Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

Résumé technique : Problèmes directs et inverses pour une équation pseudo-parabolique à dérivée fractionnaire en temps avec coefficients variables

Énoncé du problème
Ce travail étudie les problèmes directs et inverses associés à une équation pseudo-parabolique à dérivée fractionnaire en temps définie dans un espace de Hilbert séparable $H$. L'équation gouvernante est donnée par :
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
soumise à la condition initiale $u(0) = \phi$. Ici, $A$ est un opérateur non borné, positif et auto-adjoint possédant un inverse compact ; $\mu > 0$ est une constante ; $0 < \rho < 1$ est l'ordre de la dérivée fractionnaire de Caputo ; $\sigma(t)$ est un coefficient dépendant du temps ; $r(t)$ est une fonction source scalaire ; et $g, \phi \in H$.

L'étude aborde deux problèmes distincts :

1. Le problème direct : Déterminer la solution $u(t)$ étant donnés les coefficients connus $\sigma(t)$, $r(t)$ et le terme source $g$.
2. Le problème inverse : Déterminer la paire de fonctions $\{u(t), r(t)\}$ lorsque $r(t)$ est inconnue, sous réserve d'une condition de surdétermination supplémentaire de la forme $F[u(t)] = \Phi(t)$, où $F: H \to \mathbb{R}$ est une fonctionnelle linéaire bornée et $\Phi(t)$ est une fonction scalaire donnée.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche spectrale basée sur la méthode de Fourier, utilisant les fonctions propres $\{v_k\}$ et les valeurs propres $\{\lambda_k\}$ de l'opérateur $A$.

• Analyse du problème direct : La solution $u(t)$ est représentée comme une série infinie $u(t) = \sum u_k(t)v_k$. Cela réduit l'équation aux dérivées partielles à une séquence de problèmes de Cauchy scalaires pour les coefficients $u_k(t)$. L'existence et l'unicité de ces solutions scalaires sont établies en utilisant les propriétés de la fonction de Mittag-Leffler et des estimations intégrales. L'existence et l'unicité globales pour le problème complet sont prouvées en dérivant des estimations de norme pour $u(t)$, $Au(t)$ et les dérivées fractionnaires $D^\rho_t u(t)$ et $D^\rho_t (Au(t))$ dans l'espace $C([0, T]; H)$.
• Analyse du problème inverse : Pour résoudre l'inconnue source $r(t)$, la fonctionnelle $F$ est appliquée à l'équation gouvernante. Cela fournit une représentation intégrale explicite pour $r(t)$ impliquant la solution $u(t)$. L'existence d'une solution au problème inverse est établie en formulant le problème comme une équation de point fixe $r(t) = B[r](t)$. Les auteurs appliquent le théorème du point fixe de Schauder, démontrant que l'opérateur $B$ applique un sous-ensemble fermé, convexe et borné de $C[0, T]$ dans lui-même et que l'ensemble image est relativement compact (vérifié via le théorème d'Arzelà-Ascoli). L'unicité est prouvée en montrant que la différence entre deux solutions potentielles doit s'annuler.
• Schéma numérique : Pour le cas spécifique où $A$ est un opérateur différentiel d'ordre deux ($Au = -u_{xx}$), un schéma aux différences finies est développé. La dérivée de Caputo est approchée en utilisant un schéma L1 non uniforme sur un maillage temporel gradué pour traiter la singularité en $t=0$, tandis que les dérivées spatiales sont traitées via des différences centrales. Le système algébrique linéaire résultant est tridiagonal et résolu à l'aide de l'algorithme de Thomas.

Contributions et résultats clés

1. Généralisation du modèle direct : Contrairement aux études antérieures qui supposaient souvent un coefficient constant $\sigma(t)$, ce travail étudie le cas où $\sigma(t)$ est une fonction dépendant du temps. Les auteurs prouvent l'existence et l'unicité globales de la solution sous la condition que $\sigma(t)$ soit continue et strictement positive.
2. Formulation généralisée du problème inverse : L'article aborde un problème inverse pour déterminer une source dépendant du temps $r(t)$ sous une condition fonctionnelle linéaire générale $F[u(t)] = \Phi(t)$. Cela généralise les travaux antérieurs restreints à des fonctionnelles spécifiques (par exemple, l'évaluation ponctuelle à un temps final ou des conditions intégrales). Les auteurs fournissent des exemples spécifiques de fonctionnelles admissibles et vérifient les conditions nécessaires pour l'existence et l'unicité.
3. Preuves théoriques : Des preuves rigoureuses sont fournies pour l'existence et l'unicité des solutions pour les problèmes directs et inverses. L'existence du problème inverse repose sur le théorème du point fixe de Schauder, tandis que l'unicité est dérivée d'estimations d'énergie.
4. Validation numérique : Un algorithme de calcul efficace est présenté pour le problème direct. Des expériences numériques sont menées avec un cas test spécifique où la solution exacte est connue. Les résultats démontrent la précision du schéma aux différences finies proposé, les solutions numériques correspondant étroitement à la solution exacte.

Signification
Les auteurs affirment que la nouveauté principale de ce travail réside dans la généralisation du modèle mathématique pour inclure un coefficient dépendant du temps $\sigma(t)$ dans le problème direct, un scénario qui n'avait pas été étudié précédemment dans le contexte des équations pseudo-paraboliques à dérivée fractionnaire en temps. De plus, le problème inverse est traité avec une fonctionnelle $F$ hautement générale, élargissant la classe des problèmes inverses applicables au-delà de ceux restreints à des conditions spécifiques aux frontières ou intégrales. L'article établit un cadre théorique rigoureux pour ces problèmes généralisés et fournit une méthode numérique pratique pour leur résolution, étendant ainsi la littérature existante sur les équations pseudo-paraboliques fractionnaires.