📊 statistics

State-Space Representation of INGARCH Models and Their Application in Insurance

本文引入边缘化状态空间模型（M-SSM）框架，为 INGARCH 模型提供一种具有理论依据的表述，该表述能够自然地容纳协变量和缺失数据，同时阐明该方法如何促进推导观测驱动的状态空间表示，以确立保险应用中的弱平稳性。

原作者： Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

发布于 2026-05-12

📖 1 分钟阅读☕ 轻松阅读

原作者： Jae Youn Ahn, Hong Beng Lim, Mario V. Wüthrich

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象你是一家保险公司，试图预测特定人群明年会发生多少起车祸或房屋火灾。你拥有过去的索赔历史（事故次数），但情况颇为棘手：

“谁”在变： 不同人的风险水平不同（异质性）。
“何时”在变： 风险并非静止不变；它会基于近期历史演变（如果你上个月出了事故，这个月出事故的可能性可能更大）。
数据很混乱： 有时你缺乏某些年份的数据，因为保单持有人在那一年没有投保。

本文介绍了一种新的数学工具来解决这些问题。它采用了一种现有的、流行的方法，称为INGARCH（该方法擅长追踪过去的计数如何影响未来的计数），并通过将其包裹在状态空间模型（一种将“我们看到的”与“实际发生的底层情况”区分开来的框架）中进行升级。

以下是使用简单类比进行的分解说明：

1. 问题：“两顶帽子”的困境

在旧的方法（标准 INGARCH 模型）中，“条件均值”（预测的平均索赔次数）必须同时佩戴两顶帽子：

帽子 A（驾驶员）： 它必须驱动未来，决定风险水平如何基于过去随时间演变。
帽子 B（标尺）： 它必须设定当前观测值的大小，考虑诸如一个人拥有多少辆车或其年龄等因素。

比喻： 想象试图在驾驶汽车的同时充当路线图。如果你需要更改路线图（因为驾驶员现在年龄大了或换了不同的车），你就必须停止驾驶来重绘地图。这使得处理变化的情况（协变量）或确保驾驶随时间保持稳定变得非常困难。

2. 解决方案：“影子驾驶员”（状态空间）

作者提出了一种新模型，将这两项工作分开。他们引入了一个潜在状态（一个隐藏的“影子驾驶员”）来负责驾驶，而一个独立的先验率（路线图）则设定标尺。

影子驾驶员（ $\Theta_t$ ）： 这是隐藏的风险水平。它基于过去的事故随时间平滑演变。作者证明，这个影子驾驶员可以是“弱平稳”的，意味着即使现实世界的数据看起来混乱，其行为也是稳定且可预测的。
路线图（ $\lambda_t$ ）： 这是“先验率”。它处理所有外部因素：驾驶员的年龄、车辆类型、居住的城市，甚至如果今年根本没有车（零暴露）。

比喻： 现在，影子驾驶员只需专注于驾驶汽车（演变风险）。路线图告诉驾驶员：“今天，你正在暴风雪中驾驶卡车，所以要相应调整速度。”如果驾驶员今天没有车（缺失数据），路线图只需说“速度为 0"，而影子驾驶员则耐心等待，不会感到困惑。

3. “负二项分布”的转折

保险索赔是“计数数据”（你不可能有 2.5 起事故；只能是 0、1、2 等）。本文专门使用了负二项分布。

为什么？ 现实世界的保险数据是“过度离散”的。这意味着方差（事故的离散程度）远高于平均值。有些人多年没有事故；而另一些人则有一堆事故。负二项分布就像一把“可伸缩”的尺子，比标准的泊松模型更能处理这种剧烈的变异性。

4. 处理缺失数据（“零暴露”技巧）

保险中最大的头痛问题之一是客户在某一年退保。

旧方法： 你必须进行复杂的数学运算来“填补空白”或对缺失的可能性进行积分。
新方法： 由于模型将“标尺”（ $\lambda_t$ ）与“驾驶员”分开，如果客户没有保单，你只需将标尺设为零。
结果： 数学运算自动知道“零暴露 = 零索赔”。模型跳过了该年份的复杂计算，只是让“影子驾驶员”自然地演变到下一年。这就像暂停电子游戏而不会丢失进度一样。

5. 证明：稳定性与预测

作者不仅构建了模型，还从数学上证明了其有效性。

平稳性： 他们表明，尽管现实世界的数据在变化（人们变老、车辆改变），但隐藏的“影子驾驶员”保持稳定。这对保险至关重要，因为你需要知道你的风险模型不会随时间崩溃。
现实世界测试： 他们在威斯康星州地方政府财产保险基金的真实数据上进行了测试（1,234 个地方政府，历时 5 年）。
- 结果： 他们的新模型在预测未来索赔方面表现得与现有模型一样好（有时甚至更好）。
- 额外优势： 计算更快、更简单，因为它不需要复杂的数值积分来处理隐藏状态。

总结

本文旨在解开一个死结。它将复杂的保险预测模型中的“演变风险”与“变化的情况”解耦，并将其包裹在一个数学上稳定的包中。

对于精算师： 这意味着你可以轻松添加新变量（如新法律或车辆类型的变化），而不会破坏模型的稳定性。
对于数据： 它可以毫不费力地处理缺失年份（无保单）。
对于数学： 它证明了隐藏的“风险引擎”是稳定的，让保险公司对其长期定价充满信心。

本文结论认为，这种“异质性负二项 INGARCH"模型是在不断变化的世界中制定公平保险价格的实用且稳健的工具。

技术摘要：用于保险定价的负二项 INGARCH 模型的状态空间表示

1. 问题陈述

本文针对整数广义自回归条件异方差（INGARCH）模型在保险定价（特别是财产与意外伤害保险）应用中的特定局限性展开讨论。尽管 INGARCH 模型因其易于处理的似然函数和仿射递归特性，在建模计数时间序列的序列依赖性方面颇受欢迎，但在保险语境下面临两个主要挑战：

协变量的纳入：标准 INGARCH 公式将条件均值定义为过去观测值与过去条件均值的线性组合。引入外生协变量（以捕捉保单持有人的异质性）十分困难，因为条件均值必须保持严格为正。添加线性协变量项需要对系数和回归量施加严格的非负约束，而采用对数链接替代方案则会破坏仿射结构及其相关的可信度解释。
平稳性与异质性：保险面板数据通常具有较短的时间序列（例如， $\le 10$ 个时期）和随时间变化的保单持有人特征。当观测值的规模因协变量而随时间系统性地变化时，针对观测计数过程的标准平稳性假设是不恰当的。然而，对于定价而言，合适的平稳性概念至关重要。在经典 INGARCH 模型中，条件均值扮演着双重角色：既控制时间演化，又决定观测规模，这使得难以将这些动态分离开来以在潜在层面定义平稳性。

2. 方法论

作者提出了一种用于保险定价的异质性负二项 INGARCH(1,1) 模型。核心方法论创新在于将预测均值分解为随时间变化的先验费率（ $\lambda_t$ ）和基准条件均值（ $M_{t|t-1}$ ）。

关键方法论步骤：

模型分解：预期索赔次数定义为 $E[Z_t | Z_{\le t-1}] = \lambda_t M_{t|t-1}$ $E [Z_{t} ∣ Z_{\leq t - 1}] = λ_{t} M_{t ∣ t - 1}$ 。
- $\lambda_t$ ：通过外生协变量捕捉随时间变化的异质性（例如， $\lambda_t = \exp(x_t^\top w)$ ）。
- $M_{t|t-1}$ ：遵循仿射 INGARCH(1,1) 递归（ $M_{t+1|t} = \beta^{[0]}_t + \beta^{[1]}_t Z_t + \beta^{[2]}_t M_{t|t-1}$ ），保留了潜在风险状态的动态特性。
状态空间等价性（M-SSM）：作者证明，所提出的异质性 NB-INGARCH 模型等价于一个边缘化状态空间模型（M-SSM），其包含：
- 观测方程： $Z_t | \Theta_t \sim \text{Pois}(\lambda_t \Theta_t)$ 。
- 边缘演化： $\Theta_{t+1} | Z_{\le t} \sim \text{Gamma}(a_{t+1|t}, b_{t+1|t})$ 。
- 在此， $\Theta_t$ 代表潜在风险状态。这种等价性使得模型能够通过观测层自然地处理随时间变化的异质性，同时通过潜在状态动态建模序列依赖性。
通过提升实现的弱平稳性：一个关键的理论贡献是解决了 M-SSM 仅指定条件边缘分布、从而留下潜在过程协方差结构未定义这一事实。
- 作者表明，在特定的参数限制下（特别是涉及演化参数 $\Delta_t$ 和 $q_t$ 的关系），M-SSM 可以被“提升”为一个完整的线性状态空间模型（LSSM）。
- 在此 LSSM 提升中，潜在状态 $\Theta_t$ 满足线性条件均值演化： $E[\Theta_{t+1} | \Theta_t, Z_{\le t}] = \Delta_t \Theta_t + (1-\Delta_t)$ 。
- 至关重要的是，作者证明虽然完整的联合演化（即“提升”）不是唯一的，但潜在过程的协方差结构是由 M-SSM 规范唯一确定的。因此，如果 $\Delta_t \equiv \Delta \in (0, 1]$ ，即使观测中存在随时间变化的异质性，潜在状态过程也是弱平稳的。

3. 主要贡献

异质性 NB-INGARCH 公式：本文引入了一种模型，成功地将随时间变化的协变量（异质性）整合到 INGARCH 框架中，同时未破坏可信度解释所需的仿射结构。
M-SSM 表示：它建立了异质性 NB-INGARCH 模型与泊松 - 伽马 M-SSM 之间的等价性，提供了一个统一的框架，其中协变量影响观测规模，而动态影响潜在状态。
平稳性问题的解决：本文通过在潜在状态过程层面构建弱平稳性，解决了随时间变化的异质性与平稳性之间的冲突。它证明了该潜在过程的协方差结构在所有兼容的 LSSM 提升中都是明确定义且唯一的，从而为在短面板保险数据中使用弱平稳性假设提供了依据。
处理缺失数据：状态空间公式允许通过设置先验费率 $\lambda_t = 0$ 来原则性地处理缺失数据（例如零暴露期）。这使得观测值在零处退化，允许模型跳过滤波步骤，仅通过演化方程传播不确定性，从而避免了似然函数中数值积分的需求。

4. 结果

本文使用来自威斯康星州地方政府财产保险基金（LGPIF）的真实财产与意外伤害保险数据验证了该模型，涵盖了 2006 年至 2010 年的 1,016 个实体，并使用了 2011 年的保留测试集。

比较性能：将所提出的异质性 NB-INGARCH 模型与平稳泊松 -AR(1) 状态空间模型和泊松 - 伽马随机效应模型进行了比较。
- 对数似然：所提出的模型取得了最高的样本外对数似然值（-176.94），优于泊松 -AR(1) 模型（-177.90）和随机效应模型（-179.02）。
- 均方误差（MSE）：泊松 -AR(1) 模型的均方误差最低（0.184，而所提出模型为 0.193），尽管差异微乎其微。
参数估计：估计的持久性参数 $\hat{\Delta} \approx 0.925$ （小于 1）表明，数据支持超越纯随机效应结构（ $\Delta=1$ ）的动态更新，证实了 INGARCH 动态的必要性。
计算效率：与需要在潜在状态上进行数值积分或滤波以评估似然函数的泊松 -AR(1) 模型不同，所提出的 NB-INGARCH 模型导出了封闭形式的负二项预测分布。这导致了一个更简单、更快速的估计过程。

5. 意义与主张

本文声称，其主要意义在于弥合了保险应用中 INGARCH 模型与状态空间模型（SSMs）之间的差距。

可解释性：通过将观测规模（异质性）与潜在动态解耦，该模型提供了更清晰的风险演化解释，与精算可信度理论相一致。
实际适用性：该框架专门针对保险数据的约束而设计：短时间序列、对协变量的必要性，以及需要一种能够容纳随时间变化的保单持有人特征的平稳性概念。
理论依据：本文提供了必要的理论支撑（通过 LSSM 提升的唯一协方差结构），以证明在异质性设置中对潜在状态使用弱平稳性假设的合理性，这一特征在标准 INGARCH 公式中此前难以调和。

作者得出结论，虽然未来的工作可以将这些结果扩展到更广泛的 INGARCH 类别，但所提出的框架为财产与意外伤害保险定价中的预测分析提供了一个稳健、计算高效且理论完善的工具。