Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

ملخص تقني: المسائل الأمامية والعكسية لمعادلة شبه بارابولية كسرية في الزمن ذات معاملات متغيرة

بيان المسألة
يستقصي هذا العمل المسائل الأمامية والعكسية المرتبطة بمعادلة شبه بارابولية كسرية في الزمن معرفة في فضاء هيلبرت قابل للفصل $H$. تُعطى المعادلة الحاكمة بـ:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
خاضعة للشرط الابتدائي $u(0) = \phi$. حيث $A$ هو مؤثر غير محدود، موجب، ومتماثل ذاتياً وله معكوس متراص؛ $\mu > 0$ ثابت؛ $0 < \rho < 1$ هو رتبة مشتقة كابوتو (Caputo) الكسرية؛ $\sigma(t)$ هو معامل يعتمد على الزمن؛ $r(t)$ هي دالة مصدر قياسية؛ و $g, \phi \in H$.

تتناول الدراسة مسألتين متمايزتين:

1. المسألة الأمامية: تحديد الحل $u(t)$ بمعلومية المعاملات $\sigma(t)$ و $r(t)$ وحدد المصدر $g$.
2. المسألة العكسية: تحديد الزوج من الدوال $\{u(t), r(t)\}$ عندما تكون $r(t)$ مجهولة، خاضعة لشرط تحديد إضافي من الشكل $F[u(t)] = \Phi(t)$، حيث $F: H \to \mathbb{R}$ هو دالة خطية محدودة، و $\Phi(t)$ هي دالة قياسية معطاة.

المنهجية
يستخدم المؤلفون نهجاً طيفياً قائماً على طريقة فوريه (Fourier method)، باستخدام الدوال الذاتية $\{v_k\}$ والقيم الذاتية $\{\lambda_k\}$ للمؤثر $A$.

• تحليل المسألة الأمامية: يتم تمثيل الحل $u(t)$ كسلسلة لانهائية $u(t) = \sum u_k(t)v_k$. يؤدي هذا إلى اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى سلسلة من المسائل الكوشية القياسية لمعاملات $u_k(t)$. يتم إثبات وجود ووحدانية هذه الحلول القياسية باستخدام خصائص دالة ميتال-ليفلر (Mittag-Leffler) وتقديرات التكامل. كما يتم إثبات الوجود والوحدانية العالمية للمسألة الكاملة عبر اشتقاق تقديرات النظم (norm estimates) لـ $u(t)$، و $Au(t)$، والمشتقات الكسرية في الزمن $D^\rho_t u(t)$ و $D^\rho_t (Au(t))$ في الفضاء $C([0, T]; H)$.
• تحليل المسألة العكسية: لحل المسألة من أجل المصدر المجهول $r(t)$، يتم تطبيق الدالة $F$ على المعادلة الحاكمة. ينتج عن ذلك تمثيل تكاملي صريح لـ $r(t)$ يتضمن الحل $u(t)$. يتم إثبات وجود حل للمسألة العكسية من خلال صياغة المسألة كمعادلة نقطة ثابتة $r(t) = B[r](t)$. يطبق المؤلفون مبرهنة شاوذر للنقطة الثابتة (Schauder's fixed point theorem)، موضحين أن المؤثر $B$ يربط مجموعة مغلقة، محدبة، ومحدودة في نفسها، وأن المجموعة الناتجة متراصة نسبياً (تم التحقق من ذلك عبر مبرهنة أرزيلا-أسكولي). ويتم إثبات الوحدانية من خلال إظهار أن الفرق بين أي حلين محتملين يجب أن يتلاشى.
• المخطط العددي: في الحالة الخاصة حيث يكون $A$ مؤثراً تفاضلياً من الدرجة الثانية ($Au = -u_{xx}$)، تم تطوير مخطط فرق متناهٍ. يتم تقريب مشتقة كابوتو باستخدام مخطط L1 غير منتظم على شبكة زمنية متدرجة للتعامل مع التفرد عند $t=0$، بينما يتم التعامل مع المشتقات المكانية عبر الفروق المركزية. النظام الجبري الخطي الناتج هو نظام ثلاثي الأقطار ويتم حله باستخدام خوارزمية توماس (Thomas algorithm).

المساهمات والنتائج الرئيسية

1. تعميم النموذج الأمامي: على عكس الدراسات السابقة التي غالباً ما افترضت معاملًا ثابتاً $\sigma(t)$، يستقصي هذا العمل حالة كون $\sigma(t)$ دالة تعتمد على الزمن. يثبت المؤلفون الوجود والوحدانية العالمية للحل تحت شرط أن $\sigma(t)$ مستمرة وموجبة تماماً.
2. صياغة معممة للمسألة العكسية: يتناول البحث مسألة عكسية لتحديد مصدر يعتمد على الزمن $r(t)$ تحت شرط دالة خطية عامة $F[u(t)] = \Phi(t)$. هذا يعمم الأعمال السابقة التي كانت مقتصرة على دوال محددة (مثل التقييم عند نقطة زمنية نهائية أو الشروط التكاملية). يقدم المؤلفون أمثلة محددة للدوال المقبولة ويتحققون من الشروط الضرورية للوجود والوحدانية.
3. البراهين النظرية: تم تقديم براهين صارمة لوجود ووحدانية الحلول لكل من المسألتين الأمامية والعكسية. يعتمد وجود المسألة العكسية على مبرهنة شاوذر للنقطة الثابتة، بينما تُشتق الوحدانية من تقديرات الطاقة.
4. التحقق العددي: تم تقديم خوارزمية حاسوبية فعالة للمسألة الأمامية. أُجريت تجارب عددية باستخدام حالة اختبار محددة حيث الحل الدقيق معلوم. تظهر النتائج دقة مخطط الفرق المتناهي المقترح، حيث تتطابق الحلول العددية بشكل وثيق مع الحل الدقيق.

الأهمية
يزعم المؤلفون أن الجدة الأساسية لهذا العمل تكمن في تعميم النموذج الرياضي ليشمل معاملًا يعتمد على الزمن $\sigma(t)$ في المسألة الأمامية، وهو سيناريو لم يُدرس سابقاً في سياق المعادلات شبه البارابولية الكسرية في الزمن. علاوة على ذلك، عولجت المسألة العكسية باستخدام دالة $F$ عامة للغاية، مما وسع فئة المسائل العكسية القابلة للتطبيق بما يتجاوز تلك المقتصرة على شروط حدودية أو تكاملية محددة. يضع البحث إطاراً نظرياً صارماً لهذه المسائل المعممة ويوفر طريقة عددية عملية لحلها، مما يوسع الأدبيات الحالية المتعلقة بالمعادلات شبه البارابولية الكسرية في الزمن.