Quasiprobabilistic imaginary-time evolution on quantum computers

기술 요약: 양자 컴퓨터를 이용한 준확률적 허수 시간 진화(Quasiprobabilistic Imaginary-Time Evolution)

문제 정의
연산자 $e^{-\beta H}$로 정의되는 허수 시간 진화(ITE)는 양자 다체계의 바닥 상태 및 열 평형 특성을 계산하기 위한 근본적인 프리미티브(primitive)이다. ITE의 고전적 시뮬레이션은 힐베르트 공간의 지수적 성장과 부호 문제(sign problem)로 인해 종종 실행 불가능한데, 기존의 양자 알고리즘들은 근사적인 구현에 있어 상당한 장벽에 직면해 있다. 블록 인코딩(block-encoding)에 기반한 많은 최첨단 접근 방식들은 결함 허용(fault-tolerant) 양자 컴퓨터와 깊은 회로, 그리고 보조 큐비트를 요구하며, 이는 현재의 노이즈가 있는 중규모 양자(NISQ) 장치의 범위를 벗어난다. 또한, 현재의 하드웨어는 노이즈에 취약하여 표준 양자 알고리즘의 성능을 저하시킨다. 따라서 완전한 오류 수정이나 보조 큐비트, 또는 복잡한 다중 큐비트 제어 연산을 요구하지 않고 현재의 하드웨어에서 ITE를 수행할 수 있는 알고리즘이 필요하다.

방법론
저자들은 **확률적 오류 제거(Probabilistic Error Cancellation, PEC)**의 오류 완화 기법에서 영감을 얻은 **준확률적 분해(Quasiprobability Decompositions, QPD)**를 사용하여 양자 컴퓨터에서 ITE를 구현하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 핵심 방법론은 다음 단계들을 포함한다:

1. 선형 사상의 준확률적 분해: 이 알고리즘은 ITE 연산자(및 더 일반적으로, 에르미트 보존 선형 사상)를 양자 장치에서 사용 가능한 고유 연산들의 선형 결합으로 취급한다. 구체적으로, 대상 사상 $T$는 $T(\rho) = \sum_i q_i B_i(\rho)$로 분해된다. 여기서 $B_i$는 고유 게이트(투영 연산자와 같은 비-트레이스 보존 연산 포함)이며, $q_i$는 음수일 수 있는 실수 계수이다.
2. 샘플링 및 후처리: 이 분해는 확률적 프로토콜로 변환된다. 계수들은 확률 분포 $p_i = |q_i|/\gamma$를 형성하도록 정규화되는데, 여기서 $\gamma = \sum |q_i|$는 샘플링 오버헤드이다. 알고리즘은 $p_i$에 따라 고유 회로 $B_i$를 확률적으로 샘플링한다. 측정 결과는 계수의 부호($\text{sgn}(q_i)$)와 인자 $\gamma$에 의해 가중치가 부여되어 고전적으로 후처리되며, 이를 통해 기댓값을 재구성한다.
3. 비-트레이스 보존 연산 처리: ITE는 비-트레이스 보존(non-trace-preserving)이므로, 알고리즘은 재스케일링된 기댓값 $\langle A \rangle_{T(\rho)} = \text{tr}[A T(\rho)] / \text{tr}[T(\rho)]$를 추정한다. 이는 포스트 셀렉션(post-selection) 결과(예: 투영 연산이 실패한 실행을 버리는 경우)를 고려하는 지표 변수를 사용하여 분자와 분모를 동시에 추정함으로써 달성된다.
4. 다체계를 위한 트로터화(Trotterization): $n$-큐비트 해밀토니안 $H = \sum H_l$에 이를 적용하기 위해, 저자들은 전역 진화를 국소적인 $k$-큐비트 연산들의 시퀀스로 분해하는 1차 트로터-스즈키(Trotter-Suzuki) 근사를 사용한다. QPD는 각 국소 항에 대해 개별적으로 계산되어, 전체 $n$-큐비트 사상에 필요한 난해한 고전적 최적화를 피한다.
5. 열 순수 양자(Thermal Pure Quantum, TPQ) 상태: 열 기댓값을 추정하기 위해 알고리즘은 TPQ 상태를 준비한다. 하르 무작위 상태(Haar-random state)를 준비하는 것은 어렵기 때문에, 이 방법은 ITE를 수행하기 전에 계산 기저 상태에 무작위 클리포드 유니터리(3-디자인)를 적용한다. 이를 통해 순수 상태를 사용하여 깁스 상태의 특성을 추정할 수 있다.

주요 기여

• NISQ 장치를 위한 새로운 알고리즘: 본 논문은 보조 큐비트가 필요 없고, 데이터와 보조 큐비트 사이의 복잡한 다중 큐비트 제어 연산 구현을 피하는 QPD 기반의 ITE 알고리즘을 소개한다.
• 노이즈 탄력성: 장치의 고유한 노이즈 게이트를 QPD의 기초로 활용함으로써, 이 알고리즘은 본질적으로 노이즈에 탄력적이다. 노이즈 채널이 특성화되어 있다면, QPD 후처리 과정 외에 추가적인 오류 완화 계층을 요구하지 않는다.
• 국소적 분해를 통한 확장성: 저자들은 QPD를 트로터화와 결합함으로써, 국소 항의 분해만을 요구하여 국소 해밀토니안(예: 하이젠베르크 모델)으로 확장할 수 있음을 입증하였으며, 이를 통해 몇 큐비트 제한보다 큰 시스템에 대해서도 계산 가능하게 만들었다.
• 하드웨어 시연: 본 연구는 IBM 초전도 양자 프로세서(5-큐비트 ibm_manila)를 이용한 개념 증명 시연과 광범한 고전적 시뮬레이션을 포함한다.

결과

• 2-큐비트 하이젠베르크 모델: 저자들은 2-큐비트 하이젠베르크 해밀토니안의 바닥 상태 에너지를 추정하기 위해 알고리즘을 시뮬레이션하고 하드웨어에서 실행하였다. 하드웨어 결과는 이상적인 ITE 값과 일치하였으며, 이는 접근 방식의 노이즈 탄력성을 검증한다. 저자들은 트로터 스텝이 높아질수록 성능이 약간 저하되는 것을 관찰하였는데, 이는 노이즈 특성화의 정확도에 영향을 미치는 시간 의존적 노이즈 드리프트 때문인 것으로 보인다.
• 열 기댓값: 1D 하이젠베르크 해밀토니안에 대해 $n \in \{4, \dots, 8\}$ 큐비트에 대한 수치 시뮬레이션을 수행하였다. 알고리즘은 성공적으로 TPQ 상태를 준비하고 파울리 관측량에 대한 열 기댓값을 추정하였다. 결과는 정확한 ITE 값과 잘 일치하였으며, 큐비트 수가 증가함에 따라 기댓값의 오차가 빠르게 감소함을 보여주었다.
• 샘플링 비용 분석: 이론적 분석을 통해 샘플링 비용이 $O(\gamma^2/\epsilon^2)$로 스케일링됨을 확인하였다. 여기서 $\gamma$는 QPD 기저의 선택에 따라 달라진다. 저자들은 얽힘 게이트를 포함하는 기저(예: Takagi 기저)를 사용하는 것이 단일 큐비트 연산으로만 구성된 기저(예: EBL 기로)에 비해 $\gamma$를 크게 줄인다는 것을 보여주었다.

의의 및 주장
본 논문은 이 접근 방식이 현재의 하드웨어에서 양자 다체계의 물리학을 탐구하기 위한 실질적인 경로를 제공한다고 주장한다. 큐아지프로바빌리티 분해를 활용함으로써, 이 방법은 결함 허용과 보조 큐비트라는 기존 열 상태 준비 알고리즘의 주요 병목 현상을 우회한다. 저자들은 샘플링 비용이 최악의 경우 높을 수 있지만, TPQ 상태의 오차가 시스템 크기에 따라 급격히 감소한다는 점이 이 방법을 근사 미래의 응용 분야에 매우 유망하게 만든다고 강조한다. 본 연구는 노이즈 교정을 넘어 허수 시간 진화와 같은 비-유니터리 물리 과정을 구현하기 위해 오류 완화 기술의 유용성을 확장하는, "근사 미래 친화적(near-term friendly)"인 툴킷의 추가로서 자리매김한다. 저자들은 더 큰 시스템을 위한 QPD 기저의 최적화와 트로터화된 비-트레이스 보존 진화에 대한 복잡도 경계의 정교화에 추가적인 연구가 필요함을 겸허히 언급하였다.