Quasiprobabilistic imaginary-time evolution on quantum computers

Resumen Técnico: Evolución en el Tiempo Imaginario Cuasiprobabilística en Computadoras Cuánticas

Planteamiento del Problema
La evolución en el tiempo imaginario (ITE, por sus siglas en inglés), definida por el operador $e^{-\beta H}$, es un primitivo fundamental para computar las propiedades del estado fundamental y de equilibrio térmico de sistemas de muchos cuerpos cuánticos. Si bien la simulación clásica de la ITE suele ser intratable debido al crecimiento exponencial del espacio de Hilbert y al problema de la signatura (sign problem), los algoritmos cuánticos existentes enfrentan barreras significativas para su implementación en la era actual. Muchos enfoques de vanguardia, como aquellos basados en el codificación de bloques (block-encoding), requieren computadoras cuánticas tolerantes a fallos con circuitos profundos y qubits ancilla, lo que los sitúa fuera del alcance de los dispositivos actuales de escala intermedia con ruido (NISQ). Además, el hardware actual es susceptible al ruido, lo que degrada el rendimiento de los algoritmos cuánticos estándar. Existe la necesidad de algoritmos que puedan realizar ITE en el hardware actual sin requerir corrección de errores completa, qubits ancilla o operaciones controladas multiqubit complejas.

Metodología
Los autores proponen un nuevo algoritmo que implementa la ITE en computadoras cuánticas utilizando descomposiciones de cuasiprobabilidad (QPD), inspiradas en la técnica de mitigación de errores de la Cancelación de Errores Probabilística (PEC). La metodología central consiste en los siguientes pasos:

1. Descomposición de Cuasiprobabilidad de Mapas Lineales: El algoritmo trata el operador de ITE (y, más generalmente, los mapas lineales que preservan la hermiticidad) como una combinación lineal de operaciones nativas disponibles en un dispositivo cuántico. Específicamente, un mapa objetivo $T$ se descompone como $T(\rho) = \sum_i q_i B_i(\rho)$, donde $B_i$ son compuertas nativas (incluyendo operaciones que no preservan la traza, como proyectores) y $q_i$ son coeficientes reales que pueden ser negativos.
2. Muestreo y Post-procesamiento: La descomposición se convierte en un protocolo probabilístico. Los coeficientes se normalizan para formar una distribución de probabilidad $p_i = |q_i|/\gamma$, donde $\gamma = \sum |q_i|$ es la sobrecarga de muestreo. El algoritmo muestrea probabilísticamente circuitos nativos $B_i$ de acuerdo con $p_i$. Los resultados de la medición se procesan clásicamente mediante un post-procesamiento, ponderados por el signo de los coeficientes ($\text{sgn}(q_i)$) y el factor $\gamma$, para reconstruir los valores de expectativa.
3. Manejo de Operaciones que No Preservan la Traza: Dado que la ITE no preserva la traza, el algoritmo estima el valor de expectativa reescalado $\langle A \rangle_{T(\rho)} = \text{tr}[A T(\rho)] / \text{tr}[T(\rho)]$. Esto se logra estimando simultáneamente el numerador y el denominador utilizando variables indicadoras que dan cuenta de los resultados de la post-selección (por ejemplo, descartando ejecuciones donde un proyector falla).
4. Trotterización para Sistemas de Muchos Cuerpos: Para aplicar esto a un Hamiltoniano de $n$ qubits $H = \sum H_l$, los autores utilizan una aproximación de Trotter-Suzuki de primer orden para descomponer la evolución global en una secuencia de operaciones locales de $k$ qubits. La QPD se calcula para cada término local por separado, evitando la optimización clásica intratable requerida para el mapa completo de $n$ qubits.
5. Estados de Puro Térmico (TPQ): Para estimar valores de expectativa térmica, el algoritmo prepara estados TPQ. En lugar de un estado Haar-aleatorio (que es difícil de preparar), el método aplica una unidad de Clifford aleatoria (un 3-diseño) a un estado de la base computacional antes de realizar la ITE. Esto permite la estimación de las propiedades del estado de Gibbs utilizando estados puros.

Contribuciones Clave

• Nuevo Algoritmo para Dispositivos NISQ: El artículo introduce un algoritmo basado en QPD para ITE que no requiere qubits ancilla y evita la implementación de operaciones controladas multiqubit complejas entre los qubits de datos y los ancilla.
• Resiliencia al Ruido: Al utilizar las compuertas ruidosas nativas del dispositivo como la base para la QPD, el algoritmo es inherentemente resiliente al ruido. No requiere capas adicionales de mitigación de errores más allá del propio post-procesamiento de la QPD, siempre que el canal de ruido esté caracterizado.
• Escalabilidad mediante Descomposición Local: Los autores demuestran que, al combinar la QPD con la Trotterización, el método escala a Hamiltonianos locales (por ejemplo, modelos de Heisenberg) requiriendo únicamente la descomposición de términos locales, lo que hace que sea computacionalmente factible para sistemas más grandes que el límite de pocos qubits.
• Demostración de Hardware: El trabajo incluye una demostración de prueba de concepto en un procesador cuántico superconductor de IBM (5-qubit ibm_manila) y simulaciones clásicas extensas.

Resultados

• Modelo de Heisenberg de 2 Qubits: Los autores simularon y ejecutaron el algoritmo en hardware para estimar la energía del estado fundamental de un Hamiltoniano de Heisenberg de 2 qubits. Los resultados del hardware mostraron concordancia con los valores ideales de ITE, validando la resiliencia al ruido del enfoque. Los autores señalaron que el rendimiento se degradó ligeramente para pasos de Trotter más altos, probablemente debido a la deriva del ruido dependiente del tiempo que afecta la precisión de la caracterización del ruido.
• Valores de Expectativa Térmica: Se realizaron simulaciones numéricas para Hamiltonianos de Heisenberg 1D en $n \in \{4, \dots, 8\}$ qubits. El algoritmo preparó con éxito estados TPQ y estimó valores de expectativa térmica para observables de Pauli. Los resultados mostraron una buena concordancia con los valores exactos de ITE, y el error en el valor de expectativa decae rápidamente a medida que aumenta el número de qubits.
• Análisis del Costo de Muestreo: El análisis teórico confirma que el costo de muestreo escala como $O(\gamma^2/\epsilon^2)$, donde $\gamma$ depende de la elección de la base QPD. Los autores demostraron que el uso de una base que contenga compuertas de entrelazamiento (por ejemplo, la base Takagi) reduce significativamente $\gamma$ en comparación con las bases compuestas solo por operaciones de un solo qubit (por ejemplo, la base EBL).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que este enfoque ofrece una vía práctica para sondear la física de los sistemas cuánticos de muchos cuerpos en el hardware actual. Al aprovechar las descomposiciones de cuasiprobabilidad, el método evita la necesidad de tolerancia a fallos y de qubits ancilla, que son los principales cuellos de botella para los algoritmos actuales de preparación de estados térmicos. Los autores enfatizan que, si bien el costo de muestreo puede ser alto en el peor de los casos, la rápida caída de los errores del estado TPQ con el tamaño del sistema hace que el método sea particularmente prometedor para aplicaciones de corto plazo. El trabajo se posiciona como una adición "amigable para la era NISQ" al conjunto de herramientas cuánticas, extendiendo la utilidad de las técnicas de mitigación de errores desde la corrección de ruido hasta la implementación de procesos físicos no unitarios como la evolución en el tiempo imaginario. Los autores señalan modestamente que se necesita más trabajo para optimizar la elección de las bases QPD para sistemas más grandes y para refinar los límites de complejidad para la evolución de la traza no preservada mediante Trotterización.