Lies We Can Trust: Quantifying Action Uncertainty with Inaccurate Stochastic Dynamics through Conformalized Nonholonomic Lie groups

技術要約：共形リー群作用予測集合 (CLAPS)

問題提起
確率的な環境で動作するロボットシステムは、将来の構成を予測するために不完全なダイナミクスモデルに依存している。これらの不正確さは、偶然的不確定性（外部からの乱れや車輪のスリップといった、削減不可能な確率性）と、認識的不確定性（モデルの簡略化、ドメインシフト、またはデータの不足）の両方に起因する。学習ベースの手法や従来の安全性重視のツールは存在するが、これらは厳密かつ分布に依存しない確率的保証を欠いていることが多い。従来のアプローチは、特定の誤差分布（例：ガウス分布）を仮定したり、較正されていない不確実性推定に依存したりすることが多く、これらは安全な制御には不十分である。さらに、既存の共形予測（Conformal Prediction, CP）手法は、ロボットの構成をユークリッドベクトルとして扱うことが一般的である。このアプローチは、$SE(2)$ や $SE(3)$ のような非ユークリッド構成空間を持つシステムに対しては最適ではなく、システムの固有の対称性や幾何学的構造を捉えきれず、過度に保守的で体積効率の低い予測領域をもたらす結果となる。

手法
著者らは、近似的なダイナミクスモデルの忠実度に関わらず、ユーザーが定義した確率 $(1-\alpha)$ で真のシステム構成を含むことが保証された予測集合を構築する、対称性を考慮したアルゴリズムである Conformal Lie-group Action Prediction Sets (CLAPS) を提案する。

1. 理論的枠組み: 本手法は、非ホロノミックな状態空間（State-Space, SS）ダイナミクスをリー群形式へと厳密に変換する。強制オイラー・ポアンカレ・スロッ（Euler-Poincaré-Suslov）方程式を利用することで、システムの構成は $(g, \xi) \in G \times \mathfrak{g}$ （ここで $G$ はリー群（例：$SE(2)$）、$\mathfrak{g}$ はそのリー代数）として表現される。これにより、システムの慣性と非ホロノミック拘束を尊重しつつ、拘束多様体に沿って不確実性を伝播させることが可能になる。
2. 対称性を考慮したスコアリング: 標準的なCPがユークリッド距離を使用するのに対し、CLAPSは指数写像による座標（リー代数）におけるマハラノビス距離に基づく非適合度スコアを定義する。スコア $r_1$ は、群の差を用いて、予測された構成 $\tilde{g}_1$ と真の構成 $g_1$ の間の不一致を測定する：
   $$r_1(g; \tilde{g}_1, \tilde{\Sigma}_1) = \sqrt{\log(\tilde{g}_1^{-1} g)^T \tilde{\Sigma}_1^{-1} \log(\tilde{g}_1^{-1} g)}$$
   ここで、$\tilde{\Sigma}_1$ はボディ固定フレームにおける推定不確実性共分散を表す。
3. 較正と保証: 状態遷移の較正データセットを用いて、アルゴリズムは共形スケーリング因子 $\zeta$ を計算する。この因子は、近似共分散をスケールして、リー代数における較正された領域を生成する。一連の定理を通じて、著者らは、キネマティクス写像と群の指数写像を介してこの較正された領域を構成空間 $Q$ へ写像することで、以下の性質を満たす集合 $C_q$ が得られることを証明している：
   $$P(q_1 \in C_q) \geq (1-\alpha)$$
   この保証は非漸近的であり、強いノイズ分布の仮定を必要とせずに、偶然的不確定性と認識的不確定性の両方に有効である。
4. ダウンストリームへの応用: 較正された集合は、構成が集合内にあるかどうかのチェックや、衝突回避のための構成空間（または作業空間）における集合の境界の再構成によって、安全な制御に使用できる。

主な貢献

1. 理論的明確化: 本論文は、非ホロノミック・ダイナミクスを状態空間からリー群形式へ変換するための、簡潔で自己完結的な説明を提供し、文献におけるギャップを埋めている。
2. アルゴリズム開発: $SE(2)$ において、状態およびアクションに依存する較正済み予測集合を構築するアルゴリズムであるCLAPSを導入した。これらの集合は、モデルの不正確さや確率的な乱れにもかかわらず、結果として生じる構成を確実に包含する。
3. 対称性を考慮した効率性: リーベースの対称性を尊重するスコア指標を導出することで、本手法は、同じ確率的被覆率を維持しながら、ユークリッド的なベースラインよりも小さい（体積効率の高い）予測領域を生成する。
4. 実証的検証: シミュレーション（Isaac Simを用いたJetBot）およびハードウェア実験（MBot）を通じて、既存の最先端のベースラインと比較して、優れた体積効率と表現品質を実証した。
5. オープンソース: 実環境およびシミュレーション環境の両方に対応した実装をオープンソースとして公開している。

結果
実験は、シミュレーション上のJetBot（625回の検証試行）および実機のMBot（4,511回の検証試行）を用いて行われた。

• 被覆率 (Coverage): 非較正の手法（SS EKF, InEKF）およびデータ駆動型のエスティメータ（InEKF+2M, InEKF+MLE）は、ユーザーが設定した90%の被覆率要件を満たせなかった。CLAPSを含むすべての共形予測手法は、要求された周辺被覆率（約90%）を達成した。
• 体積効率 (Volume Efficiency): CLAPSは、より効率的な予測領域を生成した。シミュレーションにおいて、CLAPSはすべての較正済み手法の中で最小の平均C-space体積（正規化比率 1.00）を達成し、モンテカルロ粒子とのワークスペースIntersection-over-Union (IoU) が最も高く（48.4%）、真の不確実性分布への適合性が高いことを示した。
• ハードウェア性能: MBotにおいて、CLAPSは、ユークリッドCPベースライン（SS EKF + CP）よりも平均で23%小さく、特定のケースでは最大75%小さい領域を生成したが、それでも90%の被覆保証を満たしていた。
• 計算コスト: オンラインの予測ステップは計算効率が高く（アクションあたり0.02秒）、オフラインの較正も迅速である（0.14秒）。

意義と主張
本論文は、CLAPSが非ユークリッドなロボットシステムにおける不確実性定量化のための、厳密かつ分布に依存しないフレームワークを提供すると主張している。リー群の幾何学的構造を活用することで、本手法はロボットの構成を単純なユークリッド点として扱うことの限界を克服している。著者らは、これが「より体積効率の高い予測領域」をもたらすと断言しており、それは既存のアプローチよりも基礎となる不確実性をより良く表現している。この改善は、安全な計画や制御といったダウンストリームのタスクにとって重要である。なぜなら、よりタイトな予測領域により、安全性の保証を損なうことなく、より多くの確率的に安全なアクションを選択できる可能性が高まり、タスクの速度や性能を向上させることができるからである。本研究は、共形予測の保証を、ユークリッド空間から$SE(2)$における構成を持つロボットへと拡張し、非ホロノミックで確率的なロボットシステムに統計的な安全性保証を適用する際の重要なギャップを埋めるものである。