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State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

Dieser Beitrag stellt das Framework des marginalisierten Zustandsraummodells (M-SSM) vor, um eine theoretisch fundierte Darstellung von INGARCH-Modellen zu liefern, die Kovariaten und fehlende Daten auf natürliche Weise berücksichtigt, und zeigt gleichzeitig auf, wie dieser Ansatz die Herleitung beobachtungsgetriebener Zustandsraumdarstellungen zur Etablierung schwacher Stationarität in Versicherungsanwendungen ermöglicht.

Ursprüngliche Autoren: Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

Veröffentlicht 2026-05-12

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie sind eine Versicherungsgesellschaft, die vorhersagen möchte, wie viele Autounfälle oder Hausbrände im nächsten Jahr für eine bestimmte Gruppe von Menschen passieren werden. Sie verfügen über eine Historie vergangener Schadensfälle (Anzahl der Unfälle), doch die Situation ist knifflig:

Das „Wer" ändert sich: Verschiedene Personen haben unterschiedliche Risikoniveaus (Heterogenität).
Das „Wann" ändert sich: Das Risiko ist nicht statisch; es entwickelt sich basierend auf der jüngsten Vergangenheit (wenn Sie letzten Monat einen Unfall hatten, ist es wahrscheinlicher, dass Sie diesen Monat einen haben).
Die Daten sind unordentlich: Manchmal liegen für bestimmte Jahre keine Daten vor, weil ein Versicherungsnehmer in diesem Jahr keinen Versicherungsschutz hatte.

Dieser Artikel stellt ein neues mathematisches Werkzeug vor, um diese Probleme zu lösen. Es nimmt eine bestehende, beliebte Methode namens INGARCH (die gut darin ist zu verfolgen, wie vergangene Zählungen zukünftige Zählungen beeinflussen) und verbessert sie, indem es sie in ein Zustandsraum-Modell (State-Space Model) einbettet (ein Rahmenwerk, das „was wir sehen" von „was tatsächlich unter der Oberfläche passiert" trennt).

Hier ist die Aufschlüsselung mit einfachen Analogien:

1. Das Problem: Das „Zwei-Hüte"-Dilemma

Bei der alten Methode (dem Standard-INGARCH-Modell) musste der „bedingte Mittelwert" (die vorhergesagte durchschnittliche Anzahl von Schadensfällen) zwei Hüte gleichzeitig tragen:

Hut A (Der Fahrer): Er musste die Zukunft steuern und entscheiden, wie sich das Risikoniveau über die Zeit basierend auf der Vergangenheit entwickelt.
Hut B (Die Waage): Er musste die Größe der aktuellen Beobachtung festlegen und dabei Dinge wie die Anzahl der Autos einer Person oder ihr Alter berücksichtigen.

Die Metapher: Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, ein Auto zu fahren und gleichzeitig als Straßenkarte zu fungieren. Wenn Sie die Straßenkarte ändern müssen (weil der Fahrer jetzt älter ist oder ein anderes Auto fährt), müssen Sie das Fahren stoppen, um die Karte neu zu zeichnen. Dies macht es sehr schwierig, sich ändernde Umstände (Kovariablen) zu handhaben oder sicherzustellen, dass das Fahren über die Zeit stabil bleibt.

2. Die Lösung: Der „Schattenfahrer" (Zustandsraum)

Die Autoren schlagen ein neues Modell vor, das diese beiden Aufgaben aufteilt. Sie führen einen latenten Zustand (einen verborgenen „Schattenfahrer") ein, der das Fahren übernimmt, während eine separate a-priori-Rate (die Straßenkarte) die Skala festlegt.

Der Schattenfahrer ( $\Theta_t$ ): Dies ist das verborgene Risikoniveau. Es entwickelt sich über die Zeit glatt basierend auf vergangenen Unfällen. Die Autoren beweisen, dass dieser Schattenfahrer „schwach stationär" sein kann, was bedeutet, dass sein Verhalten stabil und vorhersagbar ist, selbst wenn die realen Daten chaotisch aussehen.
Die Straßenkarte ( $\lambda_t$ ): Dies ist die „a-priori-Rate". Sie behandelt alle externen Faktoren: das Alter des Fahrers, die Art des Autos, die Stadt, in der sie wohnen, oder sogar, ob sie in diesem Jahr überhaupt kein Auto hatten (keine Exposition).

Die Metapher: Jetzt konzentriert sich der Schattenfahrer nur darauf, das Auto zu fahren (das Risiko zu entwickeln). Die Straßenkarte sagt dem Fahrer: „Heute fahren Sie einen Lkw in einem Schneesturm, passen Sie Ihre Geschwindigkeit entsprechend an." Wenn der Fahrer heute kein Auto hat (fehlende Daten), sagt die Straßenkarte einfach „0 Geschwindigkeit", und der Schattenfahrer wartet geduldig, ohne verwirrt zu werden.

3. Der „Negative Binomial"-Twist

Versicherungsschäden sind „Zähldaten" (Sie können keine 2,5 Unfälle haben; es sind 0, 1, 2 usw.). Der Artikel verwendet speziell eine Negative Binomialverteilung.

Warum? Reale Versicherungsdaten sind „überdispersiert". Das bedeutet, die Varianz (die Streuung der Unfälle) ist viel höher als der Durchschnitt. Manche Menschen haben jahrelang keine Unfälle; andere haben eine Häufung davon. Die Negative Binomialverteilung ist wie ein „dehnbares" Lineal, das diese wilde Variabilität besser bewältigen kann als ein Standard-Poisson-Modell.

4. Umgang mit fehlenden Daten (Der „Null-Exposition"-Trick)

Eine der größten Kopfschmerzen in der Versicherung ist, wenn ein Kunde für ein Jahr eine Police kündigt.

Alte Methode: Sie müssen komplexe Mathematik betreiben, um „die Lücken zu füllen" oder über fehlende Möglichkeiten zu integrieren.
Neue Methode: Da das Modell die „Skala" ( $\lambda_t$ ) vom „Fahrer" trennt, setzen Sie, wenn ein Kunde keine Police hat, einfach die Skala auf Null.
Das Ergebnis: Die Mathematik weiß automatisch, dass „Null Exposition = Null Schäden" bedeutet. Das Modell überspringt die komplizierte Berechnung für dieses Jahr und lässt den „Schattenfahrer" einfach natürlich bis zum nächsten Jahr weiterentwickeln. Es ist wie das Pausieren eines Videospiels, ohne Ihren Fortschritt zu verlieren.

5. Der Beweis: Stabilität und Vorhersage

Die Autoren haben nicht nur das Modell gebaut; sie haben bewiesen, dass es mathematisch funktioniert.

Stationarität: Sie zeigten, dass selbst wenn sich die realen Daten ändern (Menschen werden älter, Autos wechseln), der verborgene „Schattenfahrer" stabil bleibt. Dies ist für Versicherungen entscheidend, da Sie wissen müssen, dass Ihr Risikomodell im Laufe der Zeit nicht explodiert.
Realitätscheck: Sie testeten dies an echten Daten des Wisconsin Local Government Property Insurance Fund (1.234 lokale Regierungen über 5 Jahre).
- Das Ergebnis: Ihr neues Modell schnitt bei der Vorhersage zukünftiger Schäden genauso gut ab (und manchmal besser) als bestehende Modelle.
- Der Bonus: Es war schneller und einfacher zu berechnen, da keine komplexen numerischen Integrationen zur Handhabung der verborgenen Zustände erforderlich waren.

Zusammenfassung

Dieser Artikel dreht sich darum, einen Knoten zu lösen. Er nimmt ein komplexes Versicherungsprognosemodell, entwirrt das „sich entwickelnde Risiko" von den „sich ändernden Umständen" und wickelt es in ein mathematisch stabiles Paket.

Für den Aktuar: Es bedeutet, dass Sie leicht neue Variablen hinzufügen können (wie ein neues Gesetz oder eine Änderung der Fahrzeugart), ohne die Stabilität des Modells zu brechen.
Für die Daten: Es bewältigt fehlende Jahre (keine Police) mühelos.
Für die Mathematik: Es beweist, dass der verborgene „Risikomotor" stabil ist und Versicherern Vertrauen in ihre langfristige Preisgestaltung gibt.

Der Artikel kommt zu dem Schluss, dass dieses „Heterogene NB-INGARCH"-Modell ein praktisches, robustes Werkzeug ist, um faire Versicherungspreise in einer sich wandelnden Welt festzulegen.

Technische Zusammenfassung: Zustandsraumdarstellungen von Negativ-Binomial-INGARCH-Modellen für die Versicherungstarifierung

1. Problemstellung

Der Artikel behandelt spezifische Einschränkungen von Integer-valued Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic (INGARCH)-Modellen bei ihrer Anwendung auf die Versicherungstarifierung, insbesondere für Sach- und Unfallversicherungen (P&C). Obwohl INGARCH-Modelle aufgrund ihrer handhabbaren Likelihood-Funktion und affinen Rekursion bei der Modellierung serieller Abhängigkeiten in Zählzeitreihen beliebt sind, stehen sie im Versicherungskontext vor zwei Hauptherausforderungen:

Einbeziehung von Kovariablen: Standard-INGARCH-Formulierungen definieren den bedingten Erwartungswert als lineare Kombination vergangener Beobachtungen und vergangener bedingter Erwartungswerte. Die Einführung exogener Kovariablen (zur Erfassung der Policeninhaber-Heterogenität) ist schwierig, da der bedingte Erwartungswert strikt positiv bleiben muss. Das Hinzufügen linearer Kovariablenterme erfordert restriktive Nicht-Negativitätsbedingungen für Koeffizienten und Regressoren, während Alternativen mit Log-Link die affine Struktur und die damit verbundene Glaubwürdigkeitsinterpretation stören.
Stationarität versus Heterogenität: Versicherungspanels weisen typischerweise kurze Zeitreihen (z. B. $\le 10$ Perioden) und sich zeitlich verändernde Policeninhaber-Charakteristika auf. Standard-Stationaritätsannahmen für den beobachteten Zählprozess sind unangemessen, wenn sich die Skala der Beobachtungen aufgrund von Kovariablen systematisch über die Zeit ändert. Für die Tarifierung ist jedoch ein geeigneter Begriff der Stationarität unerlässlich. Im klassischen INGARCH erfüllt der bedingte Erwartungswert eine Doppelfunktion: Er steuert die zeitliche Entwicklung und bestimmt die Beobachtungsskala, was es schwierig macht, diese Dynamiken zu trennen, um Stationarität auf latenter Ebene zu definieren.

2. Methodik

Die Autoren schlagen ein heterogenes Negativ-Binomial-INGARCH(1,1)-Modell für die Versicherungstarifierung vor. Die zentrale methodische Innovation besteht in der Zerlegung des prädiktiven Mittelwerts in einen zeitvariierenden a-priori-Tarif ( $\lambda_t$ ) und einen basisbedingten Erwartungswert ( $M_{t|t-1}$ ).

Wichtige methodische Schritte:

Modellzerlegung: Die erwartete Schadenhäufigkeit ist definiert als $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$ $E [Z_{t} ∣ Z_{\leq t - 1}] = λ_{t} M_{t ∣ t - 1}$ .
- $\lambda_t$ : Erfasst zeitvariierende Heterogenität durch exogene Kovariablen (z. B. $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$ ).
- $M_{t|t-1}$ : Folgt einer affinen INGARCH(1,1)-Rekursion ( $M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$ ) und bewahrt dabei die Dynamik des zugrunde liegenden Risikozustands.
Äquivalenz zum Zustandsraum (M-SSM): Die Autoren zeigen, dass das vorgeschlagene heterogene NB-INGARCH-Modell äquivalent zu einem marginalisierten Zustandsraummodell (M-SSM) ist mit:
- Beobachtungsgleichung: $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$ .
- Marginale Evolution: $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$ .
- Hier repräsentiert $\Theta_t$ den latenten Risikozustand. Die Äquivalenz ermöglicht es dem Modell, zeitvariierende Heterogenität natürlich über die Beobachtungsebene zu handhaben, während die serielle Abhängigkeit durch die Dynamik des latenten Zustands modelliert wird.
Schwache Stationarität durch Hebung (Lifting): Ein kritischer theoretischer Beitrag ist die Adressierung der Tatsache, dass M-SSMs nur bedingte marginale Verteilungen spezifizieren, wodurch die Kovarianzstruktur des latenten Prozesses undefiniert bleibt.
- Die Autoren zeigen, dass unter spezifischen Parametereinschränkungen (insbesondere im Zusammenhang mit den Evolutionsparametern $\Delta_t$ und $q_t$ ) das M-SSM zu einem vollständigen linearen Zustandsraummodell (LSSM) „gehoben" werden kann.
- Bei dieser LSSM-Hebung erfüllt der latente Zustand $\Theta_t$ eine lineare bedingte Mittelwert-Evolution: $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$ .
- Entscheidend ist, dass die Autoren beweisen, dass zwar die vollständige gemeinsame Evolution (die „Hebung") nicht eindeutig ist, die Kovarianzstruktur des latenten Prozesses jedoch eindeutig durch die M-SSM-Spezifikation bestimmt wird. Folglich ist der latente Zustandsprozess schwach stationär, wenn $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$ gilt, selbst bei Vorliegen zeitvariierender Heterogenität in den Beobachtungen.

3. Hauptbeiträge

Heterogene NB-INGARCH-Formulierung: Der Artikel stellt ein Modell vor, das zeitvariierende Kovariablen (Heterogenität) erfolgreich in den INGARCH-Rahmen integriert, ohne die für Glaubwürdigkeitsinterpretationen erforderliche affine Struktur zu verletzen.
M-SSM-Darstellung: Es wird eine Äquivalenz zwischen dem heterogenen NB-INGARCH-Modell und einem Poisson-Gamma-M-SSM hergestellt, was einen einheitlichen Rahmen bietet, in dem Kovariablen die Beobachtungsskala beeinflussen und die Dynamik den latenten Zustand beeinflusst.
Auflösung von Stationaritätsproblemen: Der Artikel löst den Konflikt zwischen zeitvariierender Heterogenität und Stationarität, indem er schwache Stationarität auf der Ebene des latenten Zustandsprozesses formuliert. Er beweist, dass die Kovarianzstruktur dieses latenten Prozesses wohldefiniert und über alle kompatiblen LSSM-Hebungen hinweg eindeutig ist, was die Verwendung von Annahmen schwacher Stationarität bei kurzen Versicherungspanels rechtfertigt.
Umgang mit fehlenden Daten: Die Zustandsraumformulierung ermöglicht eine prinzipielle Behandlung fehlender Daten (z. B. Perioden mit null Exposition), indem der a-priori-Tarif $\lambda_t = 0$ gesetzt wird. Dies macht die Beobachtung bei Null degeneriert, erlaubt es dem Modell, den Filterungsschritt zu überspringen und die Unsicherheit ausschließlich über die Evolutionsgleichung fortzupflanzen, wodurch die Notwendigkeit numerischer Integration in der Likelihood-Funktion vermieden wird.

4. Ergebnisse

Der Artikel validiert das Modell mit realen P&C-Versicherungsdaten des Wisconsin Local Government Property Insurance Fund (LGPIF), die 1.016 Einheiten von 2006 bis 2010 abdecken, mit einem Hold-out-Testset aus dem Jahr 2011.

Vergleichende Leistung: Das vorgeschlagene heterogene NB-INGARCH-Modell wurde mit einem stationären Poisson-AR(1)-Zustandsraummodell und einem Poisson-Gamma-Random-Effects-Modell verglichen.
- Log-Likelihood: Das vorgeschlagene Modell erzielte die höchste Out-of-Sample-Log-Likelihood (-176,94) und übertraf damit das Poisson-AR(1) (-177,90) und das Random-Effects-Modell (-179,02).
- MSE: Das Poisson-AR(1)-Modell hatte den niedrigsten mittleren quadratischen Fehler (0,184 gegenüber 0,193 für das vorgeschlagene Modell), wobei die Unterschiede marginal waren.
Parameterschätzungen: Der geschätzte Persistenzparameter $\hat{\Delta} \approx 0,925$ (kleiner als 1) zeigt an, dass die Daten ein dynamisches Updating über eine reine Random-Effects-Struktur ( $\Delta=1$ ) hinaus unterstützen, was die Notwendigkeit der INGARCH-Dynamik bestätigt.
Rechenleistung: Im Gegensatz zum Poisson-AR(1)-Modell, das für die Likelihood-Bewertung eine numerische Integration oder Filterung über den latenten Zustand erfordert, liefert das vorgeschlagene NB-INGARCH-Modell eine geschlossene negative Binomial-Prädiktivverteilung. Dies führt zu einem einfacheren und schnelleren Schätzverfahren.

5. Bedeutung und Behauptungen

Der Artikel behauptet, dass seine primäre Bedeutung darin liegt, die Lücke zwischen INGARCH-Modellen und Zustandsraummodellen (SSMs) für Versicherungsanwendungen zu schließen.

Interpretierbarkeit: Durch die Entkopplung der Beobachtungsskala (Heterogenität) von der latenten Dynamik bietet das Modell eine klarere Interpretation der Risikoevolution, die mit der versicherungsmathematischen Glaubwürdigkeitstheorie übereinstimmt.
Praktische Anwendbarkeit: Der Rahmen ist speziell für die Einschränkungen von Versicherungsdaten konzipiert: kurze Zeitreihen, die Notwendigkeit von Kovariablen und die Erfordernis eines Stationaritätskonzepts, das zeitvariierende Policeninhaber-Charakteristika berücksichtigt.
Theoretische Rechtfertigung: Der Artikel liefert die notwendigen theoretischen Grundlagen (durch die eindeutige Kovarianzstruktur der LSSM-Hebung), um die Verwendung von Annahmen schwacher Stationarität für latente Zustände in heterogenen Settings zu rechtfertigen, ein Merkmal, das in Standard-INGARCH-Formulierungen bisher schwer zu vereinbaren war.

Die Autoren schließen, dass, obwohl zukünftige Arbeiten diese Ergebnisse auf breitere INGARCH-Klassen erweitern könnten, der vorgeschlagene Rahmen ein robustes, recheneffizientes und theoretisch fundiertes Werkzeug für die prädiktive Analyse in der P&C-Tarifierung bietet.