Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

技术摘要：变系数时间分数阶伪抛物方程的正问题与反问题

问题陈述
本工作研究了在可分希尔伯特空间 $H$ 中定义的时间分数阶伪抛物方程相关的正问题与反问题。控制方程为：
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
满足初始条件 $u(0) = \phi$。其中，$A$ 是一个具有紧逆的无界、正、自伴算子；$\mu > 0$ 为常数；$0 < \rho < 1$ 为 Caputo 分数阶导数的阶数；$\sigma(t)$ 为时变系数；$r(t)$ 为标量源函数；且 $g, \phi \in H$。

本研究解决两个不同的问题：

1. 正问题：在已知系数 $\sigma(t)$、$r(t)$ 和源项 $g$ 的情况下，确定解 $u(t)$。
2. 反问题：当 $r(t)$ 未知时，确定函数对 $\{u(t), r(t)\}$，需满足额外的超定条件 $F[u(t)] = \Phi(t)$，其中 $F: H \to \mathbb{R}$ 是有界线性泛函，$\Phi(t)$ 是给定的标量函数。

方法论
作者采用基于傅里叶方法的谱方法，利用算子 $A$ 的特征函数 $\{v_k\}$ 和特征值 $\{\lambda_k\}$。

• 正问题分析：解 $u(t)$ 表示为无穷级数 $u(t) = \sum u_k(t)v_k$。这将偏微分方程转化为关于系数 $u_k(t)$ 的一系列标量柯西问题。利用 Mittag-Leffler 函数的性质和积分估计，建立了这些标量解的存在性和唯一性。通过推导 $u(t)$、$Au(t)$以及分数阶导数$D^\rho_t u(t)$和$D^\rho_t (Au(t))$在空间$C([0, T]; H)$ 中的范数估计，证明了全问题的整体存在性和唯一性。
• 反问题分析：为求解未知源 $r(t)$，将泛函 $F$ 应用于控制方程。这导出了包含解 $u(t)$ 的 $r(t)$ 的显式积分表示。通过将问题表述为不动点方程 $r(t) = B[r](t)$，建立了反问题解的存在性。作者应用Schauder 不动点定理，证明了算子 $B$ 将 $C[0, T]$ 中的一个闭、凸且有界子集映射到其自身，且像集是相对紧的（通过 Arzelà-Ascoli 定理验证）。唯一性通过证明两个潜在解之间的差必须为零来确立。
• 数值格式：针对 $A$ 为二阶微分算子（$Au = -u_{xx}$）的具体情况，开发了一种有限差分格式。Caputo 导数在分级时间网格上使用非均匀 L1 格式进行近似，以处理 $t=0$ 处的奇异性，而空间导数则通过中心差分处理。所得的线性代数方程组是三对角的，并使用 Thomas 算法求解。

主要贡献与结果

1. 正模型的推广：与以往通常假设系数 $\sigma(t)$ 为常数的研究不同，本工作研究了 $\sigma(t)$ 为时变函数的情况。作者证明了在 $\sigma(t)$ 连续且严格正的条件下，解的整体存在性和唯一性。
2. 反问题公式的推广：本文解决了在一般线性泛函条件 $F[u(t)] = \Phi(t)$ 下确定时变源 $r(t)$ 的反问题。这推广了以往仅限于特定泛函（例如最终时刻的点态评估或积分条件）的研究。作者提供了可容许泛函的具体示例，并验证了存在性和唯一性的必要条件。
3. 理论证明：为正问题和反问题解的存在性和唯一性提供了严格的证明。反问题的存在性依赖于 Schauder 不动点定理，而唯一性则源于能量估计。
4. 数值验证：针对正问题提出了一种高效的计算算法。在已知精确解的特定测试案例中进行了数值实验。结果表明，所提出的有限差分格式具有准确性，数值解与精确解高度吻合。

意义
作者声称，本工作的主要新颖性在于将数学模型推广至正问题中包含时变系数 $\sigma(t)$ 的情形，这是以往在时间分数阶伪抛物方程背景下未曾研究过的场景。此外，反问题采用了一个高度一般的泛函 $F$ 进行处理，拓宽了适用反问题的范围，超越了仅限于特定边界或积分条件的情况。本文为这些广义问题建立了严格的理论框架，并提供了实用的数值求解方法，从而扩展了关于分数阶伪抛物方程的现有文献。