State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

技術的サマリー：保険料算定における負の二項 INGARCH モデルの状態空間表現

1. 問題定義

本論文は、特に損害保険（P&C 保険）における保険料算定への適用時に、整数値一般化自己回帰条件付き分散不均一（INGARCH）モデルが抱える特定の限界に焦点を当てている。INGARCH モデルは、扱いやすい尤度とアフィン再帰性により、カウント時系列の系列依存性をモデル化する上で人気があるが、保険の文脈では以下の 2 つの主要な課題に直面している：

1. 共変量の取り込み： 標準的な INGARCH 定式化では、条件付き平均を過去の観測値と過去の条件付き平均の線形結合として定義する。政策保有者の異質性を捉えるための外生的共変量（exogenous covariates）を導入することは困難である。なぜなら、条件付き平均は厳密に正でなければならないからである。線形共変量項を追加するには、係数と回帰変数に対する制限的な非負制約が必要となる一方、対数リンクの代替案はアフィン構造とそれに関連するクラディビティ（信頼性）解釈を破壊する。
2. 定常性と異質性の対立： 保険のパネルデータは通常、短い時系列（例：$\le 10$期間）と時間変化する政策保有者の特徴を有する。共変量により観測のスケールが時間とともに体系的に変化する場合、観測カウント過程に対する標準的な定常性の仮定は不適切である。しかし、保険料算定には適切な定常性の概念が不可欠である。古典的な INGARCH では、条件付き平均は時間的進化を支配し、観測スケールを決定するという二重の役割を果たすため、これらダイナミクスを分離して潜在レベルで定常性を定義することが困難である。

2. 手法

著者らは、保険料算定のための異質負の二項 INGARCH(1,1) モデルを提案する。核心的な方法的革新は、予測平均を時間変化する$a priori$率（$\lambda_t$）と基準条件付き平均（$M_{t|t-1}$）に分解することにある。

主要な方法的ステップ：

• モデル分解： 期待請求件数は $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$ と定義される。
  • $\lambda_t$：外生的共変量（例：$\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$）を介して時間変化する異質性を捉える。
  • $M_{t|t-1}$：基礎となるリスク状態のダイナミクスを保持するアフィン INGARCH(1,1) 再帰（$M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$）に従う。
• 状態空間同等性（M-SSM）： 著者らは、提案された異質 NB-INGARCH モデルが以下の**周辺化状態空間モデル（M-SSM）**と同等であることを示す：
  • 観測方程式： $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$。
  • 周辺進化： $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$。
  • ここで、$\Theta_t$は潜在リスク状態を表す。この同等性により、モデルは観測層を通じて自然に時間変化する異質性を処理しつつ、系列依存性を潜在状態ダイナミクスを通じてモデル化できる。
• リフティングによる弱定常性： 重要な理論的貢献は、M-SSM が条件付き周辺分布のみを指定し、潜在過程の共分散構造を未定義のままにするという事実に対処することである。
  • 著者らは、特定のパラメータ制限（特に進化パラメータ $\Delta_t$ と $q_t$ に関連するもの）の下で、M-SSM を完全な**線形状態空間モデル（LSSM）**に「リフティング（lifting）」できることを示す。
  • この LSSM リフティングにおいて、潜在状態 $\Theta_t$ は線形条件付き平均進化：$E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$ を満たす。
  • 決定的なことに、著者らは完全な結合進化（「リフト」）が一意ではないものの、潜在過程の共分散構造は M-SSM 定式化によって一意に決定されることを証明する。したがって、$\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$ である場合、観測における時間変化する異質性が存在しても、潜在状態過程は弱定常的である。

3. 主要な貢献

1. 異質 NB-INGARCH 定式化： 本論文は、クラディビティ解釈に必要なアフィン構造を侵害することなく、時間変化する共変量（異質性）を INGARCH 枠組みに成功裡に統合するモデルを導入する。
2. M-SSM 表現： 異質 NB-INGARCH モデルとポアソン・ガンマ M-SSM の間の同等性を確立し、共変量が観測スケールに影響し、ダイナミクスが潜在状態に影響を与えるという統合枠組みを提供する。
3. 定常性問題の解決： 本論文は、潜在状態過程のレベルで弱定常性を定式化することにより、時間変化する異質性と定常性の間の対立を解決する。この潜在過程の共分散構造が、すべての整合的な LSSM リフトにおいて明確に定義され、一意であることを証明し、短いパネルを持つ保険データにおける弱定常性仮定の使用を正当化する。
4. 欠測データの処理： 状態空間定式化により、$a priori$率$\lambda_t = 0$ と設定することで、欠測データ（例：ゼロ暴露期間）を原理的に処理できる。これにより観測がゼロで退化し、モデルはフィルタリングステップをスキップして不確実性を進化方程式のみを通じて伝播させ、尤度計算における数値積分の必要性を回避する。

4. 結果

本論文は、2006 年から 2010 年にかけてのウィスコンシン州地方政府財産保険基金（LGPIF）からの実データ（1,016 団体を対象）を用いてモデルを検証し、2011 年のホールドアウトテストセットを使用している。

• 比較性能： 提案された異質 NB-INGARCH モデルは、定常ポアソン-AR(1) 状態空間モデルおよびポアソン・ガンマランダム効果モデルと比較された。
  • 対数尤度： 提案モデルは最も高いアウトオブサンプル対数尤度（-176.94）を達成し、ポアソン-AR(1)（-177.90）およびランダム効果モデル（-179.02）を上回った。
  • MSE： ポアソン-AR(1) モデルは最も低い平均二乗誤差（0.184、提案モデルは 0.193）を示したが、差は僅少であった。
• パラメータ推定値： 推定された持続性パラメータ $\hat{\Delta} \approx 0.925$（1 未満）は、データが純粋なランダム効果構造（$\Delta=1$）を超えた動的更新を支持しており、INGARCH ダイナミクスの必要性を確認する。
• 計算効率： 潜在状態に対する尤度評価に数値積分またはフィルタリングを必要とするポアソン-AR(1) モデルとは異なり、提案された NB-INGARCH モデルは閉形式の負の二項予測分布をもたらす。これにより、より単純で高速な推定手順が可能となる。

5. 意義と主張

本論文は、保険応用における INGARCH モデルと状態空間モデル（SSM）の間のギャップを埋めることに主要な意義があると主張する。

• 解釈可能性： 観測スケール（異質性）と潜在ダイナミクスを分離することで、リスク進化のより明確な解釈を提供し、保険数理のクラディビティ理論と整合する。
• 実用性： この枠組みは、短い時系列、共変量の必要性、時間変化する政策保有者の特徴を許容する定常性概念の必要性という、保険データの制約に特化して設計されている。
• 理論的正当性： 本論文は、LSSM リフトの一意な共分散構造を介して、異質環境における潜在状態の弱定常性仮定を使用するための必要な理論的基盤を提供する。これは、標準的な INGARCH 定式化では以前に調和させることが困難であった特徴である。

著者らは、将来の研究によりこれらの結果をより広範な INGARCH クラスに拡張できる可能性はあるものの、提案された枠組みは、P&C 保険料算定における予測分析のための、堅牢で計算効率が良く、理論的に妥当なツールを提供すると結論付けている。