Disorder induced time crystal in athermal random field Ising model with non-reciprocal interactions

すべてが完璧にバランスが取れた、例えば、決して揺れることのない独楽（こま）や、絶対的で不変の精密さで刻み続ける時計のような世界を想像してみてください。物理学において、これは平衡状態と呼ばれる領域であり、そこではシステムは落ち着き、変化を停止します。しかし、現実の宇宙は乱雑で、ノイズに満ち、エネルギーに溢れています。賑やかな街の通りや、昼食時の学校の食堂を思い浮かべてください。そこでは物事が絶えず動き、押し合い、反応しています。これは「非平衡」物理学の世界です。通常、心臓の鼓動やホタルの点滅のような、興味深くリズムのある動きをシステムにさせるには、ブランコを叩く親の手や、ライトに電力を供給する電池のような、外部からの押し出しが必要です。

しかし、科学者たちは最近、「タイムクリスタル（時間結晶）」と呼ばれる奇妙なものを発見しました。それは、単に時間を告げるだけでなく、たとえ押し続けなくても、完璧なループの中で永遠に動き続ける時計を想像してみてください。それは、物事が最終的に静止すべきであるというルールを打ち破っています。初期のバージョンのタイムクリスタルは、機能するために特別なリズムを持った外部からの押し出しを必要としていましたが、新たな問いが浮上しました。すなわち、外部からの助けなしに、混沌、ランダムさ、そして一方向的な相互作用が奇妙な形で絡み合うことによって、システムは自ら無限のリズムを生み出すことができるのだろうか？ という問いです。この論文は、伝統的なエネルギー保存則が適用されない「非熱的（athermal）」な状態で動作する、微小な磁性粒子の世界において、いかにして混沌、ランダムさ、そして一方向的な相互作用が、自立的なリズムを生み出すために結託できるかという問いを探求し、その答えを追求しています。

研究者の Aldrin B E と Sumedha は、このアイデアをテストするためのデジタルな遊び場を作るべく、実験を行いました。彼らは、「チームA」と「チームB」と呼ぶ、2種類の小さな磁石を用いたモデルを作成しました。これらのチームは、グリッド上の地点に住んでいると想像してください。各磁石は、上を向くか下を向くかのいずれかです。通常、磁石は隣人と一致したがるものです。もし一方が上を向いていれば、その隣人も上を向きたがります。しかし、この実験では、ルールが捻じ曲げられています。チームAとチームBには、奇妙な一方向の関係があります。チームAはチームBを模倣しようとしますが、チームBはチームAの「反対」を積極的に取ろうとします。それは、追いかける側（A）は常に走者（B）と同じでありたいと願う一方で、走者（B）は常に異なっていようと決意している、というタグゲームのようなものです。この「非相反的（non-reciprocal）」な相互作用が、組み込まれたフラストレーション、つまり決して落ち着くことのない絶え間ない緊張を生み出します。

さらに混沌としたものにするために、科学者たちは「ランダムさ」の層を加えました。すべての地点に、目に見えない微風が吹いており、磁石をランダムな方向に押し動かしていると想像してください。ある地点では穏やかな微風が、別の地点では強風が吹いています。これは「クエンチされた無秩序（quenched disorder）」と呼ばれます。つまり、風はその場に凍りついており、時間の経過とともに変化することはありませんが、地点ごとに異なっています。研究者たちは、磁石がどのように振る舞うかを調べるために、「グリーディ・グラウバー動力学（greedy Glauber dynamics）」と呼ばれる特定のルールを用いました。これは、磁石が方向を反転させるのは、それが状況を即座に改善する場合（エネルギーが低くなる場合）、あるいは完全に引き分けの場合にコイン投げを行うときだけである、というルールだと考えてください。これは常に快適な場所を見つけようとしているものの、ランダムな風と奇妙なタグゲームによって絶えず翻弄されているシステムなのです。

彼らが「完全グラフ（complete graph）」、つまり、すべての磁石が他のすべての磁石とつながっている、巨大で完璧なウェブのような構造の上でシミュレーションを実行したとき、驚くべきことが判明しました。チームAとチームBの平均的な方向が、ある種の相（フェーズ）に入ったのです。それは「カオス的時系列振動相（chaotic time-oscillatory phase）」です。この相では、チームAとチームBの平均的な方向が、ループの中で踊り始めました。彼らは同期したリズムで上下に反転し、決して止まることのないダンスを繰り広げました。それは、時計のような完璧で繰り返されるパターンではなく、永遠に続くジャズのドラムソロのように、少し荒々しく予測不可能なものでした。著者らは、このシステムが外部からの駆動力を必要とせず、内部の混沌だけでこれらの振動を維持しているため、これを「タイムクリスタル」と呼んでいます。

この研究は、繊細なバランスを明らかにしました。もしランダムな風が弱すぎれば、磁石はただ穏やかで秩序ある状態に落ち着いてしまいます。もし風が強すぎれば、混沌があまりに大きいため、すべてがパターンなくランなるに過ぎません。しかし、中間レベル、つまり風がちょうど良く、かつタグゲームが十分に強力であった場合、システムは「スイートスポット」を見出しました。ここでは、一方向的な相互作用によるフラストレーションと、ランダムな無秩序による押し出しが合わさり、安定した終わりのないダンスを生み出しました。研究者たちは、「自己相関時間（autocorrelation time）」と呼ばれるものを用いて、これらのパターンがどの程度持続するかを測定しました。彼らの巨大なウェブモデルにおいて、この時間は磁石の数を増やすにつれて大きくなり、そのリズムが堅牢であり、非常に長い時間持続できることを示唆していました。

しかし、物語は異なる形状で見たときに変わります。研究者たちはまた、このシステムを3Dグリッド（磁石の立方体）および2Dグリッド（平らなシート）でもシミュレートしました。3Dの立方体では、同じタイムクリスタルの挙動が見られました。磁石は踊り続け、立方体が大きくなるにつれてリズムは強まり、より長く持続しました。しかし、著者らは、現在の数値的な結果はタイム・クアジクリスタル（準結晶）を強く示唆しているものの、この相を決定的に確認するには、さらに大きなシステムサイズを研究する必要があると注記しています。ところが、平らな2Dシートで試みたところ、魔法は消えてしまいました。自己相関時間はシートのサイズとともに成長することを止め、終わりのないダンスは消え去りました。システムは2次元ではタイムクリスタルを維持することができなかったのです。

この論文は、タイムクリスタルを作るために電池や外部の時計は必要ない、と結論づけています。必要なのは、「フラストレートされた」一方向的な相互作用と、ランダムな無秩序の適切な混合です。この発見は、自然界には、たとえ技術的に「非平衡」で乱雑なシステムであっても、物事を動かし続け、リズムを生み出し続けるための方法が、私たちの考えている以上に多く存在する可能性を示唆しています。結果はコンピュータ・シミュレーションと数学的モデルに基づいたものですが、これらは、無秩序と非相反的な相互作用だけで、自らの鼓動を永遠に刻み続ける新しい物質の相を生み出すのに十分であるという強力な証拠を提供しています。