State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

Resumen Técnico: Representaciones de Espacio de Estados de Modelos INGARCH de Binomial Negativa para la Tarificación de Seguros

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda limitaciones específicas de los modelos de Heterocedasticidad Condicional Autoregresiva Generalizada de Valores Enteros (INGARCH) cuando se aplican a la tarificación de seguros, particularmente para seguros de daños y accidentes (P&C). Aunque los modelos INGARCH son populares para modelar la dependencia serial en series temporales de conteo debido a su verosimilitud manejable y su recursión afín, enfrentan dos desafíos principales en contextos de seguros:

1. Incorporación de Covariables: Las formulaciones estándar de INGARCH definen la media condicional como una combinación lineal de observaciones pasadas y medias condicionales pasadas. Introducir covariables exógenas (para capturar la heterogeneidad del asegurado) es difícil porque la media condicional debe mantenerse estrictamente positiva. Añadir términos lineales de covariables requiere restricciones no negativas restrictivas sobre los coeficientes y regresores, mientras que las alternativas con enlace logarítmico alteran la estructura afín y la interpretación de credibilidad asociada.
2. Estacionariedad vs. Heterogeneidad: Los paneles de seguros suelen presentar series temporales cortas (por ejemplo, $\le 10$ periodos) y características del asegurado que varían en el tiempo. Las suposiciones de estacionariedad estándar para el proceso de conteo observado son inapropiadas cuando la escala de las observaciones cambia sistemáticamente con el tiempo debido a las covariables. Sin embargo, una noción adecuada de estacionariedad es esencial para la tarificación. En el INGARCH clásico, la media condicional cumple un doble papel: gobierna la evolución temporal y determina la escala de la observación, lo que dificulta separar estas dinámicas para definir la estacionariedad a un nivel latente.

2. Metodología

Los autores proponen un Modelo INGARCH(1,1) de Binomial Negativa Heterogéneo para la tarificación de seguros. La innovación metodológica central es la descomposición de la media predictiva en una tasa a priori que varía en el tiempo ($\lambda_t$) y una media condicional de referencia ($M_{t|t-1}$).

Pasos Metodológicos Clave:

• Descomposición del Modelo: El número esperado de siniestros se define como $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$.
  • $\lambda_t$: Captura la heterogeneidad que varía en el tiempo mediante covariables exógenas (por ejemplo, $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$).
  • $M_{t|t-1}$: Sigue una recursión INGARCH(1,1) afín ($M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$), preservando las dinámicas del estado de riesgo subyacente.
• Equivalencia de Espacio de Estados (M-SSM): Los autores demuestran que el modelo INGARCH de Binomial Negativa Heterogéneo propuesto es equivalente a un Modelo de Espacio de Estados Marginalizado (M-SSM) con:
  • Ecuación de Observación: $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$.
  • Evolución Marginal: $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$.
  • Aquí, $\Theta_t$ representa el estado de riesgo latente. La equivalencia permite que el modelo maneje la heterogeneidad que varía en el tiempo de manera natural a través de la capa de observación, mientras modela la dependencia serial a través de las dinámicas del estado latente.
• Estacionariedad Débil mediante Elevación: Una contribución teórica crítica aborda el hecho de que los M-SSM especifican solo distribuciones marginales condicionales, dejando la estructura de covarianza del proceso latente indefinida.
  • Los autores muestran que bajo restricciones específicas de parámetros (específicamente relacionadas con los parámetros de evolución $\Delta_t$ y $q_t$), el M-SSM puede ser "elevado" a un Modelo de Espacio de Estados Lineal (LSSM) completo.
  • En esta elevación LSSM, el estado latente $\Theta_t$ satisface una evolución de media condicional lineal: $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$.
  • Crucialmente, los autores demuestran que, aunque la evolución conjunta completa (la "elevación") no es única, la estructura de covarianza del proceso latente está determinada de manera única por la especificación del M-SSM. En consecuencia, si $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$, el proceso de estado latente es débilmente estacionario, incluso en presencia de heterogeneidad que varía en el tiempo en las observaciones.

3. Contribuciones Clave

1. Formulación INGARCH de Binomial Negativa Heterogénea: El artículo introduce un modelo que integra con éxito covariables que varían en el tiempo (heterogeneidad) en el marco INGARCH sin violar la estructura afín requerida para las interpretaciones de credibilidad.
2. Representación M-SSM: Establece una equivalencia entre el modelo INGARCH de Binomial Negativa Heterogéneo y un M-SSM Poisson-Gamma, proporcionando un marco unificado donde las covariables afectan la escala de observación y las dinámicas afectan el estado latente.
3. Resolución de Problemas de Estacionariedad: El artículo resuelve el conflicto entre la heterogeneidad que varía en el tiempo y la estacionariedad formulando la estacionariedad débil a nivel del proceso de estado latente. Demuestra que la estructura de covarianza de este proceso latente está bien definida y es única en todas las elevaciones LSSM compatibles, justificando el uso de suposiciones de estacionariedad débil en datos de seguros de paneles cortos.
4. Manejo de Datos Faltantes: La formulación de espacio de estados permite un tratamiento riguroso de los datos faltantes (por ejemplo, periodos de exposición cero) estableciendo la tasa a priori $\lambda_t = 0$. Esto hace que la observación sea degenerada en cero, permitiendo que el modelo omita el paso de filtrado y propague la incertidumbre únicamente a través de la ecuación de evolución, evitando la necesidad de integración numérica en la verosimilitud.

4. Resultados

El artículo valida el modelo utilizando datos reales de seguros de daños y accidentes del Fondo de Seguros de Propiedad para el Gobierno Local de Wisconsin (LGPIF), que cubre 1.016 entidades desde 2006 hasta 2010, con un conjunto de prueba de retención de 2011.

• Rendimiento Comparativo: El modelo INGARCH de Binomial Negativa Heterogéneo propuesto se comparó con un modelo de espacio de estados Poisson-AR(1) estacionario y un modelo de efectos aleatorios Poisson-Gamma.
  • Verosimilitud Logarítmica: El modelo propuesto logró la mayor verosimilitud logarítmica fuera de la muestra (-176.94), superando al Poisson-AR(1) (-177.90) y al modelo de efectos aleatorios (-179.02).
  • MSE: El modelo Poisson-AR(1) tuvo el Error Cuadrático Medio más bajo (0.184 frente a 0.193 para el modelo propuesto), aunque las diferencias fueron marginales.
• Estimaciones de Parámetros: El parámetro de persistencia estimado $\hat{\Delta} \approx 0.925$ (menor que 1) indica que los datos apoyan una actualización dinámica más allá de una estructura de efectos aleatorios pura ($\Delta=1$), confirmando la necesidad de las dinámicas INGARCH.
• Eficiencia Computacional: A diferencia del modelo Poisson-AR(1), que requiere integración numérica o filtrado sobre el estado latente para la evaluación de la verosimilitud, el modelo INGARCH de Binomial Negativa propuesto produce una distribución predictiva de Binomial Negativa de forma cerrada. Esto resulta en un procedimiento de estimación más simple y rápido.

5. Significado y Afirmaciones

El artículo afirma que su principal significado radica en tender un puente entre los modelos INGARCH y los Modelos de Espacio de Estados (SSM) para aplicaciones en seguros.

• Interpretabilidad: Al desacoplar la escala de observación (heterogeneidad) de las dinámicas latentes, el modelo ofrece una interpretación más clara de la evolución del riesgo, alineándose con la teoría de credibilidad actuarial.
• Aplicabilidad Práctica: El marco está diseñado específicamente para las restricciones de los datos de seguros: series temporales cortas, la necesidad de covariables y la necesidad de un concepto de estacionariedad que acomode características del asegurado que varían en el tiempo.
• Justificación Teórica: El artículo proporciona el fundamento teórico necesario (a través de la estructura de covarianza única de la elevación LSSM) para justificar el uso de suposiciones de estacionariedad débil para estados latentes en entornos heterogéneos, una característica que anteriormente era difícil de conciliar en las formulaciones estándar de INGARCH.

Los autores concluyen que, aunque el trabajo futuro podría extender estos resultados a clases más amplias de INGARCH, el marco propuesto ofrece una herramienta robusta, computacionalmente eficiente y teóricamente sólida para el análisis predictivo en la tarificación de seguros de daños y accidentes.