Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

技術的概要：変数係数を持つ時間分数擬放物方程式の順問題と逆問題

問題の定義
本研究は、可分ヒルベルト空間 $H$ で定義された時間分数擬放物方程式に関連する順問題と逆問題を調査する。支配方程式は以下の通りである：
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
初期条件 $u(0) = \phi$ に従う。ここで、$A$ はコンパクトな逆を持つ有界でない正の自己共役作用素であり、$\mu > 0$ は定数、$0 < \rho < 1$ はカプリト型分数微分の階数、$\sigma(t)$ は時間依存係数、$r(t)$ はスカラー源関数、$g, \phi \in H$ である。

本研究は 2 つの異なる問題に対処する：

1. 順問題: 既知の係数 $\sigma(t)$、$r(t)$、および源項 $g$ が与えられたとき、解 $u(t)$ を決定する。
2. 逆問題: $r(t)$ が未知である場合、追加の過剰決定条件 $F[u(t)] = \Phi(t)$ に従って関数の対 $\{u(t), r(t)\}$ を決定する。ここで、$F: H \to \mathbb{R}$ は有界線形汎関数、$\Phi(t)$ は与えられたスカラー関数である。

手法
著者は、作用素 $A$ の固有関数 $\{v_k\}$ と固有値 $\{\lambda_k\}$ を利用するフーリエ法に基づくスペクトル手法を採用する。

• 順問題の解析: 解 $u(t)$ は無限級数 $u(t) = \sum u_k(t)v_k$ として表される。これにより、偏微分方程式は係数 $u_k(t)$ に関するスカラーのコーシー問題の列に帰着される。これらのスカラー解の存在と一意性は、ミッタグ・レフラー関数の性質と積分評価を用いて確立される。$u(t)$、$Au(t)$、および分数微分$D^\rho_t u(t)$と$D^\rho_t (Au(t))$に対するノルム評価を導出することで、空間$C([0, T]; H)$ における完全問題の大局的存在性と一意性が証明される。
• 逆問題の解析: 未知の源 $r(t)$ を解くために、汎関数 $F$ を支配方程式に適用する。これにより、解 $u(t)$ を含む $r(t)$ の明示的な積分表現が得られる。逆問題の解の存在は、問題を固定点方程式 $r(t) = B[r](t)$ として定式化することによって確立される。著者はシュアダーの固定点定理を適用し、作用素 $B$ が $C[0, T]$ の閉凸有界部分集合をそれ自身に写像し、像集合が相対コンパクトであることを示す（アルツェラ・アスコリの定理を通じて検証）。一意性は、2 つの潜在的な解の差が消滅することを示すことで証明される。
• 数値スキーム: $A$ が 2 階微分作用素 ($Au = -u_{xx}$) である特定のケースに対して、有限差分スキームが開発される。カプリト微分は、$t=0$ における特異性を処理するために、段階的な時間メッシュ上の非一様 L1 スキームを用いて近似され、空間微分は中央差分で処理される。得られる線形代数方程式系は三重対角であり、トーマスアルゴリズムを用いて解かれる。

主要な貢献と結果

1. 順モデルの一般化: 従来の研究がしばしば定数係数 $\sigma(t)$ を仮定していたのに対し、本研究は $\sigma(t)$ が時間依存関数である場合を調査する。著者は、$\sigma(t)$ が連続かつ狭義に正であるという条件下で、解の大局的存在性と一意性を証明する。
2. 一般化された逆問題の定式化: 本論文は、一般的な線形汎関数条件 $F[u(t)] = \Phi(t)$ の下で時間依存源 $r(t)$ を決定する逆問題を取り扱う。これは、最終時点での点評価や積分条件などの特定の汎関数に制限されていた先行研究を一般化するものである。著者は許容される汎関数の具体的な例を提供し、存在と一意性に必要な条件を検証する。
3. 理論的証明: 順問題および逆問題の両方に対する解の存在と一意性について、厳密な証明が提供される。逆問題の存在はシュアダーの固定点定理に依存し、一意性はエネルギー評価から導かれる。
4. 数値的検証: 順問題に対する効率的な計算アルゴリズムが提示される。厳密解が既知の特定のテストケースを用いて数値実験が行われる。結果は、提案された有限差分スキームの精度を示し、数値解は厳密解と密接に一致する。

意義
著者は、この研究の主な新規性が、時間分数擬放物方程式の文脈で以前に研究されていなかったシナリオである、順問題に時間依存係数 $\sigma(t)$ を含む数学モデルの一般化にあると主張する。さらに、逆問題は非常に一般的な汎関数 $F$ を用いて扱われ、特定の境界条件や積分条件に制限されていた適用可能な逆問題のクラスを拡大する。本論文は、これらの一般化された問題に対する厳密な理論的枠組みを確立し、それらの解法に対する実用的な数値手法を提供することで、分数擬放物方程式に関する既存の文献を拡張する。