Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

Sintesi Tecnica: Problemi Diretti e Inversi per un'Equazione Pseudo-Parabolica di Tipo Frazionario Temporale con Coefficienti Variabili

Enunciato del Problema
Questo lavoro indaga i problemi diretti e inversi associati a un'equazione pseudo-parabolica di tipo frazionario temporale definita in uno spazio di Hilbert separabile $H$. L'equazione governativa è data da:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
soggetta alla condizione iniziale $u(0) = \phi$. Qui, $A$ è un operatore illimitato, positivo e autoaggiunto con inverso compatto; $\mu > 0$ è una costante; $0 < \rho < 1$ è l'ordine della derivata frazionaria di Caputo; $\sigma(t)$ è un coefficiente dipendente dal tempo; $r(t)$ è una funzione sorgente scalare; e $g, \phi \in H$.

Lo studio affronta due problemi distinti:

1. Il Problema Diretto: Determinare la soluzione $u(t)$ dati i coefficienti noti $\sigma(t)$, $r(t)$ e il termine sorgente $g$.
2. Il Problema Inverso: Determinare la coppia di funzioni $\{u(t), r(t)\}$ quando $r(t)$ è sconosciuta, soggetta a una condizione di sovradeterminazione aggiuntiva della forma $F[u(t)] = \Phi(t)$, dove $F: H \to \mathbb{R}$ è un funzionale lineare limitato e $\Phi(t)$ è una funzione scalare assegnata.

Metodologia
Gli autori adottano un approccio spettrale basato sul metodo di Fourier, utilizzando le autofunzioni $\{v_k\}$ e gli autovalori $\{\lambda_k\}$ dell'operatore $A$.

• Analisi del Problema Diretto: La soluzione $u(t)$ è rappresentata come una serie infinita $u(t) = \sum u_k(t)v_k$. Ciò riduce l'equazione alle derivate parziali a una sequenza di problemi di Cauchy scalari per i coefficienti $u_k(t)$. L'esistenza e l'unicità di queste soluzioni scalari sono stabilite utilizzando le proprietà della funzione di Mittag-Leffler e stime integrali. L'esistenza e l'unicità globali per il problema completo sono dimostrate derivando stime di norma per $u(t)$, $Au(t)$ e le derivate frazionarie $D^\rho_t u(t)$ e $D^\rho_t (Au(t))$ nello spazio $C([0, T]; H)$.
• Analisi del Problema Inverso: Per risolvere la sorgente sconosciuta $r(t)$, il funzionale $F$ viene applicato all'equazione governativa. Ciò fornisce una rappresentazione integrale esplicita per $r(t)$ che coinvolge la soluzione $u(t)$. L'esistenza di una soluzione al problema inverso è stabilita formulando il problema come un'equazione a punto fisso $r(t) = B[r](t)$. Gli autori applicano il teorema del punto fisso di Schauder, dimostrando che l'operatore $B$ mappa un sottoinsieme chiuso, convesso e limitato di $C[0, T]$ in se stesso e che l'insieme immagine è relativamente compatto (verificato tramite il teorema di Arzelà-Ascoli). L'unicità è dimostrata mostrando che la differenza tra due potenziali soluzioni deve annullarsi.
• Schema Numerico: Per il caso specifico in cui $A$ è un operatore differenziale del secondo ordine ($Au = -u_{xx}$), viene sviluppato uno schema alle differenze finite. La derivata di Caputo è approssimata utilizzando uno schema L1 non uniforme su una griglia temporale graduata per gestire la singolarità in $t=0$, mentre le derivate spaziali sono gestite tramite differenze centrali. Il sistema algebrico lineare risultante è tridiagonale e viene risolto utilizzando l'algoritmo di Thomas.

Contributi e Risultati Chiave

1. Generalizzazione del Modello Diretto: A differenza di studi precedenti che spesso assumevano un coefficiente costante $\sigma(t)$, questo lavoro indaga il caso in cui $\sigma(t)$ è una funzione dipendente dal tempo. Gli autori dimostrano l'esistenza e l'unicità globali della soluzione nella condizione che $\sigma(t)$ sia continua e strettamente positiva.
2. Formulazione Generalizzata del Problema Inverso: Il documento affronta un problema inverso per determinare una sorgente dipendente dal tempo $r(t)$ sotto una condizione funzionale lineare generale $F[u(t)] = \Phi(t)$. Ciò generalizza lavori precedenti che erano limitati a funzionali specifici (ad esempio, valutazione puntuale a un tempo finale o condizioni integrali). Gli autori forniscono esempi specifici di funzionali ammissibili e verificano le condizioni necessarie per l'esistenza e l'unicità.
3. Dimostrazioni Teoriche: Vengono fornite dimostrazioni rigorose per l'esistenza e l'unicità delle soluzioni sia per il problema diretto che per quello inverso. L'esistenza del problema inverso si basa sul teorema del punto fisso di Schauder, mentre l'unicità è derivata da stime energetiche.
4. Validazione Numerica: Viene presentato un algoritmo computazionale efficiente per il problema diretto. Vengono condotti esperimenti numerici con un caso di test specifico in cui la soluzione esatta è nota. I risultati dimostrano l'accuratezza dello schema alle differenze finite proposto, con soluzioni numeriche che corrispondono strettamente alla soluzione esatta.

Significato
Gli autori affermano che la novità primaria di questo lavoro risiede nella generalizzazione del modello matematico per includere un coefficiente dipendente dal tempo $\sigma(t)$ nel problema diretto, uno scenario non precedentemente studiato nel contesto delle equazioni pseudo-paraboliche di tipo frazionario temporale. Inoltre, il problema inverso è trattato con un funzionale $F$ altamente generale, ampliando la classe di problemi inversi applicabili oltre quelli limitati a specifiche condizioni al contorno o integrali. Il documento stabilisce un rigoroso quadro teorico per questi problemi generalizzati e fornisce un metodo numerico pratico per la loro soluzione, estendendo di conseguenza la letteratura esistente sulle equazioni pseudo-paraboliche frazionarie.