Forward and inverse problems for a time-fractional pseudo-parabolic equation with variable coefficients

Resumo Técnico: Problemas Direto e Inverso para uma Equação Pseudo-Parabólica de Ordem Fracionária no Tempo com Coeficientes Variáveis

Enunciado do Problema
Este trabalho investiga problemas diretos e inversos associados a uma equação pseudo-parabólica de ordem fracionária no tempo definida em um espaço de Hilbert separável $H$. A equação governante é dada por:
$$D^\rho_t [u(t) + \mu Au(t)] + \sigma(t)Au(t) = r(t)g, \quad t \in (0, T]$$
sujeita à condição inicial $u(0) = \phi$. Aqui, $A$ é um operador ilimitado, positivo e auto-adjunto com inverso compacto; $\mu > 0$ é uma constante; $0 < \rho < 1$ é a ordem da derivada fracionária de Caputo; $\sigma(t)$ é um coeficiente dependente do tempo; $r(t)$ é uma função fonte escalar; e $g, \phi \in H$.

O estudo aborda dois problemas distintos:

1. O Problema Direto: Determinar a solução $u(t)$ dados os coeficientes conhecidos $\sigma(t)$, $r(t)$ e o termo fonte $g$.
2. O Problema Inverso: Determinar o par de funções $\{u(t), r(t)\}$ quando $r(t)$ é desconhecida, sujeita a uma condição adicional de sobredeterminação da forma $F[u(t)] = \Phi(t)$, onde $F: H \to \mathbb{R}$ é um funcional linear limitado e $\Phi(t)$ é uma função escalar dada.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem espectral baseada no método de Fourier, utilizando as autofunções $\{v_k\}$ e autovalores $\{\lambda_k\}$ do operador $A$.

• Análise do Problema Direto: A solução $u(t)$ é representada como uma série infinita $u(t) = \sum u_k(t)v_k$. Isso reduz a equação diferencial parcial a uma sequência de problemas de Cauchy escalares para os coeficientes $u_k(t)$. A existência e unicidade dessas soluções escalares são estabelecidas usando propriedades da função de Mittag-Leffler e estimativas integrais. A existência e unicidade globais para o problema completo são provadas derivando estimativas de norma para $u(t)$, $Au(t)$ e as derivadas fracionárias $D^\rho_t u(t)$ e $D^\rho_t (Au(t))$ no espaço $C([0, T]; H)$.
• Análise do Problema Inverso: Para resolver a fonte desconhecida $r(t)$, o funcional $F$ é aplicado à equação governante. Isso produz uma representação integral explícita para $r(t)$ envolvendo a solução $u(t)$. A existência de uma solução para o problema inverso é estabelecida formulando o problema como uma equação de ponto fixo $r(t) = B[r](t)$. Os autores aplicam o teorema do ponto fixo de Schauder, demonstrando que o operador $B$ mapeia um subconjunto fechado, convexo e limitado de $C[0, T]$ nele mesmo e que o conjunto imagem é relativamente compacto (verificado via o teorema de Arzelà-Ascoli). A unicidade é provada mostrando que a diferença entre duas soluções potenciais deve se anular.
• Esquema Numérico: Para o caso específico onde $A$ é um operador diferencial de segunda ordem ($Au = -u_{xx}$), um esquema de diferenças finitas é desenvolvido. A derivada de Caputo é aproximada usando um esquema L1 não uniforme em uma malha temporal graduada para lidar com a singularidade em $t=0$, enquanto as derivadas espaciais são tratadas via diferenças centrais. O sistema algébrico linear resultante é tridiagonal e resolvido usando o algoritmo de Thomas.

Principais Contribuições e Resultados

1. Generalização do Modelo Direto: Ao contrário de estudos anteriores que frequentemente assumiam um coeficiente constante $\sigma(t)$, este trabalho investiga o caso onde $\sigma(t)$ é uma função dependente do tempo. Os autores provam a existência e unicidade globais da solução sob a condição de que $\sigma(t)$ seja contínua e estritamente positiva.
2. Formulação Generalizada do Problema Inverso: O artigo aborda um problema inverso para determinar uma fonte dependente do tempo $r(t)$ sob uma condição funcional linear geral $F[u(t)] = \Phi(t)$. Isso generaliza trabalhos anteriores que estavam restritos a funcionais específicos (por exemplo, avaliação pontual em um tempo final ou condições integrais). Os autores fornecem exemplos específicos de funcionais admissíveis e verificam as condições necessárias para existência e unicidade.
3. Provas Teóricas: Provas rigorosas são fornecidas para a existência e unicidade de soluções para ambos os problemas direto e inverso. A existência do problema inverso baseia-se no teorema do ponto fixo de Schauder, enquanto a unicidade é derivada de estimativas de energia.
4. Validação Numérica: Um algoritmo computacional eficiente é apresentado para o problema direto. Experimentos numéricos são conduzidos com um caso de teste específico onde a solução exata é conhecida. Os resultados demonstram a precisão do esquema de diferenças finitas proposto, com as soluções numéricas correspondendo estreitamente à solução exata.

Significado
Os autores afirmam que a principal novidade deste trabalho reside na generalização do modelo matemático para incluir um coeficiente dependente do tempo $\sigma(t)$ no problema direto, um cenário não estudado anteriormente no contexto de equações pseudo-parabólicas de ordem fracionária no tempo. Além disso, o problema inverso é tratado com um funcional altamente geral $F$, ampliando a classe de problemas inversos aplicáveis além daqueles restritos a condições de fronteira ou integrais específicas. O artigo estabelece uma estrutura teórica rigorosa para esses problemas generalizados e fornece um método numérico prático para sua solução, estendendo assim a literatura existente sobre equações pseudo-parabólicas fracionárias.