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State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

Este artigo introduz o framework do modelo de espaço de estados marginalizado (M-SSM) para fornecer uma representação teoricamente fundamentada dos modelos INGARCH que acomoda naturalmente covariáveis e dados ausentes, ao mesmo tempo em que demonstra como essa abordagem facilita a derivação de representações de espaço de estados acionadas por observações para estabelecer a estacionariedade fraca em aplicações de seguros.

Autores originais: Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

Publicado 2026-05-12

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CC BY 4.0

Autores originais: Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você é uma seguradora tentando prever quantos acidentes de carro ou incêndios residenciais ocorrerão no próximo ano para um grupo específico de pessoas. Você possui um histórico de sinistros passados (contagens de acidentes), mas a situação é complicada:

O "Quem" muda: Diferentes pessoas têm diferentes níveis de risco (heterogeneidade).
O "Quando" muda: O risco não é estático; ele evolui com base no histórico recente (se você teve um acidente no mês passado, pode ser mais provável ter um neste mês).
Os Dados são bagunçados: Às vezes, você não tem dados para certos anos porque o segurado não tinha cobertura naquele ano.

Este artigo apresenta uma nova ferramenta matemática para resolver esses problemas. Ele pega um método existente e popular chamado INGARCH (que é bom em rastrear como contagens passadas influenciam contagens futuras) e o aprimora, envolvendo-o dentro de um Modelo de Espaço de Estados (uma estrutura que separa "o que vemos" do "que realmente está acontecendo por baixo").

Aqui está a explicação usando analogias simples:

1. O Problema: O Dilema do "Duas-Capacetes"

Na maneira antiga de fazer as coisas (o modelo INGARCH padrão), a "média condicional" (a média prevista de sinistros) tinha que usar dois capacetes ao mesmo tempo:

Capacete A (O Motorista): Tinha que conduzir o futuro, decidindo como o nível de risco evolui ao longo do tempo com base no passado.
Capacete B (A Balança): Tinha que definir o tamanho da observação atual, levando em conta coisas como quantos carros uma pessoa possui ou sua idade.

A Metáfora: Imagine tentar dirigir um carro enquanto atua simultaneamente como o mapa rodoviário. Se você precisa mudar o mapa rodoviário (porque o motorista agora é mais velho ou está dirigindo um carro diferente), você precisa parar de dirigir para redesenhar o mapa. Isso torna muito difícil lidar com circunstâncias em mudança (covariáveis) ou garantir que a condução permaneça estável ao longo do tempo.

2. A Solução: O "Motorista Sombra" (Espaço de Estados)

Os autores propõem um novo modelo que divide essas duas funções. Eles introduzem um estado latente (um "motorista sombra" oculto) que faz a condução, enquanto uma taxa a priori separada (o mapa rodoviário) define a escala.

O Motorista Sombra ( $\Theta_t$ ): Este é o nível de risco oculto. Ele evolui suavemente ao longo do tempo com base em acidentes passados. Os autores provam que este motorista sombra pode ser "estacionário fraco", o que significa que seu comportamento é estável e previsível, mesmo que os dados do mundo real pareçam caóticos.
O Mapa Rodoviário ( $\lambda_t$ ): Esta é a "taxa a priori". Ela lida com todos os fatores externos: a idade do motorista, o tipo de carro, a cidade onde mora, ou até mesmo se ele não teve carro algum neste ano (exposição zero).

A Metáfora: Agora, o Motorista Sombra foca apenas em dirigir o carro (evoluindo o risco). O Mapa Rodoviário diz ao motorista: "Hoje, você está dirigindo um caminhão em uma tempestade de neve, então ajuste sua velocidade de acordo." Se o motorista não tem carro hoje (dados ausentes), o Mapa Rodoviário apenas diz "velocidade 0", e o Motorista Sombra espera pacientemente sem se confundir.

3. O "Twist" da Binomial Negativa

Sinistros de seguros são "dados de contagem" (você não pode ter 2,5 acidentes; são 0, 1, 2, etc.). O artigo usa especificamente uma distribuição Binomial Negativa.

Por quê? Dados reais de seguros são "superdispersos". Isso significa que a variância (a dispersão de acidentes) é muito maior que a média. Algumas pessoas têm zero acidentes por anos; outras têm um agrupamento deles. A Binomial Negativa é como uma régua "elástica" que consegue lidar com essa variabilidade selvagem melhor do que um modelo Poisson padrão.

4. Lidando com Dados Ausentes (O Truque da "Exposição Zero")

Uma das maiores dores de cabeça no seguro é quando um cliente cancela uma apólice por um ano.

Jeito Antigo: Você tem que fazer matemática complexa para "preencher as lacunas" ou integrar sobre possibilidades ausentes.
Jeito Novo: Como o modelo separa a "escala" ( $\lambda_t$ ) do "motorista", se um cliente não tem apólice, você simplesmente define a escala para zero.
O Resultado: A matemática sabe automaticamente que "Exposição zero = Sinistros zero". O modelo pula o cálculo complicado para aquele ano e apenas deixa o "Motorista Sombra" evoluir naturalmente para o próximo ano. É como pausar um videogame sem perder seu progresso.

5. A Prova: Estabilidade e Previsão

Os autores não apenas construíram o modelo; provaram que ele funciona matematicamente.

Estacionariedade: Eles mostraram que, embora os dados do mundo real mudem (pessoas envelhecem, carros mudam), o "Motorista Sombra" oculto permanece estável. Isso é crucial para seguros porque você precisa saber que seu modelo de risco não vai explodir ao longo do tempo.
Teste do Mundo Real: Eles testaram isso em dados reais do Fundo de Seguro de Propriedade de Governos Locais de Wisconsin (1.234 governos locais ao longo de 5 anos).
- O Resultado: Seu novo modelo performou tão bem quanto (e às vezes melhor que) modelos existentes na previsão de sinistros futuros.
- O Bônus: Foi mais rápido e fácil de computar porque não exigia integração numérica complexa para lidar com os estados ocultos.

Resumo

Este artigo trata de desatar um nó. Ele pega um modelo complexo de previsão de seguros, desembaraça o "risco em evolução" das "circunstâncias em mudança" e o envolve em um pacote matematicamente estável.

Para o Atuário: Significa que você pode facilmente adicionar novas variáveis (como uma nova lei ou uma mudança no tipo de carro) sem quebrar a estabilidade do modelo.
Para os Dados: Lida com anos ausentes (sem apólice) sem esforço.
Para a Matemática: Prova que o "motor de risco" oculto é estável, dando às seguradoras confiança em seus preços de longo prazo.

O artigo conclui que este modelo "NB-INGARCH Heterogêneo" é uma ferramenta prática e robusta para definir preços justos de seguros em um mundo em mudança.

Resumo Técnico: Representações de Espaço de Estados de Modelos INGARCH Binomial Negativo para Tarifação de Seguros

1. Declaração do Problema

O artigo aborda limitações específicas dos modelos de Heterocedasticidade Condicional Autoregressiva Generalizada de Valores Inteiros (INGARCH) quando aplicados à tarifação de seguros, particularmente para seguros de propriedade e acidentes (P&C). Embora os modelos INGARCH sejam populares para modelar dependência serial em séries temporais de contagem devido à sua verossimilhança tratável e recursão afim, eles enfrentam dois desafios principais nos contextos de seguros:

Incorporação de Covariáveis: Formulações INGARCH padrão definem a média condicional como uma combinação linear de observações passadas e médias condicionais passadas. A introdução de covariáveis exógenas (para capturar heterogeneidade do segurado) é difícil porque a média condicional deve permanecer estritamente positiva. Adicionar termos lineares de covariáveis exige restrições não negativas restritivas sobre coeficientes e regressores, enquanto alternativas de ligação logarítmica perturbam a estrutura afim e a interpretação de credibilidade associada.
Estacionariedade vs. Heterogeneidade: Painéis de seguros tipicamente apresentam séries temporais curtas (ex.: $\le 10$ períodos) e características do segurado que variam no tempo. Suposições de estacionariedade padrão para o processo de contagem observado são inadequadas quando a escala das observações muda sistematicamente ao longo do tempo devido a covariáveis. No entanto, uma noção adequada de estacionariedade é essencial para a tarifação. No INGARCH clássico, a média condicional desempenha um duplo papel: governar a evolução temporal e determinar a escala de observação, tornando difícil separar essas dinâmicas para definir estacionariedade em um nível latente.

2. Metodologia

Os autores propõem um Modelo INGARCH(1,1) Binomial Negativo Heterogêneo para tarifação de seguros. A inovação metodológica central é a decomposição da média preditiva em uma taxa a priori que varia no tempo ( $\lambda_t$ ) e uma média condicional de base ( $M_{t|t-1}$ ).

Etapas Metodológicas Chave:

Decomposição do Modelo: O número esperado de sinistros é definido como $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$ $E [Z_{t} ∣ Z_{\leq t - 1}] = λ_{t} M_{t ∣ t - 1}$ .
- $\lambda_t$ : Captura heterogeneidade que varia no tempo via covariáveis exógenas (ex.: $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$ ).
- $M_{t|t-1}$ : Segue uma recursão INGARCH(1,1) afim ( $M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$ ), preservando a dinâmica do estado de risco subjacente.
Equivalência de Espaço de Estados (M-SSM): Os autores demonstram que o modelo INGARCH BN Heterogêneo proposto é equivalente a um Modelo de Espaço de Estados Marginalizado (M-SSM) com:
- Equação de Observação: $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$ .
- Evolução Marginal: $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$ .
- Aqui, $\Theta_t$ representa o estado de risco latente. A equivalência permite que o modelo lide com heterogeneidade que varia no tempo naturalmente através da camada de observação, enquanto modela a dependência serial através da dinâmica do estado latente.
Estacionariedade Fraca via Elevação: Uma contribuição teórica crítica é abordar o fato de que os M-SSMs especificam apenas distribuições marginais condicionais, deixando a estrutura de covariância do processo latente indefinida.
- Os autores mostram que, sob restrições específicas de parâmetros (especificamente relacionando os parâmetros de evolução $\Delta_t$ e $q_t$ ), o M-SSM pode ser "elevado" a um Modelo de Espaço de Estados Linear (LSSM) completo.
- Nesta elevação LSSM, o estado latente $\Theta_t$ satisfaz uma evolução de média condicional linear: $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$ .
- Crucialmente, os autores provam que, embora a evolução conjunta completa (a "elevação") não seja única, a estrutura de covariância do processo latente é unicamente determinada pela especificação do M-SSM. Consequentemente, se $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$ , o processo de estado latente é fracamente estacionário, mesmo na presença de heterogeneidade que varia no tempo nas observações.

3. Contribuições Principais

Formulação INGARCH BN Heterogênea: O artigo introduz um modelo que integra com sucesso covariáveis que variam no tempo (heterogeneidade) ao framework INGARCH sem violar a estrutura afim necessária para interpretações de credibilidade.
Representação M-SSM: Estabelece uma equivalência entre o modelo INGARCH BN Heterogêneo e um M-SSM Poisson-Gama, fornecendo um framework unificado onde covariáveis afetam a escala de observação e dinâmicas afetam o estado latente.
Resolução de Questões de Estacionariedade: O artigo resolve o conflito entre heterogeneidade que varia no tempo e estacionariedade formulando estacionariedade fraca no nível do processo de estado latente. Prova que a estrutura de covariância deste processo latente é bem definida e única em todas as elevações LSSM compatíveis, justificando o uso de suposições de estacionariedade fraca em dados de seguros de painel curto.
Tratamento de Dados Ausentes: A formulação de espaço de estados permite um tratamento principiado de dados ausentes (ex.: períodos de exposição zero) definindo a taxa a priori $\lambda_t = 0$ . Isso torna a observação degenerada em zero, permitindo que o modelo pule a etapa de filtragem e propague a incerteza apenas através da equação de evolução, evitando a necessidade de integração numérica na verossimilhança.

4. Resultados

O artigo valida o modelo usando dados reais de seguros P&C do Fundo de Seguro de Propriedade do Governo Local de Wisconsin (LGPIF), cobrindo 1.016 entidades de 2006 a 2010, com um conjunto de teste de retenção de 2011.

Desempenho Comparativo: O modelo INGARCH BN Heterogêneo proposto foi comparado contra um modelo de espaço de estados Poisson-AR(1) estacionário e um modelo de efeitos aleatórios Poisson-Gama.
- Verossimilhança Logarítmica: O modelo proposto alcançou a maior verossimilhança logarítmica fora da amostra (-176,94), superando o Poisson-AR(1) (-177,90) e o modelo de efeitos aleatórios (-179,02).
- MSE: O modelo Poisson-AR(1) teve o menor Erro Quadrático Médio (0,184 versus 0,193 para o modelo proposto), embora as diferenças fossem marginais.
Estimativas de Parâmetros: O parâmetro de persistência estimado $\hat{\Delta} \approx 0,925$ (menor que 1) indica que os dados suportam atualização dinâmica além de uma estrutura pura de efeitos aleatórios ( $\Delta=1$ ), confirmando a necessidade das dinâmicas INGARCH.
Eficiência Computacional: Ao contrário do modelo Poisson-AR(1), que requer integração numérica ou filtragem sobre o estado latente para avaliação da verossimilhança, o modelo INGARCH BN proposto produz uma distribuição preditiva binomial negativa de forma fechada. Isso resulta em um procedimento de estimação mais simples e rápido.

5. Significado e Alegações

O artigo afirma que seu significado principal reside em ponte a lacuna entre modelos INGARCH e Modelos de Espaço de Estados (SSMs) para aplicações em seguros.

Interpretabilidade: Ao desacoplar a escala de observação (heterogeneidade) das dinâmicas latentes, o modelo oferece uma interpretação mais clara da evolução do risco, alinhando-se com a teoria de credibilidade atuarial.
Aplicabilidade Prática: O framework é especificamente projetado para as restrições de dados de seguros: séries temporais curtas, a necessidade de covariáveis e a necessidade de um conceito de estacionariedade que acomode características do segurado que variam no tempo.
Justificativa Teórica: O artigo fornece o fundamento teórico necessário (via a estrutura de covariância única da elevação LSSM) para justificar o uso de suposições de estacionariedade fraca para estados latentes em configurações heterogêneas, uma característica anteriormente difícil de conciliar em formulações INGARCH padrão.

Os autores concluem que, embora trabalhos futuros possam estender esses resultados para classes INGARCH mais amplas, o framework proposto oferece uma ferramenta robusta, computacionalmente eficiente e teoricamente sólida para análise preditiva na tarifação de seguros P&C.