State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

기술 요약: 보험 요율 산정을 위한 음이항 INGARCH 모델의 상태-공간 표현

1. 문제 제기

본 논문은 특히 재산 및 손해보험 (P&C) 에 적용될 때 정수값 일반화 자기회귀 조건부 이분산 (INGARCH) 모델이 가진 특정 한계를 다룹니다. INGARCH 모델은 처리 가능한 가능도 (tractable likelihood) 와 아핀 (affine) 재귀 구조로 인해 계수 시계열의 순차적 종속성을 모델링하는 데 인기가 있지만, 보험 맥락에서는 두 가지 주요 도전에 직면합니다:

1. 공변량의 통합: 표준 INGARCH 공식은 조건부 평균을 과거 관측치와 과거 조건부 평균의 선형 결합으로 정의합니다. (보험계약자 이질성을 포착하기 위한) 외생적 공변량을 도입하는 것은 조건부 평균이 엄격하게 양수여야 한다는 제약 때문에 어렵습니다. 선형 공변량 항을 추가하려면 계수와 회귀변수에 대한 제한적인 비음수 (non-negativity) 제약이 필요하며, 로그 링크 (log-link) 대안은 아핀 구조와 이에 수반되는 신용도 (credibility) 해석을 방해합니다.
2. 정상성 vs. 이질성: 보험 패널은 일반적으로 짧은 시계열 (예: $\le 10$ 기간) 과 시간에 따라 변하는 보험계약자 특성을 특징으로 합니다. 공변량으로 인해 관측치의 규모가 체계적으로 변화할 때, 관측된 계수 과정에 대한 표준 정상성 가정은 부적절합니다. 그러나 요율 산정을 위해서는 적절한 정상성 개념이 필수적입니다. 고전적인 INGARCH 에서 조건부 평균은 시간적 진화를 지배하고 관측 규모를 결정하는 이중 역할을 하므로, 잠재 수준에서 정상성을 정의하기 위해 이러한 역학을 분리하기가 어렵습니다.

2. 방법론

저자들은 보험 요율 산정을 위한 이질적 음이항 INGARCH(1,1) 모델을 제안합니다. 핵심 방법론적 혁신은 예측 평균을 시간에 따라 변하는 사전 (a priori) 요율 ($\lambda_t$) 과 기준 조건부 평균 ($M_{t|t-1}$) 으로 분해하는 데 있습니다.

주요 방법론적 단계:

• 모델 분해: 기대 청구 건수는 $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$로 정의됩니다.
  • $\lambda_t$: 외생적 공변량을 통해 시간에 따라 변하는 이질성을 포착합니다 (예: $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$).
  • $M_{t|t-1}$: 아핀 INGARCH(1,1) 재귀 ($M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$) 를 따르며, 잠재 위험 상태의 역학을 유지합니다.
• 상태-공간 동등성 (M-SSM): 저자들은 제안된 이질적 NB-INGARCH 모델이 다음과 같은 **변량 상태-공간 모델 (Marginalized State-Space Model, M-SSM)**과 동등함을 입증합니다.
  • 관측 방정식: $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$.
  • 변량 진화: $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$.
  • 여기서 $\Theta_t$는 잠재 위험 상태를 나타냅니다. 이 동등성은 모델이 관측 계층을 통해 시간에 따른 이질성을 자연스럽게 처리하면서도 잠재 상태 역학을 통해 순차적 종속성을 모델링할 수 있게 합니다.
• 리프팅을 통한 약정상성: 중요한 이론적 기여는 M-SSM 이 조건부 변량 분포만을 지정하여 잠재 과정의 공분산 구조를 정의하지 않는다는 사실을 해결하는 것입니다.
  • 저자들은 특정 매개변수 제한 (특히 진화 매개변수 $\Delta_t$와 $q_t$와 관련된 제한) 하에서 M-SSM 을 완전한 **선형 상태-공간 모델 (LSSM)**로 "리프팅 (lift)"할 수 있음을 보여줍니다.
  • 이 LSSM 리프팅에서 잠재 상태 $\Theta_t$는 선형 조건부 평균 진화를 만족합니다: $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$.
  • 핵심적으로, 저자들은 전체 결합 진화 (즉, "리프팅") 는 유일하지 않지만, 잠재 과정의 공분산 구조는 M-SSM 사양에 의해 유일하게 결정됨을 증명합니다. 따라서 $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$인 경우, 관측치에 시간에 따른 이질성이 존재하더라도 잠재 상태 과정은 **약정상성 (weakly stationary)**입니다.

3. 주요 기여

1. 이질적 NB-INGARCH 공식: 본 논문은 신용도 해석에 필요한 아핀 구조를 위반하지 않으면서 시간에 따라 변하는 공변량 (이질성) 을 INGARCH 프레임워크에 성공적으로 통합하는 모델을 도입합니다.
2. M-SSM 표현: 이질적 NB-INGARCH 모델과 포아송 - 감마 M-SSM 간의 동등성을 확립하여, 공변량이 관측 규모에 영향을 주고 역학이 잠재 상태에 영향을 미치는 통합된 프레임워크를 제공합니다.
3. 정상성 문제의 해결: 본 논문은 잠재 상태 과정 수준에서 약정상성을 공식화함으로써 시간에 따른 이질성과 정상성 간의 갈등을 해결합니다. 이 잠재 과정의 공분산 구조가 모든 호환 가능한 LSSM 리프팅에서 잘 정의되고 유일함을 증명하여, 짧은 패널 보험 데이터에서 약정상성 가정을 사용하는 것을 정당화합니다.
4. 결측 데이터 처리: 상태-공간 공식은 사전 요율 $\lambda_t = 0$으로 설정함으로써 결측 데이터 (예: 노출 기간이 0 인 경우) 를 원칙적으로 처리할 수 있게 합니다. 이는 관측치를 0 에서 퇴화시킴으로써 필터링 단계를 건너뛰고 진화 방정식을 통해 불확실성만 전파할 수 있게 하여, 가능도 계산에 수치적 적분이 필요하지 않게 합니다.

4. 결과

본 논문은 2006 년부터 2010 년까지 1,016 개 실체를 대상으로 한 위스콘신 지방 정부 재산 보험 기금 (LGPIF) 의 실제 P&C 보험 데이터를 사용하여 모델을 검증했으며, 2011 년 데이터를 홀드아웃 테스트 세트로 사용했습니다.

• 비교 성능: 제안된 이질적 NB-INGARCH 모델은 정상 포아송 - AR(1) 상태-공간 모델과 포아송 - 감마 랜덤 효과 모델과 비교되었습니다.
  • 로그 가능도: 제안된 모델은 가장 높은 표본 외 로그 가능도 (-176.94) 를 달성하여 포아송 - AR(1) (-177.90) 과 랜덤 효과 모델 (-179.02) 보다 우수했습니다.
  • MSE: 포아송 - AR(1) 모델이 가장 낮은 평균 제곱 오차 (0.184, 제안된 모델은 0.193) 를 보였으나, 차이는 미미했습니다.
• 매개변수 추정: 추정된 지속성 매개변수 $\hat{\Delta} \approx 0.925$ (1 미만) 는 데이터가 순수한 랜덤 효과 구조 ($\Delta=1$) 를 넘어선 동적 업데이트를 지지함을 나타내며, INGARCH 역학의 필요성을 확인시켜 줍니다.
• 계산 효율성: 잠재 상태에 대한 수치적 적분 또는 필터링이 필요한 포아송 - AR(1) 모델과 달리, 제안된 NB-INGARCH 모델은 폐형 음이항 예측 분포를 제공합니다. 이는 더 간단하고 빠른 추정 절차를 가능하게 합니다.

5. 중요성과 주장

본 논문은 보험 응용 분야에서 INGARCH 모델과 상태-공간 모델 (SSM) 간의 간극을 해소하는 데 주요한 중요성이 있다고 주장합니다.

• 해석 가능성: 관측 규모 (이질성) 와 잠재 역학을 분리함으로써, 모델은 보험계리학적 신용도 이론과 부합하는 더 명확한 위험 진화 해석을 제공합니다.
• 실용적 적용성: 이 프레임워크는 보험 데이터의 제약 (짧은 시계열, 공변량의 필요성, 시간에 따라 변하는 보험계약자 특성을 수용할 수 있는 정상성 개념의 필요성) 에 맞게 특별히 설계되었습니다.
• 이론적 정당성: 본 논문은 이질적 환경에서 잠재 상태에 대한 약정상성 가정을 사용하는 것을 정당화하기 위해 필요한 이론적 기반 (LSSM 리프팅의 고유한 공분산 구조를 통해) 을 제공하며, 이는 기존 표준 INGARCH 공식에서는 이전까지 조화시키기 어려웠던 특징입니다.

저자들은 향후 연구가 이러한 결과를 더 넓은 INGARCH 클래스로 확장할 수 있겠지만, 제안된 프레임워크는 P&C 요율 산정에서 예측 분석을 위한 강력하고 계산 효율적이며 이론적으로 건전한 도구를 제공한다고 결론지었습니다.