Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

Resumen Técnico: Problemas Directo e Inverso para una Ecuación Pseudo-Parabólica de Orden Fraccional en el Tiempo con Coeficientes Variables

Planteamiento del Problema
Este trabajo investiga problemas directos e inversos asociados a una ecuación pseudo-parabólica de orden fraccional en el tiempo definida en un espacio de Hilbert separable $H$. La ecuación gobernante viene dada por:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
sujeta a la condición inicial $u(0) = \phi$. Aquí, $A$ es un operador no acotado, positivo y autoadjunto con inverso compacto; $\mu > 0$ es una constante; $0 < \rho < 1$ es el orden de la derivada fraccional de Caputo; $\sigma(t)$ es un coeficiente dependiente del tiempo; $r(t)$ es una función fuente escalar; y $g, \phi \in H$.

El estudio aborda dos problemas distintos:

1. El Problema Directo: Determinar la solución $u(t)$ dados los coeficientes conocidos $\sigma(t)$, $r(t)$ y el término fuente $g$.
2. El Problema Inverso: Determinar el par de funciones $\{u(t), r(t)\}$ cuando $r(t)$ es desconocida, sujeta a una condición adicional de sobredeterminación de la forma $F[u(t)] = \Phi(t)$, donde $F: H \to \mathbb{R}$ es un funcional lineal acotado y $\Phi(t)$ es una función escalar dada.

Metodología
Los autores emplean un enfoque espectral basado en el método de Fourier, utilizando las autofunciones $\{v_k\}$ y los autovalores $\{\lambda_k\}$ del operador $A$.

• Análisis del Problema Directo: La solución $u(t)$ se representa como una serie infinita $u(t) = \sum u_k(t)v_k$. Esto reduce la ecuación en derivadas parciales a una secuencia de problemas de Cauchy escalares para los coeficientes $u_k(t)$. La existencia y unicidad de estas soluciones escalares se establecen utilizando propiedades de la función de Mittag-Leffler y estimaciones integrales. La existencia y unicidad globales para el problema completo se demuestran derivando estimaciones de norma para $u(t)$, $Au(t)$ y las derivadas fraccionales $D^\rho_t u(t)$ y $D^\rho_t (Au(t))$ en el espacio $C([0, T]; H)$.
• Análisis del Problema Inverso: Para resolver la fuente desconocida $r(t)$, se aplica el funcional $F$ a la ecuación gobernante. Esto produce una representación integral explícita para $r(t)$ que involucra la solución $u(t)$. La existencia de una solución al problema inverso se establece formulando el problema como una ecuación de punto fijo $r(t) = B[r](t)$. Los autores aplican el teorema del punto fijo de Schauder, demostrando que el operador $B$ mapea un subconjunto cerrado, convexo y acotado de $C[0, T]$ en sí mismo y que el conjunto imagen es relativamente compacto (verificado mediante el teorema de Arzelà-Ascoli). La unicidad se demuestra mostrando que la diferencia entre dos soluciones potenciales debe anularse.
• Esquema Numérico: Para el caso específico donde $A$ es un operador diferencial de segundo orden ($Au = -u_{xx}$), se desarrolla un esquema de diferencias finitas. La derivada de Caputo se aproxima utilizando un esquema L1 no uniforme en una malla temporal graduada para manejar la singularidad en $t=0$, mientras que las derivadas espaciales se tratan mediante diferencias centrales. El sistema algebraico lineal resultante es tridiagonal y se resuelve utilizando el algoritmo de Thomas.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Generalización del Modelo Directo: A diferencia de estudios anteriores que a menudo asumían un coeficiente constante $\sigma(t)$, este trabajo investiga el caso donde $\sigma(t)$ es una función dependiente del tiempo. Los autores demuestran la existencia y unicidad globales de la solución bajo la condición de que $\sigma(t)$ sea continua y estrictamente positiva.
2. Formulación Generalizada del Problema Inverso: El artículo aborda un problema inverso para determinar una fuente dependiente del tiempo $r(t)$ bajo una condición funcional lineal general $F[u(t)] = \Phi(t)$. Esto generaliza trabajos anteriores que estaban restringidos a funcionales específicos (por ejemplo, evaluación puntual en un tiempo final o condiciones integrales). Los autores proporcionan ejemplos específicos de funcionales admisibles y verifican las condiciones necesarias para la existencia y unicidad.
3. Demostraciones Teóricas: Se proporcionan demostraciones rigurosas de la existencia y unicidad de soluciones para ambos problemas, directo e inverso. La existencia del problema inverso se basa en el teorema del punto fijo de Schauder, mientras que la unicidad se deriva de estimaciones de energía.
4. Validación Numérica: Se presenta un algoritmo computacional eficiente para el problema directo. Se realizan experimentos numéricos con un caso de prueba específico donde se conoce la solución exacta. Los resultados demuestran la precisión del esquema de diferencias finitas propuesto, con soluciones numéricas que coinciden estrechamente con la solución exacta.

Significado
Los autores afirman que la principal novedad de este trabajo radica en la generalización del modelo matemático para incluir un coeficiente dependiente del tiempo $\sigma(t)$ en el problema directo, un escenario no estudiado previamente en el contexto de ecuaciones pseudo-parabólicas de orden fraccional en el tiempo. Además, el problema inverso se trata con un funcional $F$ altamente general, ampliando la clase de problemas inversos aplicables más allá de aquellos restringidos a condiciones específicas de frontera o integrales. El artículo establece un marco teórico riguroso para estos problemas generalizados y proporciona un método numérico práctico para su solución, extendiendo así la literatura existente sobre ecuaciones pseudo-parabólicas fraccionarias.