State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

Résumé technique : Représentations espace-état des modèles INGARCH à loi binomiale négative pour la tarification en assurance

1. Énoncé du problème

L'article traite des limitations spécifiques des modèles à valeurs entières à hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive généralisée (INGARCH) lorsqu'ils sont appliqués à la tarification en assurance, en particulier pour l'assurance dommages et accidents (P&C). Bien que les modèles INGARCH soient populaires pour modéliser la dépendance sérielle dans les séries temporelles de comptes en raison de leur vraisemblance traitable et de leur récurrence affine, ils rencontrent deux défis principaux dans les contextes d'assurance :

1. Intégration de covariables : Les formulations INGARCH standard définissent la moyenne conditionnelle comme une combinaison linéaire des observations passées et des moyennes conditionnelles passées. L'introduction de covariables exogènes (pour capturer l'hétérogénéité des assurés) est difficile car la moyenne conditionnelle doit rester strictement positive. L'ajout de termes linéaires de covariables impose des contraintes restrictives de non-négativité sur les coefficients et les régresseurs, tandis que les alternatives avec lien logarithmique perturbent la structure affine et l'interprétation de crédibilité associée.
2. Stationnarité versus Hétérogénéité : Les panels d'assurance présentent généralement des séries temporelles courtes (par exemple, $\le 10$ périodes) et des caractéristiques d'assurés variant dans le temps. Les hypothèses de stationnarité standard pour le processus de compte observé sont inappropriées lorsque l'échelle des observations change systématiquement au fil du temps en raison des covariables. Cependant, une notion appropriée de stationnarité est essentielle pour la tarification. Dans l'INGARCH classique, la moyenne conditionnelle joue un double rôle : gouverner l'évolution temporelle et déterminer l'échelle d'observation, ce qui rend difficile la séparation de ces dynamiques pour définir la stationnarité au niveau latent.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent un modèle INGARCH(1,1) à loi binomiale négative hétérogène pour la tarification en assurance. L'innovation méthodologique centrale est la décomposition de la moyenne prédictive en un taux a priori variant dans le temps ($\lambda_t$) et une moyenne conditionnelle de base ($M_{t|t-1}$).

Étapes méthodologiques clés :

• Décomposition du modèle : Le nombre attendu de sinistres est défini comme $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$.
  • $\lambda_t$ : Capture l'hétérogénéité variant dans le temps via des covariables exogènes (par exemple, $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$).
  • $M_{t|t-1}$ : Suit une récurrence affine INGARCH(1,1) ($M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$), préservant la dynamique de l'état de risque sous-jacent.
• Équivalence espace-état (M-SSM) : Les auteurs démontrent que le modèle INGARCH à loi binomiale négative hétérogène proposé est équivalent à un Modèle Espace-État Marginalisé (M-SSM) avec :
  • Équation d'observation : $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$.
  • Évolution marginale : $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$.
  • Ici, $\Theta_t$ représente l'état de risque latent. L'équivalence permet au modèle de gérer l'hétérogénéité variant dans le temps naturellement via la couche d'observation tout en modélisant la dépendance sérielle à travers la dynamique de l'état latent.
• Stationnarité faible par relèvement : Une contribution théorique critique consiste à traiter le fait que les M-SSM spécifient uniquement des distributions marginales conditionnelles, laissant la structure de covariance du processus latent indéfinie.
  • Les auteurs montrent que sous des restrictions paramétriques spécifiques (relant spécifiquement les paramètres d'évolution $\Delta_t$ et $q_t$), le M-SSM peut être « relevé » vers un Modèle Espace-État Linéaire (LSSM) complet.
  • Dans ce relèvement LSSM, l'état latent $\Theta_t$ satisfait une évolution de moyenne conditionnelle linéaire : $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$.
  • Crucialement, les auteurs prouvent que bien que l'évolution conjointe complète (le « relèvement ») ne soit pas unique, la structure de covariance du processus latent est déterminée de manière unique par la spécification du M-SSM. Par conséquent, si $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$, le processus d'état latent est faiblement stationnaire, même en présence d'hétérogénéité variant dans le temps dans les observations.

3. Contributions clés

1. Formulation INGARCH à loi binomiale négative hétérogène : L'article introduit un modèle qui intègre avec succès des covariables variant dans le temps (hétérogénéité) dans le cadre INGARCH sans violer la structure affine requise pour les interprétations de crédibilité.
2. Représentation M-SSM : Il établit une équivalence entre le modèle INGARCH à loi binomiale négative hétérogène et un M-SSM Poisson-Gamma, fournissant un cadre unifié où les covariables affectent l'échelle d'observation et où les dynamiques affectent l'état latent.
3. Résolution des problèmes de stationnarité : L'article résout le conflit entre l'hétérogénéité variant dans le temps et la stationnarité en formulant la stationnarité faible au niveau du processus d'état latent. Il prouve que la structure de covariance de ce processus latent est bien définie et unique pour tous les relèvements LSSM compatibles, justifiant l'utilisation d'hypothèses de stationnarité faible dans les données d'assurance à panneaux courts.
4. Gestion des données manquantes : La formulation espace-état permet un traitement principiel des données manquantes (par exemple, périodes d'exposition nulles) en fixant le taux a priori $\lambda_t = 0$. Cela rend l'observation dégénérée à zéro, permettant au modèle de sauter l'étape de filtrage et de propager l'incertitude uniquement à travers l'équation d'évolution, évitant ainsi le besoin d'intégration numérique dans la vraisemblance.

4. Résultats

L'article valide le modèle en utilisant de réelles données d'assurance dommages et accidents du Fonds d'assurance propriété des gouvernements locaux du Wisconsin (LGPIF), couvrant 1 016 entités de 2006 à 2010, avec un ensemble de test de validation de 2011.

• Performance comparative : Le modèle INGARCH à loi binomiale négative hétérogène proposé a été comparé à un modèle espace-état stationnaire Poisson-AR(1) et à un modèle à effets aléatoires Poisson-Gamma.
  • Vraisemblance logarithmique : Le modèle proposé a atteint la vraisemblance logarithmique hors échantillon la plus élevée (-176,94), surpassant le Poisson-AR(1) (-177,90) et le modèle à effets aléatoires (-179,02).
  • Erreur quadratique moyenne (MSE) : Le modèle Poisson-AR(1) présentait l'erreur quadratique moyenne la plus faible (0,184 contre 0,193 pour le modèle proposé), bien que les différences soient marginales.
• Estimations des paramètres : Le paramètre de persistance estimé $\hat{\Delta} \approx 0,925$ (inférieur à 1) indique que les données soutiennent une mise à jour dynamique au-delà d'une structure pure à effets aléatoires ($\Delta=1$), confirmant la nécessité des dynamiques INGARCH.
• Efficacité computationnelle : Contrairement au modèle Poisson-AR(1), qui nécessite une intégration numérique ou un filtrage sur l'état latent pour l'évaluation de la vraisemblance, le modèle INGARCH à loi binomiale négative proposé fournit une distribution prédictive binomiale négative sous forme fermée. Cela se traduit par une procédure d'estimation plus simple et plus rapide.

5. Importance et affirmations

L'article affirme que son importance principale réside dans le rapprochement entre les modèles INGARCH et les modèles espace-état (SSM) pour les applications en assurance.

• Interprétabilité : En découplant l'échelle d'observation (hétérogénéité) des dynamiques latentes, le modèle offre une interprétation plus claire de l'évolution du risque, s'alignant sur la théorie de la crédibilité actuarielle.
• Applicabilité pratique : Le cadre est spécifiquement conçu pour les contraintes des données d'assurance : séries temporelles courtes, nécessité de covariables et besoin d'un concept de stationnarité qui intègre les caractéristiques des assurés variant dans le temps.
• Justification théorique : L'article fournit le fondement théorique nécessaire (via la structure de covariance unique du relèvement LSSM) pour justifier l'utilisation d'hypothèses de stationnarité faible pour les états latents dans des contextes hétérogènes, une caractéristique précédemment difficile à concilier dans les formulations INGARCH standard.

Les auteurs concluent que, bien que des travaux futurs puissent étendre ces résultats à des classes INGARCH plus larges, le cadre proposé offre un outil robuste, computationnellement efficace et théoriquement solide pour l'analyse prédictive en tarification des dommages et accidents.