i valori ideali di ITE, validando la resilienza al rumore dell'approccio. Gli autori hanno notato che le prestazioni degradano leggermente per passi di Trotter più elevati, probabilmente a causa del drift del rumore dipendente dal tempo che influenza l'accuratezza della caratterizzazione del rumore.
• Valori di Aspettazione Termica: Sono state eseguite simulazioni numeriche per Hamiltoniane di Heisenberg 1D su $n \in \{4, \dots, 8\}$ qubit. L'algoritmo ha preparato con successo stati TPQ e stimato i valori di aspettazione termica per osservabili di Pauli. I risultati hanno mostrato un buon accordo con i valori esatti di ITE, con l'errore nel valore di aspettazione che decade rapidamente all'aumentare del numero di qubit.
• Analisi del Costo di Campionamento: L'analisi teorica conferma che il costo di campionamento scala come $O(\gamma^2/\epsilon^2)$, dove $\gamma$ dipende dalla scelta della base QPD. Gli autori hanno dimostrato che l'uso di una base contenente gate di entanglement (ad esempio, la base di Takagi) riduce significamente $\gamma$ rispetto alle basi composte solo da operazioni a singolo qubit (ad esempio, la base EBL).

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene che questo approccio offre una via pratica per sondare la fisica dei sistemi quantistici a molti corpi sull'hardware attuale. Sfruttando le decomposizioni in quasiprobabilità, il metodo bypassa la necessità di tolleranza ai guasti e di qubit ancillari, che sono i principali colli di bottiglia per gli algoritmi esistenti di preparazione dello stato termico. Gli autori sottolineano che, sebbene il costo di campionamento possa essere elevato nel caso peggiore, il rapido decadimento degli errori dello stato TPQ con la dimensione del sistema rende il metodo particolarmente promettente per applicazioni near-term. Il lavoro si posiziona come un'aggiunta "amica del near-term" al toolkit quantistico, estendendo l'utilità delle tecniche di mitigazione dell'errore dalla correzione del rumore all'implementazione di processi fisici non unitari come l'evoluzione nel tempo immaginario. Gli autori notano con modestia che sono necessari ulteriori lavori per ottimizzare la scelta delle basi QPD per sistemi più grandi e per affinare i limiti di complessità per l'evoluzione Trotterizzata non trace-preserving.