Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

Technische Zusammenfassung: Vorwärts- und Inverse Probleme für eine zeit-fractionale Pseudo-parabolische Gleichung mit variablen Koeffizienten

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht Vorwärts- und Inverse Probleme, die mit einer zeit-fractionalen pseudo-parabolischen Gleichung verbunden sind, die in einem separablen Hilbertraum $H$ definiert ist. Die zugrundeliegende Gleichung lautet:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
unter der Anfangsbedingung $u(0) = \phi$. Hier ist $A$ ein unbeschränkter, positiver, selbstadjungierter Operator mit einer kompakten Inversen; $\mu > 0$ ist eine Konstante; $0 < \rho < 1$ ist die Ordnung der Caputo-fractionalen Ableitung; $\sigma(t)$ ist ein zeitabhängiger Koeffizient; $r(t)$ ist eine skalare Quellfunktion; und $g, \phi \in H$.

Die Studie behandelt zwei unterschiedliche Probleme:

1. Das Vorwärtsproblem: Bestimmung der Lösung $u(t)$ bei bekannten Koeffizienten $\sigma(t)$, $r(t)$ und Quellterm $g$.
2. Das Inverse Problem: Bestimmung des Funktionspaares $\{u(t), r(t)\}$, wenn $r(t)$ unbekannt ist, unter einer zusätzlichen Überbestimmungsbedingung der Form $F[u(t)] = \Phi(t)$, wobei $F: H \to \mathbb{R}$ ein beschränktes lineares Funktional und $\Phi(t)$ eine gegebene skalare Funktion ist.

Methodik
Die Autoren wenden einen spektralen Ansatz basierend auf der Fourier-Methode an, wobei die Eigenfunktionen $\{v_k\}$ und Eigenwerte $\{\lambda_k\}$ des Operators $A$ genutzt werden.

• Analyse des Vorwärtsproblems: Die Lösung $u(t)$ wird als unendliche Reihe $u(t) = \sum u_k(t)v_k$ dargestellt. Dies reduziert die partielle Differentialgleichung auf eine Folge skalärer Cauchy-Probleme für die Koeffizienten $u_k(t)$. Die Existenz und Eindeutigkeit dieser skalaren Lösungen werden unter Verwendung von Eigenschaften der Mittag-Leffler-Funktion und Integralabschätzungen nachgewiesen. Die globale Existenz und Eindeutigkeit für das vollständige Problem werden durch Herleitung von Normabschätzungen für $u(t)$, $Au(t)$ sowie die fractionalen Ableitungen $D^\rho_t u(t)$ und $D^\rho_t (Au(t))$ im Raum $C([0, T]; H)$ bewiesen.
• Analyse des Inversen Problems: Um die unbekannte Quelle $r(t)$ zu bestimmen, wird das Funktional $F$ auf die zugrundeliegende Gleichung angewendet. Dies liefert eine explizite Integraldarstellung für $r(t)$, die die Lösung $u(t)$ beinhaltet. Die Existenz einer Lösung des inversen Problems wird durch Formulierung des Problems als Fixpunktgleichung $r(t) = B[r](t)$ nachgewiesen. Die Autoren wenden den Fixpunktsatz von Schauder an und zeigen, dass der Operator $B$ eine abgeschlossene, konvexe und beschränkte Teilmenge von $C[0, T]$ in sich selbst abbildet und dass die Bildmenge relativ kompakt ist (nachgewiesen über den Satz von Arzelà-Ascoli). Die Eindeutigkeit wird bewiesen, indem gezeigt wird, dass die Differenz zwischen zwei potenziellen Lösungen verschwinden muss.
• Numerisches Schema: Für den speziellen Fall, dass $A$ ein Differentialoperator zweiter Ordnung ist ($Au = -u_{xx}$), wird ein Finite-Differenzen-Schema entwickelt. Die Caputo-Ableitung wird unter Verwendung eines nicht-uniformen L1-Schemas auf einem graduierten Zeitgitter approximiert, um die Singularität bei $t=0$ zu behandeln, während räumliche Ableitungen mittels zentraler Differenzen behandelt werden. Das resultierende lineare algebraische System ist tridiagonal und wird mit dem Thomas-Algorithmus gelöst.

Hauptbeiträge und Ergebnisse

1. Verallgemeinerung des Vorwärtsmodells: Im Gegensatz zu früheren Studien, die oft einen konstanten Koeffizienten $\sigma(t)$ annahmen, untersucht diese Arbeit den Fall, in dem $\sigma(t)$ eine zeitabhängige Funktion ist. Die Autoren beweisen die globale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung unter der Bedingung, dass $\sigma(t)$ stetig und strikt positiv ist.
2. Verallgemeinerte Formulierung des Inversen Problems: Der Artikel behandelt ein inverses Problem zur Bestimmung einer zeitabhängigen Quelle $r(t)$ unter einer allgemeinen linearen Funktionalbedingung $F[u(t)] = \Phi(t)$. Dies verallgemeinert frühere Arbeiten, die auf spezifische Funktionale beschränkt waren (z. B. Punktauswertung zu einem Endzeitpunkt oder Integralbedingungen). Die Autoren liefern spezifische Beispiele zulässiger Funktionale und verifizieren die notwendigen Bedingungen für Existenz und Eindeutigkeit.
3. Theoretische Beweise: Strenge Beweise für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sowohl für das Vorwärts- als auch für das Inverse Problem werden bereitgestellt. Die Existenz des inversen Problems beruht auf dem Fixpunktsatz von Schauder, während die Eindeutigkeit aus Energieabschätzungen abgeleitet wird.
4. Numerische Validierung: Ein effizienter Berechnungsalgorithmus für das Vorwärtsproblem wird vorgestellt. Numerische Experimente werden mit einem spezifischen Testfall durchgeführt, bei dem die exakte Lösung bekannt ist. Die Ergebnisse zeigen die Genauigkeit des vorgeschlagenen Finite-Differenzen-Schemas, wobei die numerischen Lösungen eng mit der exakten Lösung übereinstimmen.

Bedeutung
Die Autoren behaupten, dass die primäre Neuheit dieser Arbeit in der Verallgemeinerung des mathematischen Modells liegt, um einen zeitabhängigen Koeffizienten $\sigma(t)$ im Vorwärtsproblem einzubeziehen, ein Szenario, das im Kontext zeit-fractionaler pseudo-parabolischer Gleichungen bisher nicht untersucht wurde. Darüber hinaus wird das inverse Problem mit einem hochgradig allgemeinen Funktional $F$ behandelt, was die Klasse der anwendbaren inversen Probleme über diejenigen hinaus erweitert, die auf spezifische Rand- oder Integralbedingungen beschränkt sind. Der Artikel etabliert einen rigorosen theoretischen Rahmen für diese verallgemeinerten Probleme und liefert eine praktische numerische Methode zu deren Lösung, wodurch die bestehende Literatur zu fractionalen pseudo-parabolischen Gleichungen erweitert wird.