Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

तकनीकी सारांश: परिवर्तनीय गुणांकों वाले एक समय-आंशिक (time-fractional) छद्म-परवलयाकार समीकरण (pseudo-parabolic equation) के लिए अग्रवर्ती और व्युत्क्रम समस्याएँ

समस्या विवरण
यह कार्य एक पृथक्करणीय हिल्बर्ट स्थान $H$ में परिभाषित समय-आंशिक छद्म-परवलयाकार समीकरण से जुड़ी अग्रवर्ती (forward) और व्युत्क्रम (inverse) समस्याओं की जांच करता है। नियंत्रित समीकरण दिया गया है:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
जहाँ प्रारंभिक स्थिति $u(0) = \phi$ है। यहाँ $A$ एक अनबाउंडेड (unbounded), धनात्मक, स्व-संयोजक (self-adjoint) ऑपरेटर है जिसका एक कॉम्पैक्ट व्युत्क्रम (compact inverse) है; $\mu > 0$ एक स्थिरांक है; $0 < \rho < 1$ कैपूटो (Caputo) भिन्नात्मक अवकलज (fractional derivative) का क्रम है; $\sigma(t)$ एक समय-निर्भर गुणांक है; $r(t)$ एक अदिश स्रोत फलन (scalar source function) है; और $g, \phi \in H$ हैं।

यह अध्ययन दो विशिष्ट समस्याओं को संबोधित करता है:

1. अग्रवर्ती समस्या (The Forward Problem): ज्ञात गुणांकों $\sigma(t)$, $r(t)$ और स्रोत पद $g$ के दिए होने पर समाधान $u(t)$ का निर्धारण करना।
2. व्युत्क्रम समस्या (The Inverse Problem): जब $r(t)$ अज्ञात हो, तो एक अतिरिक्त अधिनिर्धारण (overdetermination) स्थिति $F[u(t)] = \Phi(t)$ के अधीन युग्म $\{u(t), r(t)\}$ का निर्धारण करना, जहाँ $F: H \to \mathbb{R}$ एक परिबद्ध रैखिक फलन (bounded linear functional) है।

कार्यप्रणाली
लेखक ऑपरेटर $A$ के आइजनफंक्शंस (eigenfunctions) $\{v_k\}$ और आइजनवैल्यूज़ (eigenvalues) $\{\lambda_k\}$ का उपयोग करते हुए फूरियर विधि पर आधारित एक स्पेक्ट्रल दृष्टिकोण अपनाते हैं।

• अग्रवर्ती समस्या विश्लेषण: समाधान $u(t)$ को एक अनंत श्रेणी $u(t) = \sum u_k(t)v_k$ के रूप में दर्शाया जाता है। यह आंशिक अवकल समीकरण को गुणांकों $u_k(t)$ के लिए अनुक्रमिक अदिश कॉची समस्याओं (scalar Cauchy problems) में बदल देता है। इन अदिश समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता को मिटिग-लेफलेफ (Mittag-Leffler) फलन और इंटीग्रल अनुमानों के गुणों का उपयोग करके स्थापित किया जाता है। $u(t)$ के लिए वैश्विक अस्तित्व और अद्वितीयता को $u(t)$, $Au(t)$, और भिन्नात्मक अवकलज$D^\rho_t u(t)$एवं$D^\rho_t (Au(t))$के लिए स्पेस$C([0, T]; H)$ में नॉर्म अनुमान (norm estimates) प्राप्त करके सिद्ध किया जाता है।
• व्युत्क्रम समस्या विश्लेषण: अज्ञात स्रोत $r(t)$ को हल करने के लिए, फलन $F$ को नियंत्रित समीकरण पर लागू किया जाता है। इससे $r(t)$ के लिए एक स्पष्ट इंटीग्रल निरूपण प्राप्त होता है जिसमें $u(t)$ शामिल है। व्युत्क्रम समस्या के समाधान का अस्तित्व एक फिक्स्ड-पॉइंट समीकरण $r(t) = B[r](t)$ को तैयार करके स्थापित किया जाता है। लेखक शौडर के फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय (Schauder's fixed point theorem) को लागू करते हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऑपरेटर $B$, $C[0, T]$ के एक बंद, उत्तल (convex) और परिबद्ध उपसमुच्चय को स्वयं में मैप करता है और इमेज सेट सापेक्षतः कॉम्पैक्ट है (जिसे अराज़ेल-एस्कोली (Arzelà-Ascoli) प्रमेय द्वारा सत्यापित किया गया है)। अद्वितीयता को यह दिखाकर सिद्ध किया जाता है कि दो संभावित समाधानों के बीच का अंतर शून्य होना चाहिए।
• संख्यात्मक योजना (Numerical Scheme): उस विशिष्ट मामले के लिए जहाँ $A$ एक द्वितीय-क्रम का अवकल ऑपरेटर है ($Au = -u_{xx}$), एक परिमित अंतर योजना (finite difference scheme) विकसित की गई है। कैपूटो अवकलज को $t=0$ पर सिंगुलैरिटी (singularity) को संभालने के लिए एक ग्रेडेड टाइम मेश पर नॉन-यूनिफॉर्म L1 स्कीम का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है, जबकि स्थानिक डेरिवेटिव्स को सेंट्रल डिफरेंस के माध्यम से संभाला जाता है। परिणामी रैखिक बीजगणितीय प्रणाली ट्राइएंगुलर (tridiagonal) होती है और इसे थॉमस एल्गोरिदम (Thomas algorithm) का उपयोग करके हल किया जाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

1. अग्रवर्ती मॉडल का सामान्यीकरण: पिछले अध्ययनों के विपरीत, जो अक्सर एक स्थिर गुणांक $\sigma(t)$ मानते थे, यह कार्य $\sigma(t)$ के रूप में एक समय-निर्भर फलन को शामिल करने वाले मामले की जांच करता है। लेखक इस शर्त के तहत समाधान के वैश्विक अस्तित्व और अद्वितीयता को सिद्ध करते हैं कि $\sigma(t)$ निरंतर और धनात्मक रूप से स्ट्रिक्ट (strictly positive) है।
2. सामान्यीकृत व्युत्क्रम समस्या प्रारूप: यह शोध एक सामान्य रैखिक फलन $F[u(t)] = \Phi(t)$ के तहत एक समय-निर्भर स्रोत $r(t)$ को निर्धारित करने के लिए एक व्युत्क्रम समस्या को संबोधित करता है। यह पिछले कार्यों का सामान्यीकरण करता जो विशिष्ट फलनों (जैसे, अंतिम समय पर बिंदु मूल्यांकन या इंटीग्रल स्थितियों) तक सीमित थे। लेखक स्वीकार्य फलनों के विशिष्ट उदाहरण प्रदान करते हैं और अस्तित्व एवं अद्वितीयता के लिए आवश्यक शर्तों को सत्यापित करते हैं।
3. सैद्धांतिक प्रमाण: अग्रवर्ती और व्युत्क्रम दोनों समस्याओं के समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता के लिए कठोर प्रमाण प्रदान किए गए हैं। व्युत्क्रम समस्या का अस्तित्व शौडर के फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय पर निर्भर करता है, जबकि अद्वितीयता को एनर्जी एस्टीमेट्स (energy estimates) से प्राप्त किया जाता है।
4. संख्यात्मक सत्यापन: अग्रवर्ती समस्या के लिए एक कुशल कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम प्रस्तुत किया गया है। संख्यात्मक प्रयोग एक विशिष्ट टेस्ट केस के साथ किए जाते हैं जहाँ सटीक समाधान ज्ञात है। परिणाम प्रस्तावित परिमित अंतर योजना की सटीकता को प्रदर्शित करते हैं, जहाँ संख्यात्मक समाधान सटीक समाधान के बहुत करीब हैं।

महत्व
लेखकों का दावा है कि इस कार्य की प्राथमिक नवीनता अग्रवर्ती समस्या में समय-निर्भर गुणांक $\sigma(t)$ को शामिल करने के लिए गणितीय मॉडल का सामान्यीकरण है, जो कि समय-आंशिक छद्म-परवलयाकार समीकरणों के संदर्भ में पहले नहीं अध्ययन किया गया था। इसके अलावा, व्युत्क्रम समस्या को एक अत्यधिक सामान्य फलन $F$ के साथ माना गया है, जो विशिष्ट बाउंड्री या इंटीग्रल स्थितियों तक सीमित व्युत्क्रम समस्याओं के वर्ग को विस्तृत करता है। यह शोध इन सामान्यीकृत समस्याओं के लिए एक कठोर सैद्धांतिक ढांचा स्थापित करता है और उनके समाधान के लिए एक व्यावहारिक संख्यात्मक विधि प्रदान करता है, जिससे समय-आंशिक छद्म-परवलयाकार समीकरणों पर मौजूदा साहित्य का विस्तार होता है।