State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

Sintesi Tecnica: Rappresentazioni a Spazio di Stato dei Modelli INGARCH a Binomiale Negativo per la Tariffazione Assicurativa

1. Enunciato del Problema

Il documento affronta specifiche limitazioni dei modelli INGARCH (Integer-valued Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic) quando applicati alla tariffazione assicurativa, in particolare per le assicurazioni contro i danni (P&C). Sebbene i modelli INGARCH siano popolari per la modellazione della dipendenza seriale nelle serie temporali di conteggio grazie alla loro verosimiglianza trattabile e alla ricorsione affine, incontrano due sfide principali nei contesti assicurativi:

1. Incorporazione di Covariate: Le formulazioni INGARCH standard definiscono la media condizionata come una combinazione lineare di osservazioni passate e medie condizionate passate. L'introduzione di covariate esogene (per catturare l'eterogeneità degli assicurati) è difficile poiché la media condizionata deve rimanere strettamente positiva. L'aggiunta di termini lineari di covariate richiede vincoli restrittivi di non negatività sui coefficienti e sui regressori, mentre le alternative con link logaritmico disturbano la struttura affine e l'interpretazione associata della credibilità.
2. Stazionarietà vs. Eterogeneità: I pannelli assicurativi presentano tipicamente serie temporali brevi (ad esempio, $\le 10$ periodi) e caratteristiche degli assicurati variabili nel tempo. Le ipotesi standard di stazionarietà per il processo di conteggio osservato sono inappropriata quando la scala delle osservazioni cambia sistematicamente nel tempo a causa delle covariate. Tuttavia, una nozione adeguata di stazionarietà è essenziale per la tariffazione. Nell'INGARCH classico, la media condizionata svolge un duplice ruolo: governa l'evoluzione temporale e determina la scala dell'osservazione, rendendo difficile separare queste dinamiche per definire la stazionarietà a un livello latente.

2. Metodologia

Gli autori propongono un modello INGARCH(1,1) a Binomiale Negativo Eterogeneo per la tariffazione assicurativa. L'innovazione metodologica fondamentale è la decomposizione della media predittiva in un tasso a priori variabile nel tempo ($\lambda_t$) e una media condizionata di base ($M_{t|t-1}$).

Passaggi Metodologici Chiave:

• Decomposizione del Modello: Il numero atteso di sinistri è definito come $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$.
  • $\lambda_t$: Cattura l'eterogeneità variabile nel tempo tramite covariate esogene (ad esempio, $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$).
  • $M_{t|t-1}$: Segue una ricorsione affine INGARCH(1,1) ($M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$), preservando le dinamiche dello stato di rischio sottostante.
• Equivalenza a Spazio di Stato (M-SSM): Gli autori dimostrano che il modello INGARCH a Binomiale Negativo Eterogeneo proposto è equivalente a un Modello a Spazio di Stato Marginalizzato (M-SSM) con:
  • Equazione di Osservazione: $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$.
  • Evoluzione Marginale: $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$.
  • Qui, $\Theta_t$ rappresenta lo stato di rischio latente. L'equivalenza permette al modello di gestire l'eterogeneità variabile nel tempo in modo naturale attraverso il livello di osservazione, mentre modella la dipendenza seriale attraverso le dinamiche dello stato latente.
• Stazionarietà Debole tramite Sollevamento: Un contributo teorico critico affronta il fatto che gli M-SSM specificano solo distribuzioni marginali condizionate, lasciando indefinita la struttura di covarianza del processo latente.
  • Gli autori mostrano che, sotto specifiche restrizioni parametriche (in particolare relative ai parametri di evoluzione $\Delta_t$ e $q_t$), l'M-SSM può essere "sollevato" a un completo Modello a Spazio di Stato Lineare (LSSM).
  • In questo sollevamento LSSM, lo stato latente $\Theta_t$ soddisfa un'evoluzione della media condizionata lineare: $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$.
  • Crucialmente, gli autori dimostrano che, sebbene l'evoluzione congiunta completa (il "sollevamento") non sia unica, la struttura di covarianza del processo latente è univocamente determinata dalla specifica M-SSM. Di conseguenza, se $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$, il processo dello stato latente è debolmente stazionario, anche in presenza di eterogeneità variabile nel tempo nelle osservazioni.

3. Contributi Chiave

1. Formulazione INGARCH a Binomiale Negativo Eterogeneo: Il documento introduce un modello che integra con successo covariate variabili nel tempo (eterogeneità) nel quadro INGARCH senza violare la struttura affine richiesta per le interpretazioni di credibilità.
2. Rappresentazione M-SSM: Stabilisce un'equivalenza tra il modello INGARCH a Binomiale Negativo Eterogeneo e un M-SSM Poisson-Gamma, fornendo un quadro unificato in cui le covariate influenzano la scala di osservazione e le dinamiche influenzano lo stato latente.
3. Risoluzione delle Questioni di Stazionarietà: Il documento risolve il conflitto tra eterogeneità variabile nel tempo e stazionarietà formulando la stazionarietà debole a livello del processo dello stato latente. Dimostra che la struttura di covarianza di questo processo latente è ben definita e unica tra tutti i sollevamenti LSSM compatibili, giustificando l'uso di ipotesi di stazionarietà debole nei dati assicurativi di pannello breve.
4. Gestione dei Dati Mancanti: La formulazione a spazio di stato permette un trattamento rigoroso dei dati mancanti (ad esempio, periodi di esposizione zero) impostando il tasso a priori $\lambda_t = 0$. Ciò rende l'osservazione degenere a zero, permettendo al modello di saltare il passaggio di filtraggio e propagare l'incertezza esclusivamente attraverso l'equazione di evoluzione, evitando la necessità di integrazione numerica nella verosimiglianza.

4. Risultati

Il documento convalida il modello utilizzando dati reali di assicurazione contro i danni (P&C) dal Fondo di Assicurazione per la Proprietà del Governo Locale del Wisconsin (LGPIF), coprendo 1.016 entità dal 2006 al 2010, con un set di test di hold-out del 2011.

• Prestazioni Comparative: Il modello INGARCH a Binomiale Negativo Eterogeneo proposto è stato confrontato con un modello a spazio di stato stazionario Poisson-AR(1) e un modello ad effetti casuali Poisson-Gamma.
  • Verosimiglianza Logaritmica: Il modello proposto ha ottenuto la più alta verosimiglianza logaritmica fuori campione (-176,94), superando il Poisson-AR(1) (-177,90) e il modello ad effetti casuali (-179,02).
  • MSE: Il modello Poisson-AR(1) ha avuto il più basso Errore Quadratico Medio (0,184 contro 0,193 per il modello proposto), sebbene le differenze fossero marginali.
• Stime dei Parametri: Il parametro di persistenza stimato $\hat{\Delta} \approx 0,925$ (minore di 1) indica che i dati supportano un aggiornamento dinamico oltre una struttura puramente ad effetti casuali ($\Delta=1$), confermando la necessità delle dinamiche INGARCH.
• Efficienza Computazionale: A differenza del modello Poisson-AR(1), che richiede integrazione numerica o filtraggio sullo stato latente per la valutazione della verosimiglianza, il modello INGARCH a Binomiale Negativo proposto produce una distribuzione predittiva a Binomiale Negativo in forma chiusa. Ciò si traduce in una procedura di stima più semplice e veloce.

5. Significato e Affermazioni

Il documento afferma che il suo significato primario risiede nel colmare il divario tra i modelli INGARCH e i Modelli a Spazio di Stato (SSM) per le applicazioni assicurative.

• Interpretabilità: Decoppiando la scala di osservazione (eterogeneità) dalle dinamiche latenti, il modello offre un'interpretazione più chiara dell'evoluzione del rischio, allineandosi alla teoria della credibilità attuariale.
• Applicabilità Pratica: Il quadro è specificamente progettato per i vincoli dei dati assicurativi: serie temporali brevi, la necessità di covariate e la necessità di un concetto di stazionarietà che accolga le caratteristiche degli assicurati variabili nel tempo.
• Giustificazione Teorica: Il documento fornisce il fondamento teorico necessario (tramite la struttura di covarianza unica del sollevamento LSSM) per giustificare l'uso di ipotesi di stazionarietà debole per stati latenti in contesti eterogenei, una caratteristica precedentemente difficile da conciliare nelle formulazioni INGARCH standard.

Gli autori concludono che, sebbene lavori futuri possano estendere questi risultati a classi INGARCH più ampie, il quadro proposto offre uno strumento robusto, computazionalmente efficiente e teoricamente solido per l'analisi predittiva nella tariffazione P&C.